雙曲線知識點總結(jié)例題(編輯修改稿)
2025-08-18 22:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右兩焦點，P為橢圓上的一點)（2） 焦點在y軸上的雙曲線 標(biāo)準(zhǔn)方程 x,y的范圍 頂點 焦點 對稱軸 對稱中心 實半軸的長 虛半軸的長 焦距 離心率e= 范圍 e越大雙曲線的開口越 e越小雙曲線的開口越 準(zhǔn)線 漸近線 焦半徑公式|PF1|= |PF2|= (F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的下上兩焦點，P為橢圓上的一點)3. 等軸雙曲線：特點①實軸與虛軸長相等②漸近線互相垂直③離心率為 4. 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線特點①有共同的漸近線②四焦點共圓 雙曲線的共軛雙曲線是 （3） 共焦點的雙曲線的方程為(0kc2,c為半焦距)（4） 共漸近線的雙曲線的方程為考點1。雙曲線的定義及應(yīng)用在運用雙曲線的定義時，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支考點雙曲線定義例已知動圓M與圓C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓C2：(x－4)2＋y2＝2內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程【自主解答】設(shè)動圓M的半徑為r，則由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，∴|MC1|－|MC2|＝2.又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，∴2＜|C1C2|.根據(jù)雙曲線定義知，點M的軌跡是以C1(－4,0)、C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支．∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，∴點M的軌跡方程是：－＝1(x≥)．【例1】若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1||PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 【解析】橢圓的長半軸為雙曲線的實半軸為，故選A.【評注】嚴(yán)格區(qū)分橢圓與雙曲線的第一定義，是破解本題的關(guān)鍵.【例2】已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標(biāo)為【分析】待求式中的是什么？是雙曲線離心率的，解本題須用雙曲線的第二定義.【解析】雙曲線的右焦點F（6，0），離心率，交雙曲線右支于P，連FP，為最小.在中，令，. 考點求雙曲線的方程求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1．定義法，根據(jù)題目的條件，若滿足定義，求出相應(yīng)a、b、c即可求得方程．2．待定系數(shù)法(2)待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法①與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線方程可表示為－＝t(t≠0)；②若雙曲線的漸近線方程是y＝177。x，則雙曲線的方程可表示為－＝t(t≠0)；③與雙曲線－＝1共焦點的方程可表示為－＝1(－b2＜k＜a2)；④過兩個已知點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可表示為＋＝1(mn＜0)；⑤與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點的雙曲線方程可表示為＋＝1(b2＜λ＜a2)．例求下列條件下的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線－＝1有共同的漸近線，且過點(－3，2)；(2)與雙曲線－＝1有公共焦點，且過點(3，2)．【自主解答】(1)解法一：經(jīng)檢驗知雙曲線焦點在x軸上，故設(shè)雙曲線的方程為－＝1，由題意，得解得a2＝，b2＝4，所以雙曲線的方程為－＝1.(2)解法一：設(shè)雙曲線方程為－＝1，由題意易求c＝2，又雙曲線過點(3，2)，∴－＝∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8. －＝1.解法二：設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)，將點(－3,2)代入得λ＝.所以雙曲線方程為－＝，即－＝1.解法二：設(shè)雙曲線方程為－＝1，且16－k＞0,4＋k＞0.將點(3，2)代入得k＝4，且滿足上面的不等式，所以雙曲線方程為－＝1.，若x2的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上，且對于雙曲線，a不一定大于b.2．若不能確定雙曲線的焦點在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0)，以避免分類討論．考點雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)與代數(shù)中的方程、平面幾何的知識聯(lián)系密切，解題時要深刻理解確定雙曲線的形狀、大小的幾個主要特征量，如a、b、c、e的幾何意義及它們的相互關(guān)系，充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程例(12分)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍．【規(guī)范解答】設(shè)P點坐標(biāo)為(x，y)，則由＝0，得AP⊥PQ，即P點在以AQ為直徑的圓上，∴(x－)2＋y2＝()2.①又P點在雙曲線上，得－＝1.②(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0.即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝當(dāng)x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去當(dāng)x＝時，滿足題意的P點存在，需x＝＞a，化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，＜.10分∴離心率
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