大綱版高二數(shù)學(xué)下16762算術(shù)平均數(shù)幾何平均(修改稿12頁(yè)-22頁(yè))(編輯修改稿)
2024-08-18 18:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 y≥解析：∵因?yàn)閤+y與+之間存在一種倒數(shù)關(guān)系，故可考慮兩式相乘而達(dá)約分的目的。證法1：x+y=(x+y)( +)=a+b+a+b≥a+b+2=證法2：可利用三角代換，由+=1的特點(diǎn)，可令=cos2θ，=sin2θ，則x=，y=x+y=xa+yb2= xxcos2θ+yysin2θ2= xsin2θ+ycos2θ2=()2≥0證法3：∵a、b、x、y∈R+，且+=1，∴＜1 x＞axa＞0∴x+y=x+b+=(xa)+ +a+b≥a+b+2=方法規(guī)律：對(duì)于條件不等式的證明，怎樣使用好條件不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，上述三種解法各具特色，也是對(duì)“1”的三種不同的理解。例5：求的最小值，式中解法1：要求y的最小值，就要使y右邊變?yōu)閮蓚€(gè)和式且使積為定值，故聯(lián)想為定值。當(dāng)=時(shí)等號(hào)成。解法2：設(shè)t=tanx，則cosx=y=abt y+bt = a (y+bt)2= a2 (1+t2)(a2b2)t22byt+(a2y2)=0……①由于t為實(shí)數(shù)，故①式中的判別式△≥0。即0≤4b2y24(a2b2)(a2y2)=4(a2y2+ b2) 得y2≥a2b2故當(dāng)tanx=時(shí)，ymin=方法規(guī)律：(1)在考慮將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次方程利用判別式求最值時(shí)，必須注意自變量x應(yīng)是取全體實(shí)數(shù)才行，否則可能產(chǎn)生錯(cuò)誤。一般地若x有限制，則只能利用不等式或函數(shù)單調(diào)性來(lái)求解。例6：為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體長(zhǎng)度為 a 米，高度為 b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。(A、B孔面積忽略不計(jì))abBA解法1：設(shè) y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù) 則 y=，其中K＞0為比例系數(shù)。 根據(jù)題設(shè)有4b+2ab+2a=60 (a＞0，b＞0)這時(shí)a=6或a= 10（舍去），將a=6代入得b=3，故當(dāng)a=6米，b=3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。解法2：由題設(shè)知4b+2ab+2a=60那么a+2b+ab=30 (a＞0，b＞0)當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，ab取得最大值，其最大值為18∴2b =18，解得b=3，a=6。故當(dāng)a=6米，b=3米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。方法規(guī)律：(1)對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的雜質(zhì)最少，材料最省，利潤(rùn)最大，效率最高等問(wèn)題一般都是先建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可利用均值不等式求最值或二次函數(shù)求最值或三角函數(shù)求最值，單調(diào)性求最值。(2)解法1的變形是涉及分母是一次式，而分子是二次式的形式，只要具有這種形式的函數(shù)，均可采用類(lèi)似的變形方法。而解法
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