北京四中高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題十七算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(編輯修改稿)
2025-05-14 02:34 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (以b為主元整理或變形) 為利用重要不等式而討論：由題設(shè)知a、c同號(hào) ?。╥）當(dāng)a,c同為正數(shù)時(shí)， (當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立) ∴由①得a+c≥2|b| ∴再由②得1b≥2|b| 2|b|+b≤1 ③ ∴若b0，則由③得 ； 若b0， 則由③得 1≤b0 ∴由③解得1≤b0或 (ii)當(dāng)a,c 同為負(fù)數(shù)時(shí)， ④ ∴由②、④得 1b≤2|b| 2|b|b≤1無(wú)解 于是綜合（i）（ii）得所求b的取值范圍為[1，0）∪（0， ] 點(diǎn)評(píng)：（1）、（2）解題的共同之處，是立足于已知的等式，借助算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)大小的不等式導(dǎo)出有關(guān)變量β的取值范圍，這也展示了這一類問(wèn)題的基本解法?！ ±?． ?。?）已知abc，不等式 恒成立，求k的最大值 ?。?）已知x,y R+,且不等式 恒成立，求a的最小值 分析：此恒等式問(wèn)題與最值有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，而尋求有關(guān)式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 解： ?。?）∵abc ∴原不等式恒成立 恒成立 ① 令 則① k≤u的最小值 ② 又 (分子主動(dòng)與分母溝通聯(lián)系) ≥4 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立） ∴umin=4(當(dāng)且僅當(dāng)a+c=2b時(shí)取得) ③ 于是由②、③得 k≤4，即k的最大值為4 ?。?）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(為便于利用重要不等式而變形) 恒成立(化生為熟轉(zhuǎn)化成功) ④ 令 則④ a≥u的最大值 ⑤ ∵x，y∈R+ (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立) (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立) (當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取得) ⑥ 于是由⑤、⑥得 ，即a的最小值為 例5． 已知a,b R+，且a+b=1，求證： ?。?） （2） ?。?） ?。?） （5） ?。?） 分析：對(duì)于條件不等式的證明，條件的適當(dāng)運(yùn)用是證明的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對(duì)于題設(shè)條件中的等式的應(yīng)用，主要有三個(gè)方面 ?。╥） 直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入； ?。╥i） 換元轉(zhuǎn)化：令a=cos2α , （iii）借助“外因”聯(lián)合推理：由已知等式聯(lián)想有關(guān)的重要不等式，二者聯(lián)合導(dǎo)出已知條件的延伸。 聯(lián)想1：由已知等式本身聯(lián)想重要不等式： a,b R+，且 （1）由左邊a+b聯(lián)想重要不等式 ∴ （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立） （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立） （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立） ?。?） （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立） 聯(lián)想2：由已知等式的等價(jià)變形聯(lián)想重要不等式
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