北京四中高中數(shù)學高考綜合復習專題十七算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)(編輯修改稿)
2025-05-14 02:34 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (以b為主元整理或變形) 為利用重要不等式而討論：由題設知a、c同號 （i）當a,c同為正數(shù)時， (當且僅當a=c時等號成立) ∴由①得a+c≥2|b| ∴再由②得1b≥2|b| 2|b|+b≤1 ③ ∴若b0，則由③得 ； 若b0， 則由③得 1≤b0 ∴由③解得1≤b0或 (ii)當a,c 同為負數(shù)時， ④ ∴由②、④得 1b≤2|b| 2|b|b≤1無解 于是綜合（i）（ii）得所求b的取值范圍為[1，0）∪（0， ] 點評：（1）、（2）解題的共同之處，是立足于已知的等式，借助算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)大小的不等式導出有關變量β的取值范圍，這也展示了這一類問題的基本解法?！ ±?． ?。?）已知abc，不等式 恒成立，求k的最大值 ?。?）已知x,y R+,且不等式 恒成立，求a的最小值 分析：此恒等式問題與最值有著千絲萬縷的聯(lián)系，而尋求有關式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式?！ 〗猓骸 。?）∵abc ∴原不等式恒成立 恒成立 ① 令 則① k≤u的最小值 ② 又 (分子主動與分母溝通聯(lián)系) ≥4?。ó斍覂H當 時等號成立） ∴umin=4(當且僅當a+c=2b時取得) ③ 于是由②、③得 k≤4，即k的最大值為4 （2）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(為便于利用重要不等式而變形) 恒成立(化生為熟轉(zhuǎn)化成功) ④ 令 則④ a≥u的最大值 ⑤ ∵x，y∈R+ (當且僅當x=y時等號成立) (當且僅當x=y時等號成立) (當且僅當x=y時取得) ⑥ 于是由⑤、⑥得 ，即a的最小值為 例5． 已知a,b R+，且a+b=1，求證： ?。?） ?。?） （3） （4） ?。?） （6） 分析：對于條件不等式的證明，條件的適當運用是證明的關鍵環(huán)節(jié)，對于題設條件中的等式的應用，主要有三個方面 ?。╥） 直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入； ?。╥i） 換元轉(zhuǎn)化：令a=cos2α , ?。╥ii）借助“外因”聯(lián)合推理：由已知等式聯(lián)想有關的重要不等式，二者聯(lián)合導出已知條件的延伸。 聯(lián)想1：由已知等式本身聯(lián)想重要不等式： a,b R+，且 ?。?）由左邊a+b聯(lián)想重要不等式 ∴ （當且僅當a=b時等號成立） （當且僅當a=b時等號成立） （當且僅當a=b時等號成立） ?。?） （當且僅當a=b時等號成立） 聯(lián)想2：由已知等式的等價變形聯(lián)想重要不等式
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