大綱版高二數(shù)學下16762算術平均數(shù)幾何平均(修改稿12頁-22頁)-文庫吧資料
2025-07-28 18:08本頁面
【正文】 題設有4b+2ab+2a=60 (a＞0，b＞0)這時a=6或a= 10（舍去），將a=6代入得b=3，故當a=6米，b=3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。例6：為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體長度為 a 米，高度為 b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。即0≤4b2y24(a2b2)(a2y2)=4(a2y2+ b2) 得y2≥a2b2故當tanx=時，ymin=方法規(guī)律：(1)在考慮將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為二次方程利用判別式求最值時，必須注意自變量x應是取全體實數(shù)才行，否則可能產(chǎn)生錯誤。當=時等號成。證法1：x+y=(x+y)( +)=a+b+a+b≥a+b+2=證法2：可利用三角代換，由+=1的特點，可令=cos2θ，=sin2θ，則x=，y=x+y=xa+yb2= xxcos2θ+yysin2θ2= xsin2θ+ycos2θ2=()2≥0證法3：∵a、b、x、y∈R+，且+=1，∴＜1 x＞axa＞0∴x+y=x+b+=(xa)+ +a+b≥a+b+2=方法規(guī)律：對于條件不等式的證明，怎樣使用好條件不等式是解決問題的關鍵，上述三種解法各具特色，也是對“1”的三種不同的理解。解：∵0≤x≤1，∴y=xx3=x(1x2)且1x2≥0又y2=x2(1x2)2=2x2(1x2) (1x2)≤= ∴y≤當且僅當2x2=1x2x=∈[0，1]時，ymin=方法規(guī)律：在利用不等式求函數(shù)最值時，常用到湊配技巧，增項、減項或乘除某一常數(shù)，使和、積成為定值，同時兼顧等號成立條件。解析(1) ：不能直接看出有什么積為定值，故需將已知式變形，能否湊配同積為定值，可觀察出分母可分解因式：思維互動：生：y=x(1x2) =x(1x) (1+x)=x(22x) (1+x) ≤=，不是師：由于取等號條件是x=1+x=22x，這樣的x不存在，故需另想辦法。證明：∵≥≥|a+b|≥(a+b)同理≥(b+c) ≥(c+a)三式相加可得：++≥ (a+b+c)點金術——思維拓展發(fā)散：例3：（1）若已知a＞b＞c，則ac的最小值。（3）∵令= x2= 3不可能∴等號不成立；只能利用函數(shù)的單調(diào)性解決，由≥2，而f (t)= t +在t∈[2，+∞]單調(diào)遞增，所以f (t)min= f (2)=2+=（4）由ab=a+b+3≥2+323≥0≥3；或由已知b==1+ ∵b＞0，∴a1＞0故：ab=a+= a++4=a1
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