三角函數(shù)的單調(diào)性與值域(編輯修改稿)
2024-12-15 22:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 4π3， 4 k π ＋2π3 ( k ∈ Z ) ． 題型二 求值域、最值 【例 2 】 求下列函數(shù)的值域． ( 1) y ＝ | s i n x |＋ s i n x ； ( 2) y ＝ 2 s in??????2 x ＋π3， x ∈??????－π6，π6. [ 思路探索 ] ( 1) 先去掉題中的絕對(duì)值符號(hào)，再利用正弦函數(shù)的值域求解； ( 2) 注意自變量的取值范圍． 解 ( 1) ∵ y ＝ | s i n x |＋ s i n x ＝????? 2s i n x ? s i n x ≥ 0 ? ，0 ? s i n x 0 ? . 又 ∵ － 1 ≤ s in x ≤ 1 ， ∴ y ∈ [ 0,2] ，即函數(shù)的值域?yàn)?[ 0,2] ． ( 2) ∵ －π6≤ x ≤π6， ∴ 0 ≤ 2π ＋π3≤2π3. ∴ 0 ≤ s i n??????2 x ＋π3≤ 1. ∴ 0 ≤ 2 s in??????2 x ＋π3≤ 2 ，即 0 ≤ y ≤ 2. 故函數(shù)的值域?yàn)?[ 0,2] ． 規(guī)律方 法 一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而這些方法也適用于三角函數(shù)，但要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì) ( 有界性 ) ． 【變式 2 】 ( 1) 設(shè) s i n x ＝ 5 t － 1 ，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍； ( 2) 求 y ＝ a s i n x ＋ b ( a ， b ∈ R ， a ≠ 0) 的最值； ( 3) 求 y ＝ c os2x － s i n x ， x ∈??????－π4，π4的值域； ( 4) 求 y ＝3s i n x ＋ 1s i n x ＋ 2的最值． 解 ( 1) 由－ 1 ≤ 5 t － 1 ≤ 1 ，得 0 ≤ t ≤25. ∴ t 的取值范圍是??????0 ，25. ( 2) 若 a 0 ，則 s i n x ＝ 1 時(shí)， ym a x＝ a ＋ b ； s i n x ＝－ 1 時(shí)， ym i n＝b － a . 若 a 0 ，則 s in x ＝－ 1 時(shí)， ym a x＝ b － a ； s i n x ＝ 1 時(shí)， ym i n＝ a ＋ b . ( 3) y ＝－ s i n2x － s i n x ＋ 1 ，令 t ＝ s i n x . ∵ x ∈??????－π4，π4， ∴ t ∈????????－22，22. 原函數(shù)可化為 y ＝－ t2－ t ＋ 1 ＝－??????t ＋122＋54. ∴ 當(dāng) t ＝－12時(shí)，有 ym a x＝54；當(dāng) t ＝22時(shí)， 有 ym i n＝1 － 22. 故原函數(shù)值域?yàn)??
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