高三數(shù)學直線的交點坐標與距離公式(編輯修改稿)
2024-12-15 08:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 )2＋ (y1－ y2)2＝ 25② 聯(lián)立 ①② 可得 ??? x 1 － x 2 ＝ 5y1 － y 2 ＝ 0或 ??? x 1 － x 2 ＝ 0y1 － y 2 ＝ 5. 由上可知，直線 l的傾斜角分別為 0176。 或 90176。 ， 故所求的直線方程為 x＝ 3或 y＝ 1. 對稱問題 求直線 l1： y＝ 2x＋ 3關于直線 l： y＝ x＋ 1對稱的直線 l2的方程． 【 思路點撥 】 轉化為點關于直線的對稱問題，利用方程組求解． 【 自主探究 】 方法一： 由??? y ＝ 2x ＋ 3y ＝ x ＋ 1 知直線 l 1 與 l 的交點坐標為 ( － 2 ，－ 1) ， 設直線 l2的方程為 y＋ 1＝ k(x＋ 2)， 即 kx－ y＋ 2k－ 1＝ 0. 在直線 l上任取一點 (1,2)， 由題設知點 (1,2)到直線 l l2的距離相等， 由點到直線的距離公式得 |k － 2 ＋ 2k － 1|( － 1 )2＋ k2 ＝|2 － 2 ＋ 3|22＋ ( － 1 )2 ， 解得 k ＝12(k ＝ 2 舍去 ) ， ∴ 直線 l2的方程為 x－ 2y＝ 0. 方法二：設所求直線上一點為 P(x， y)， 則在直線 l1上必存在一點 P1(x0， y0)與點 P關于直線 l對稱． 由題設：直線 PP 1 與直線 l 垂直，且線段 PP 1 的中點 P 2 (x ＋ x 02，y ＋ y 02)在直線 l 上 ． ∴????? y 0 － yx 0 － x1 ＝－ 1y ＋ y 02＝x ＋ x 02＋ 1，變形得??? x 0 ＝ y － 1y 0 ＝ x ＋ 1， 代入直線 l1： y＝ 2x＋ 3得 x＋ 1＝ 2(y－ 1)＋ 3， 整理得 x－ 2y＝ 0. 所以所求直線方程為 x－ 2y＝ 0. 【 方法點評 】 常見的對稱問題： (1)中心對稱 ①若點 M(x1， y1)及 N(x， y)關于 P(a， b)對稱，則由中點坐標公式得 ②直線關于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用l1∥ l2，由點斜式得到所求直線方程． (2)軸對稱 ①點關于直線的對稱 若兩點 P1(x1， y1)與 P2(x2， y2)關于直線 l： Ax＋ By＋ C＝ 0對稱，則線段 P1P2的中點在對稱軸 l上，而且連接 P1P2的直線垂直于對稱軸 l，由方程組 可得到點 P1關于 l對稱的點 P2的坐標 (x2， y2)(其中 A≠ 0， x1≠ x2)． ②直線關于直線的對稱 此類問題一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行． 2．在△ MPQ中，已知點 M的坐標為 (3,5)，點 P在直線 l： x－ 2y＋ 2＝ 0上，點 Q在 y軸上，當 P、 Q在什么位置時，△ MPQ的周長最小？ 【 解析 】 如圖所示，易得點 M(3,5)關于 y軸的對稱點 M2(3,5)，關于直線 l的對稱點 M1(5,1)， 則直線 M1M2的方程為 x+2y7=0. 解得直線 M1M2與 y軸的交點 Q . 又解方程組 解得交點 P的坐標為 則△ MPQ的周長為 MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2. 故此時△ MPQ的周長最?。? 直線系方程 求經(jīng)過直線 l1： 3x＋ 2y－ 1＝ 0和 l2： 5x＋ 2y＋ 1＝ 0的交點，且垂直于直線 l3： 3x－ 5y＋ 6＝ 0的直線 l的方程． 【 思路點撥 】 (1)先求交點，然后根據(jù) l3的斜率求出 l的斜率，利用點斜式寫出方程； (2)利用直線系來求． 方法二： ∵ l⊥ l3，故 l是直線系 5x＋ 3y＋ C＝
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