高三數(shù)學(xué)直線的交點坐標與距離公式-在線瀏覽
2025-01-12 08:46本頁面
【正文】 【 方法點評 】 公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握． 2．點到幾種特殊直線的距離 (1)點 P(x0， y0)到 x軸的距離 d＝ |y0|. (2)點 P(x0， y0)到 y軸的距離 d＝ |x0|. (3)點 P(x0， y0)到與 x軸平行的直線 y＝ a的距離 d＝ |y0－ a|. (4)點 P(x0， y0)到與 y軸平行的直線 x＝ b的距離 d＝ |x0－ b|. 【 特別提醒 】 點到直線的距離公式當(dāng) A＝ 0或 B＝ 0時，公式仍成立，但也可不用公式而直接用數(shù)形結(jié)合法來求距離． 1．已知直線 l經(jīng)過點 P(3,1)，且被兩條平行直線 l1： x＋ y＋ 1＝ 0和 l2： x＋ y＋ 6＝ 0截得的線段長為 5，求直線 l的方程． 【 解析 】 方法一：由題意，直線 l1， l2之間的距離為 且直線 l被平行直線 l1， l2所截得的線段 AB的長為 5. 設(shè)直線 l與直線 l1的夾角為 θ ， 則 ，故 θ =45176。 . 由直線 l1： x+y+1=0的傾斜角為 135176。或 90176。 或 90176。1 ＝－ 1y ＋ y 02＝x ＋ x 02＋ 1，變形得??? x 0 ＝ y － 1y 0 ＝ x ＋ 1， 代入直線 l1： y＝ 2x＋ 3得 x＋ 1＝ 2(y－ 1)＋ 3， 整理得 x－ 2y＝ 0. 所以所求直線方程為 x－ 2y＝ 0. 【 方法點評 】 常見的對稱問題： (1)中心對稱 ①若點 M(x1， y1)及 N(x， y)關(guān)于 P(a， b)對稱，則由中點坐標公式得 ②直線關(guān)于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用l1∥ l2，由點斜式得到所求直線方程． (2)軸對稱 ①點關(guān)于直線的對稱 若兩點 P1(x1， y1)與 P2(x2， y2)關(guān)于直線 l： Ax＋ By＋ C＝ 0對稱，則線段 P1P2的中點在對稱軸 l上，而且連接 P1P2的直線垂直于對稱軸 l，由方程組 可得到點 P1關(guān)于 l對稱的點 P2的坐標 (x2， y2)(其中 A≠ 0， x1≠ x2)． ②直線關(guān)于直線的對稱 此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行． 2．在△ MPQ中，已知點 M的坐標為 (3,5)，點 P在直線 l： x－ 2y＋ 2＝ 0上，點 Q在 y軸上，當(dāng) P、 Q在什么位置時，△ MPQ的周長最小？ 【 解析 】 如圖所示，易得點 M(3,5)關(guān)于 y軸的對稱點 M2(3,5)，關(guān)于直線 l的對稱點 M1(5,1)， 則直線 M1M2的方程為 x+2y7=0. 解得直線 M1M2與 y軸的交點 Q . 又解方程組 解得交點 P的坐標為 則△ MPQ的周長為 MQ+PQ+MP=M2Q+PQ+M1P=M1M2. 故此時△ MPQ的周長最小． 直線系方程 求經(jīng)過直線 l1： 3x＋ 2y－ 1＝ 0和 l2： 5x＋ 2y＋ 1＝ 0的交點，且垂直于直線 l3： 3x－ 5y＋ 6＝ 0的直線 l的方程． 【 思路點撥 】 (1)先求交點，然后根據(jù) l3的斜率求出 l的斜率，利用點斜式寫出方程； (2)利用直線系來求． 方法二： ∵ l⊥ l3，故 l是直線系 5x＋ 3y＋ C＝ 0中的一條，而 l過 l l2的交點 (－ 1,2)，故 5 (－ 1)＋ 3 2＋ C＝ 0，由此求出 C＝－ 1，故 l的方程為 5x＋ 3y－ 1＝ 0. 方法三： ∵ l過 l l2的交點， 故 l是直線系 3x＋ 2y－ 1＋ λ (5x＋ 2y＋ 1)＝ 0中的一條， 將其整理，得 (3＋ 5λ )x＋ (2＋ 2λ )y＋ (－ 1＋ λ )＝ 0. 代入直線系方程即得 l的方程為 5x＋ 3y－ 1＝ 0. 方法四： ∵ l⊥ l3，故 l屬于直線系 5x＋ 3y＋ C
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