高三數(shù)學(xué)雙曲線(編輯修改稿)
2024-12-15 04:45 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 － 3 , 2 3 ) 代入 得 λ ＝14， ∴ 雙曲線方程為x29－y216＝14，即x294－y24＝ 1. (2 ) 設(shè)雙曲線方程為x216 － k－y24 ＋ k＝ 1( － 4 ＜ k＜ 1 6 ) ， 將點(diǎn) (3 2 ， 2) 代入得 k ＝ 4 ， ∴ 雙曲線方程為x212－y28＝ 1. 直線與雙曲線 已知兩定點(diǎn)， F1( － 2 ， 0) ， F2( 2 ， 0) ，滿足條件 | PF2|－ | PF1|＝ 2 的點(diǎn) P 的軌跡是曲線 E ，直線 y ＝ kx － 1 與曲線 E 交于 A 、 B 兩點(diǎn)． (1 ) 求 k 的取值范圍； (2 ) 如果 | AB |＝ 6 3 且曲線 E 上存在點(diǎn) C ，使 OA→＋OB→＝ m OC→，求 m 的值和 △ ABC 的面積 S . 【思路點(diǎn)撥】 解答本題 ( 1 ) 可先由已知條件求出曲線 E 的方程，由直線及曲線 E的方程得到關(guān)于 x 的一元二次方程；再由已知條件得到關(guān)于 k 的不等式組，求出 k的取值范圍； (2 ) 可根據(jù) ( 1 ) 中 k 的范圍及| AB |＝ 6 3 求出 k 的值，得到直 線 AB 的方程，再求 m 的值及 C 點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得△ ABC 的面積 ． 【解析】 (1 ) 由雙曲線的定義可知，曲線 E是以 F1( － 2 ， 0) ． F2( 2 ， 0) 為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且 c ＝2 ， a ＝ 1 ，易知 b ＝ 1 ， 故曲線 E 的方程為 x2－ y2＝ 1( x ≤ － 1) ． 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由題意建立方程組????? y ＝ kx － 1x2－ y2＝ 1， 消去 y ，得 (1 － k2) x2＋ 2 kx － 2 ＝ 0. 又已知直線與雙 曲線的左支交于 A ， B兩點(diǎn)，有??????????? 1 － k2≠ 0Δ ＝ ( 2 k )2＋ 8 ( 1 － k2) ＞ 0x1＋ x2＝－ 2 k1 － k2＜ 0x1x2＝－ 21 － k2＞ 0 解得－ 2 ＜ k ＜－ 1. (2 ) ∵ | AB |＝ 1 ＋ k2| x 1 － x 2 | ＝ 1 ＋ k2 ( x 1 ＋ x 2 )2－ 4 x 1 x 2 ＝ 1 ＋ k2??????－ 2 k1 － k22－ 4－ 21 － k2 ＝ 2( 1 ＋ k2) ( 2 － k2)( 1 － k2)2 . 依題意得 2( 1 ＋ k2) ( 2 － k2)( 1 － k2)2＝ 6 3 ， 整理后得 28 k4－ 55 k2＋ 25 ＝ 0 ， ∴ k2＝57或 k2＝54， 但－ 2 ＜ k ＜－ 1 ， ∴ k ＝－52， 故直線 AB 的方程為52x ＋ y ＋ 1 ＝ 0. 設(shè) C ( x0， y0) ， 由已知 OA→＋ OB→＝ m OC→， 得 ( x1， y1) ＋ ( x2， y2) ＝ ( mx0， my0) ， ∴ ( x0， y0) ＝????????x1＋ x2m，y1＋ y2m， m ≠ 0 ， 又 x1＋ x2＝2 kk2－ 1＝－ 4 5 ， y1＋ y2＝ k ( x1＋ x2) － 2 ＝2 k2k2－ 1－ 2 ＝2k2－ 1＝ 8 ， ∴ C????????－ 4 5m，8m. 將點(diǎn) C 的坐標(biāo)代入曲線 E 的方程，得80m2 －64m2 ＝ 1 ， 解得 m ＝ 177。4 ， 但當(dāng) m ＝－ 4 時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意， ∴ m ＝ 4 ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( － 5 ， 2) ． C 到 AB 的距離為????????52 ( － 5 ) ＋ 2 ＋ 1????????522＋ 12＝13， ∴△ ABC 的面積 S ＝12 6 3 13＝ 3 . 平面向量與平面解析幾何的綜合考查是近幾年高考考查的熱點(diǎn)問題，往往通過向量的運(yùn)算及其幾何意義來解決解析幾何問題，在解析幾何中當(dāng)直線與曲線相交時(shí)，對于交點(diǎn)坐標(biāo)若直接求解有時(shí)非常復(fù)雜，故往往設(shè)而不求，即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在曲線上或其滿足的性質(zhì)求解，本題借助直線與雙曲線相交，利用設(shè)而不求的思想，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算及根與系數(shù)的關(guān)系求解． 2 ．已知雙曲線 x2－ y2＝ 2 的右焦點(diǎn)為F ，過點(diǎn) F 的動(dòng)直線與雙曲線相交于 A 、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 ( 1 ,0) ， (1 ) 證明 CA→C
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