橢圓的標準方程及其幾何性質(編輯修改稿)
2025-08-11 00:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴k2＝0，∴－1m－ 或 m1容易驗證k22m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1） 題15。設x、y∈R，i、j為直角坐標平面內(nèi)x、y軸正方向上的單位向量，若向量a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8.（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程.（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設=+，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由.（1）解法一：∵a=xi+（y+2）j，b=xi+（y－2）j，且|a|+|b|=8，∴點M（x，y）到兩個定點F1（0，－2），F(xiàn)2（0，2）的距離之和為8.∴軌跡C為以FF2為焦點的橢圓，方程為+=1.解法二：由題知，+=8，移項，得=8－，兩邊平方，得x2+（y+2）2=x2+（y－2）2－16+64，整理，得2=8－y，兩邊平方，得4［x2+（y－2）2］=（8－y）2，展開，整理得+=1.（2）∵l過y軸上的點（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點.∵=+=0，∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾.∴=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），消y得（4+3k2）x2+18kx－21=，Δ=（18k2）－4（4+3k2）由 y=kx+3，+=1，（－21）＞0恒成立，且x1+x2=－，x1x2=－.∵=+，∴，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即=0.∵=（x1，y1），=（x2，y2），∴=x1x2+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，即（1+k2）（－）+3k（－）+9=0，即k2=，得k=177。.∴存在直線l：y=177。x+3，使得四邊形OAPB是矩形.橢圓作業(yè)班級：______________姓名：____________題16。選擇題1. 已知FF2是橢圓+=1的兩個焦點，過F1的直線與橢圓交于M、N兩點，則△MNF2的周長為 解析：利用橢圓的定義易知B正確.答案：B2. 橢圓+y2=1的兩個焦點為FF2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則||等于A. B. C. 解法一：（如下圖）設橢圓的右焦點為F1，左焦點為F2，過F1垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點為P.∵+y2=1，∴a=2，b=1，c=.∴F1（，0）.設P（，yP）代入+y2=1，得yP=，∴P（，），|PF1|=.又∵|PF2|+|PF1|=2a=4，∴|PF2|=4－|PF1|=4－=.3. 設FF2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓F2，已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于M點，若直線MF1恰與圓F2相切，則該橢圓的離心率e為A. －1 － C. D.解析：易知圓F2的半徑為c，（2a－c）2+c2=4c2，（）2+2（）－2=0，=－1.答案：A4. 已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（ ） A． 5 B． 7 C ．13 D． 15 [解析]B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，的最小值為1012=75. 橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑不計），從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次
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