高三數學角的概念的推廣(編輯修改稿)
2024-12-15 04:10 本頁面
【文章內容簡介】 α ＝－34. 【 方法點評 】 α 終邊上一點 P的坐標，則可先求出點 P到原點的距離 r，然后用三角函數的定義求解． 2．已知角 α 的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數的定義來求相關問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角 α 的值． 【 特別提醒 】 若角 α 的終邊落在某條直線上，一般要分類討論． 1．已知角 θ 終邊上一點 P(x,2x－ 3)(其中 x≠0) 且 tan θ ＝－ x，求 sin θ ＋ cos θ 的值． 【 解析 】 ∵tan θ ＝ 2x － 3x ， ∴ 2x － 3x ＝－ x ， 整理得 x2＋ 2x－ 3＝ 0， ∴ x＝－ 3或 x＝ 1. 當 x＝－ 3時， P(－ 3，－ 9)， r ＝ ( － 3 )2＋ ( － 9 )2＝ 3 10 ， sin θ ＝－ 93 10＝－3 1010， cos θ ＝－ 33 10＝－1010， ∴sin θ ＋ co s θ ＝－2 105； 當 x ＝ 1 時， P(1 ，－ 1) ， r ＝ ( － 1 )2＋ 12＝ 2 ， sin θ ＝－ 12＝－22， cos θ ＝12＝22， ∴sin θ ＋ co s θ ＝ 0. 象限角三角函數的符號 (1)如果點 P(sin θ cos θ ， 2cos θ )位于第三象限，試判斷角 θ 所在的象限． (2) 若 θ 是第二象限角，則 sin ( c o s θ )cos ( s i n 2 θ ) 的符號是什么？ 【 思路點撥 】 (1)由點 P所在的象限，知道 sinθ cos θ ，2cosθ 的符號，從而可求 sinθ 與 cosθ 的符號． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ ， sin2θ 的范圍，進而把cos θ ， sin 2θ 看作一個用弧度制的形式表示的角，并判斷其所在的象限，從而 sin(cosθ )， cos(sin2θ )的符號可定． 【 自主探究 】 (1) 因為點 P(sin θ co s θ ， 2c os θ )位于第三象限，所以 sin θ cos θ 0 , 2cos θ 0 ，即??? sin θ 0cos θ 0，所以 θ 為第二象限角 ． (2) ∵ 2k π ＋π2 θ 2k π ＋ π (k ∈ Z ) ， ∴ － 1 cos θ 0 ， 4k π ＋ π 2 θ 4k π ＋ 2 π ，－ 1 ≤ sin 2 θ 0. ∴ sin( cos θ )0 ， cos(si n 2 θ )0 ， ∴sin ( cos θ )cos ( sin 2 θ )0. ∴sin ( cos θ )cos ( sin 2 θ )的符號是負號 ． 【 方法點評 】 符號是關鍵． 2．判斷三角函數值的符號就是要判斷角所在的象限． 3．對于已知三角函數式的符號判斷角所在象限，可先根據三角函數式的符號確定三角函數值的符號，再判斷角所在象限． 2 ．若 α 是第二象限角，試分別確定 2 α 、 α2 、 α3 的終邊所在位置． 【 解析 】 ∵ α 是第二象限角， ∴ 90176。 ＋ k360 176。 α 180176。 ＋ k360 176。 (k∈ Z)， (1)∵ 180176。 ＋ 2k360 176。 2α 360176。 ＋ 2k360 176。 (k∈ Z)， 故 2α 是第三或第四象限角，或 2α 的終邊在 y軸的非正半軸上． (2)∵4 5176。
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