高三數(shù)學(xué)棱柱和棱錐的概念和性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-12-16 07:29 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 特殊梯形的使用等，其次還要注意各種平行與垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，如將線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行或面面平行來(lái)解決． 1 ． (2 008 年安徽 ) 如圖所示，在四棱錐 O — ABC D 中，底面ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的菱形，∠ ABC ＝π4， OA ⊥ 底面 ABCD ，OA ＝ 2 ， M 為 OA 的中點(diǎn)， N為 BC 的中點(diǎn)． ? (1)證明：直線 MN∥ 平面 OCD； ? (2)求異面直線 AB與 MD所成角的大??； ? (3)求點(diǎn) B到平面 OCD的距離． ? 【 解析 】 (1)證明：取 OB中點(diǎn) E，連接 ME， NE ? ∵ ME∥ AB， AB∥ CD ? ∴ ME∥ CD ? 又 ∵ NE∥ OC ? ∴ 平面 MNE∥ 平面 OCD ? ∴ MN∥ 平面 OCD. (2 ) ∵ CD ∥ AB ， ∴∠ M D C 為異面直線 AB 與 MD 所成的 角 ( 或其補(bǔ)角 ) ． 作 AP ⊥ CD 于點(diǎn) P ，連結(jié) MP ， ∵ OA ⊥ 平面 AB CD ， ∴ CD ⊥ MP . ∵∠ ADP ＝π4， ∴ DP ＝22， ∵ MD ＝ MA2＋ AD2＝ 2 ， ∴ cos ∠ MDP ＝DPMD＝12， ∠ MDC ＝ ∠ MDP ＝π3. ∴ AB 與 MD 所成角的大小為π3. (3) ∵ AB ∥ 平面 OC D ， ∴ 點(diǎn) B 和點(diǎn) A 到平面OCD 的距離相等，連結(jié) OP ，過(guò)點(diǎn) A 作AQ ⊥ OP 于點(diǎn) Q . ∵ AP ⊥ CD ， OA ⊥ CD ， ∴ CD ⊥ 平面 OAP ， ∵ AQ ? 平面 OA P ， ∴ AQ ⊥ CD . 又 ∵ AQ ⊥ OP ， ∴ AQ ⊥ 平面 OC D ，線段 AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn) A 到平面 OC D 的距離． ∵ OP ＝ OD2－ DP2＝ OA2＋ AD2－ DP2＝4 ＋ 1 －12 ＝3 22， AP ＝ DP ＝22， ∴ AQ ＝OA APOP＝2223 22＝23. ∴ 點(diǎn) B 到平面 OCD 的距離為23. 棱柱、棱錐中的角與距離 在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AA 1 ＝ AB＝ AC ＝ 4 ， ∠ BAC ＝ 90176。 ， D 為側(cè)面ABB 1 A 1 的中心， E 為 BC 的中點(diǎn)． (1) 求證：平面 DB 1 E ⊥ 平面 BCC 1 B 1 ； (2) 求異面直線 A 1 B 與 B 1 E 所成的角； (3) 求點(diǎn) C 1 到平面 DB 1 E 的距離． 【思路點(diǎn)撥】 (1) AE ⊥ BC ， AE ⊥ BB1AE ⊥平面 BCC1B1平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1 (2) 作出異面直線所成角 利用余弦定理求角得異面直線所成角 (3) 作 C1H ⊥ B1E 于 H △ B1HC1∽△ EBB1C1HBB1＝B1C1B1E求出 C1H 得點(diǎn) C1到平面 DB1E 的距離 【解析】 (1 ) 證明：連結(jié) AE . ∵ AB ＝ AC ，且 E 為 BC 的中點(diǎn)， ∴ AE ⊥ BC ， ∵ BB1⊥ 平面 ABC ， ∴ AE ⊥ BB1， ∵ BC ∩ BB1＝ B ， ∴ AE ⊥ 平面 BCC1B1， ∵ AE ? 平面 DB1E ， ∴ 平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1. (2 ) 取 AE 中點(diǎn) F ，連結(jié) DF 、 BF . ∵ D 是 AB1的中點(diǎn) ∴ DF ∥ B1E ∴∠ BDF 是 A1B 和 B1E 所成角． 在 △ BDF 中 BF ＝ BE2＋ EF2＝ 10 DB ＝12A1B ＝ 2 2 DF ＝ 22＋ ( 2 )2＝ 6 ∴ cos ∠ BDF ＝( 2 2 )2＋ ( 6 )2－ ( 10 )22 2 2 6 ＝112＝36 (3 ) 作 C1H ⊥ B1E 于 H ， ∵ 平面 DB1E ⊥ 平面 BCC1B1， C1H ? 平面 BCC1B1， ∴ C1H ⊥ 平面 DB1E ， ∴ C1H 的長(zhǎng)即為點(diǎn) C1到平面 DB1E 的距離． ∵△ B1HC1∽△ EBB1， ∴C1HBB1＝B1C1B1E， ∴ C1H ＝B1C1B1E BB1
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