【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 基于點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)近似，是應(yīng)用點(diǎn)導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的多項(xiàng)式。該近似在點(diǎn)附近表現(xiàn)良好。當(dāng)偏離時(shí)，近似的準(zhǔn)確性衰減。在點(diǎn)的較大領(lǐng)域內(nèi)，我們可應(yīng)用有限階泰勒級(jí)數(shù)得到很好的近似。當(dāng)時(shí)，“是的階近似”可表示為：該式說(shuō)明，逼近的誤差的上界是，其中是任意大于0的常數(shù)。因此對(duì)于任何接近的，近似函數(shù)很接近。上述的泰勒級(jí)數(shù)即為原函數(shù)在點(diǎn)（非奇異）的階近似，因?yàn)槠湔`差項(xiàng)為。解析函數(shù)的隱函數(shù)定理我們分析所采用的另一個(gè)工具是解析函數(shù)（analytic function）的隱函數(shù)定理（Implicit Function Theorem, IFT）。隱函數(shù)定理（IFT） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。：假設(shè)在有無(wú)窮階偏導(dǎo)，且。若非奇異（nonsingular），則存在唯一的函數(shù)，在有無(wú)窮階偏導(dǎo)，且對(duì)于某開(kāi)領(lǐng)域中的，有。在的偏導(dǎo)可以通過(guò)的隱微分（implicit differentiation）計(jì)算得到。IFT說(shuō)明，如果非奇異，我們可以通過(guò)計(jì)算在的偏導(dǎo)數(shù)。如在的梯度（gradient）為結(jié)合泰勒定理和隱函數(shù)定理（IFT），我們可以得到由隱函數(shù)定義的在附近的局部多項(xiàng)式近似。（二）分岔方法應(yīng)用上文的隱函數(shù)定理，前提條件是非奇異，而Judd and Guu（2001）的資產(chǎn)市場(chǎng)分析方法需要計(jì)算的隱函數(shù)近似，并不滿(mǎn)足該條件。解決的辦法是應(yīng)用分岔方法。我們首先給出一般定理，然后再應(yīng)用于解決一些資產(chǎn)市場(chǎng)問(wèn)題。假設(shè)有二階偏導(dǎo)，且由隱函數(shù)定義。顯然，對(duì)于不同的，我們可以通過(guò)求解得到對(duì)應(yīng)的值。接著我們定義分岔點(diǎn)（bifurcation point）。分岔點(diǎn)（bifurcation point） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。：是的分岔點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，經(jīng)過(guò)時(shí)，的解的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化，并存在兩條不同的參數(shù)路徑，，有且。分岔點(diǎn)的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是，函數(shù)上的點(diǎn)。若，則有唯一解；若，則任意均為的解。因此當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，“的解的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化”，是一個(gè)分岔點(diǎn)，的兩個(gè)解是和。在點(diǎn)上，不能對(duì)直接應(yīng)用隱函數(shù)定理，因?yàn)榇藭r(shí)的雅可比行列式（Jacobian）是奇異的。假設(shè)我們側(cè)重考察的情況，而不是、取任意值的情況，因?yàn)槲覀兿Ｍ私馊绾坞S變動(dòng)而變動(dòng)。此時(shí)可應(yīng)用分岔方法，一元函數(shù)的情況如下：一元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。：假設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)有無(wú)窮階偏導(dǎo)，且對(duì)于所有的有。假設(shè), 則是一個(gè)分岔點(diǎn)，且存在的某個(gè)開(kāi)領(lǐng)域和函數(shù)，有無(wú)窮階偏導(dǎo)，時(shí)，當(dāng)時(shí)。根據(jù)Zeidler（1986）的方法，如果假設(shè)則和可以定義為應(yīng)用上述定理就可以解決的問(wèn)題。對(duì)所有的有，而。通過(guò)上述公式可以計(jì)算得到，而更高階導(dǎo)數(shù)為0。盡管該例看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際上Judd and Guu（2001）和本文所要解決的問(wèn)題與此類(lèi)似。該框架還可以擴(kuò)展到多元函數(shù)的情況。多元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。：假設(shè)在附近有無(wú)窮階偏導(dǎo)，且對(duì)于所有的有。假設(shè) 那么存在的某個(gè)開(kāi)領(lǐng)域和函數(shù)，有無(wú)窮階偏導(dǎo)，時(shí)，當(dāng)時(shí)。分岔定理說(shuō)明函數(shù)有無(wú)窮階偏導(dǎo)，可以應(yīng)用多元泰勒級(jí)數(shù)逼近。其一階導(dǎo)數(shù)定義為上文給出的分岔定理假設(shè)為0矩陣，實(shí)際上有的擴(kuò)展定理假設(shè)是奇異的。在本文的研究中，僅需要應(yīng)用上文給出的基本定理，而不必考慮更復(fù)雜的情況。（三）Judd and Guu模型為便于后文的進(jìn)一步分析，我們首先簡(jiǎn)要介紹Judd and Guu模型的基本框架和結(jié)論，包括模型的低風(fēng)險(xiǎn)假定、低風(fēng)險(xiǎn)條件下的資產(chǎn)組合需求、存在單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡、存在單一衍生資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡等幾個(gè)部分。低風(fēng)險(xiǎn)（small risks）假定Judd and Guu模型的最關(guān)鍵假定就是低風(fēng)險(xiǎn)假定，這并不是指資產(chǎn)市場(chǎng)中的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)很小，而是基于以下三方面的理由：首先，Judd and Guu兩階段模型中的時(shí)間段是指兩次交易之間的時(shí)間段。由于目前的資產(chǎn)市場(chǎng)通常流動(dòng)性好而且交易成本低，因此可以合理地假定交易之間所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)較小。其次，低風(fēng)險(xiǎn)假定下的結(jié)論可能具有一般意義。例如，近似結(jié)果可以為某些理論假說(shuō)提供反例；模型的一般結(jié)論在低風(fēng)險(xiǎn)條件下成立。最后，采用低風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)可以避免對(duì)投資者偏好和證券收益作假設(shè)。Judd and Guu研究中所得到的關(guān)于資產(chǎn)配置和福利效應(yīng)的一般化公式，僅依賴(lài)于資產(chǎn)收益的矩（moments）和投資者的效用函數(shù)。該假定也給出了進(jìn)一步研究的方向，如發(fā)展動(dòng)態(tài)模型，以檢驗(yàn)低風(fēng)險(xiǎn)條件下靜態(tài)分析所得到的結(jié)論的可靠性；考察高風(fēng)險(xiǎn)假定下的情況，以檢驗(yàn)所得到的結(jié)論的穩(wěn)健性（robust）。低風(fēng)險(xiǎn)條件下的資產(chǎn)組合需求假設(shè)投資者的總財(cái)富為。而市場(chǎng)上存在兩種金融資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票。1單位貨幣的債券投資的回報(bào)是1單位貨幣，即假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益為市場(chǎng)的基準(zhǔn)收益。1單位貨幣的股票投資的回報(bào)是。若投資者持有的股票份額為，則其期終財(cái)富為。假設(shè)投資者選擇以使其效用最大化，其中為凹效用函數(shù)。Judd and Guu證明，時(shí)為風(fēng)險(xiǎn)容忍度（risk tolerance）和單位方差的風(fēng)險(xiǎn)溢酬（risk premium）的乘積。關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)容忍度、偏態(tài)容忍度（Skew tolerance）和峰態(tài)容忍度（Kurtosis tolerance）的詳細(xì)定義在后文給出。還可以進(jìn)一步計(jì)算低風(fēng)險(xiǎn)條件下，即接近0時(shí)值的泰勒序列近似其中是時(shí)的值。通過(guò)計(jì)算、和更高階的導(dǎo)數(shù)，可以得到的近似值。若市場(chǎng)中存在多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，求解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的近似值時(shí)需要應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理。存在單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡接著Judd and Guu將低風(fēng)險(xiǎn)條件下資產(chǎn)組合需求的結(jié)論應(yīng)用于均衡分析。其模型為兩階段的純交換模型，經(jīng)濟(jì)主體在0期交易資產(chǎn)，而在1期消費(fèi)資產(chǎn)。市場(chǎng)中存在兩種金融資產(chǎn)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票。Judd and Guu稱(chēng)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。與前一部分不同的是，還需加入交易者的預(yù)算約束條件和市場(chǎng)出清（market clearing）條件。根據(jù)交易者目標(biāo)函數(shù)（效用函數(shù)）最優(yōu)化的一階條件，可以得到一組方程，對(duì)其應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時(shí)的股票投資份額和股票交易價(jià)格的近似值。實(shí)際要得到的是風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格而不是股票的價(jià)格，因此模型將股票價(jià)格定義為，其中為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的風(fēng)險(xiǎn)溢酬。應(yīng)用分岔方法得到和，進(jìn)而可以計(jì)算和的一階近似，即和當(dāng)足夠小時(shí)，上式可以告訴我們和的基本特征。存在單一衍生資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡在上述模型中進(jìn)一步引入新衍生性資產(chǎn)，擴(kuò)大資產(chǎn)市場(chǎng)的跨度空間。假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中衍生品的回報(bào)為，價(jià)格為?？煞纸鉃閮刹糠?，一部分在股票和債券的跨度空間內(nèi)，另一部分與股票和債券正交，即，其中是的均值，是與的協(xié)方差，是股票回報(bào)中的風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)，而非零隨機(jī)變量代表中的創(chuàng)新部分。用表示交易后衍生品的持有量。對(duì)股票價(jià)格的假設(shè)與上一部分相同，而衍生品的價(jià)格假設(shè)為。與上一部分類(lèi)似，應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時(shí)的、和值及更高階的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到、和的泰勒級(jí)數(shù)近似。Judd and Guu（2001）的研究給出了低風(fēng)險(xiǎn)假定下求解資產(chǎn)市場(chǎng)均衡的近似方法。本研究將其模型一般化，考察市場(chǎng)中存在有限類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和交易者，和存在交易費(fèi)用時(shí)的情況，并進(jìn)一步探討金融創(chuàng)新的市場(chǎng)和社會(huì)福利效應(yīng)，及最優(yōu)衍生品設(shè)計(jì)。四、模型I：存在有限類(lèi)交易者 Elul（1995）和Cass and Citanna（1998）的研究認(rèn)為，金融創(chuàng)新的福利效應(yīng)受市場(chǎng)中交易者（家庭）的數(shù)量的影響。因此我們首先考察交易者數(shù)量對(duì)金融創(chuàng)新的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的影響，通過(guò)在Judd and Guu模型中引入更多的（有限類(lèi)，或M類(lèi)）交易者，而不僅是兩類(lèi)交易者，進(jìn)行金融創(chuàng)新的市場(chǎng)效應(yīng)和社會(huì)福利效應(yīng)的分析，并進(jìn)行最優(yōu)證券設(shè)計(jì)。為便于分析，先介紹由Judd and Guu所定義的一些代表交易者偏好的效用參數(shù)。（一）風(fēng)險(xiǎn)容忍度（Risk tolerance）傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)容忍度 （1） 傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)容忍度通常被經(jīng)濟(jì)學(xué)家應(yīng)用于描述交易者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。偏態(tài)容忍度（Skew tolerance） （2）偏態(tài)容忍度包含傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)容忍度和謹(jǐn)慎度（prudence）以衡量預(yù)防性?xún)?chǔ)蓄動(dòng)機(jī)（precautionary saving motive）的強(qiáng)度。在Judd and Guu及本文的研究中，偏態(tài)容忍度被應(yīng)用于描述一些重要結(jié)論。由于傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)理論中沒(méi)有對(duì)的正負(fù)性做假設(shè)，所以偏態(tài)容忍度的符號(hào)也不確定。但在本研究中我們假設(shè)（參考經(jīng)濟(jì)研究中常用的CRRA類(lèi)效用函數(shù)的定義），因此偏態(tài)容忍度也為正 對(duì)謹(jǐn)慎度（prudence）的詳細(xì)討論，可參考Kimball（1990）。峰態(tài)容忍度（Kurtosis tolerance） （3）峰態(tài)容忍度用于描述交易者面對(duì)高階衍生品時(shí)，其效用函數(shù)的行為。（二）存在三類(lèi)交易者我們首先討論市場(chǎng)存在三類(lèi)交易者的情況，到下一部分再擴(kuò)展至M類(lèi)交易者的情況。整個(gè)模型可以描述為：考慮一個(gè)兩階段（）和低風(fēng)險(xiǎn)（smallrisk）的模型，模型中包含三類(lèi)交易者和一個(gè)金融市場(chǎng)，在時(shí) 模型中兩階段之間的時(shí)間是指兩次交易之間的時(shí)間。，市場(chǎng)中有債券和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。用和分別表示類(lèi)投資者在時(shí)所持有的債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)份額。如果將一衍生資產(chǎn)引入模型，并假設(shè)已獲得投資者的認(rèn)可，我們用表示類(lèi)交易者在交易后所持有的衍生資產(chǎn)的份額，那么在時(shí)，其總資產(chǎn)為： （4）上式中各變量的定義為：是債券在時(shí)的報(bào)酬（payoff） 這里的報(bào)酬不是單指?jìng)睦ⅲ前ū窘鸷屠?。，用于描述整個(gè)金融結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn) 當(dāng)時(shí)，整個(gè)金融環(huán)境是確定性的。；和是具有限階矩的隨機(jī)變量，分別用于描述風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)報(bào)酬的不確定性，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)的報(bào)酬分別為和。不失一般性，我們假設(shè)，并且。我們將分解為兩部分，一部分可以由債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的跨度得到，另一部分和現(xiàn)有資產(chǎn)正交，即： （5）其中是和之間的協(xié)方差，是表達(dá)金融創(chuàng)新的隨機(jī)變量。同樣的，不失一般性，我們假設(shè)。因此，類(lèi)交易者面臨的預(yù)算約束為： （6）其中和分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)的價(jià)格，交易者試圖使其在時(shí)的期望效用最大化，其中是凹的（concave） 這里我們假定交易者均為風(fēng)險(xiǎn)厭惡，避免選擇角點(diǎn)解（corner solutions）。值得注意的是，上述設(shè)定說(shuō)明，當(dāng)時(shí)債券與股票的報(bào)酬相同，也就是說(shuō)，當(dāng)面臨無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的金融環(huán)境時(shí)，交易者的兩種資產(chǎn)組合可以相互替換。從而我們不能直接應(yīng)用隱函數(shù)定理（implicit function theorem），因?yàn)殡[函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣是退化的（singularity）。這就是為什么我們需要應(yīng)用分岔方法（bifurcation method）而不是隱函數(shù)定理 在附錄I中我們簡(jiǎn)要介紹隱函數(shù)定理和分岔定理。如前文所述，類(lèi)交易者試圖最大化：分別對(duì)和取偏微分，我們就得到均衡的六個(gè)必要條件： （7） （8）我們需要在的某鄰域內(nèi)求解類(lèi)交易者的投資組合問(wèn)題，而無(wú)套利條件為和。由于在上述必要條件中，我們分別對(duì)和取偏微分時(shí)，所得到的矩陣可能是退