【文章內(nèi)容簡介】 基于點的泰勒級數(shù)近似，是應用點導數(shù)構造的多項式。該近似在點附近表現(xiàn)良好。當偏離時，近似的準確性衰減。在點的較大領域內(nèi)，我們可應用有限階泰勒級數(shù)得到很好的近似。當時，“是的階近似”可表示為：該式說明，逼近的誤差的上界是，其中是任意大于0的常數(shù)。因此對于任何接近的，近似函數(shù)很接近。上述的泰勒級數(shù)即為原函數(shù)在點（非奇異）的階近似，因為其誤差項為。解析函數(shù)的隱函數(shù)定理我們分析所采用的另一個工具是解析函數(shù)（analytic function）的隱函數(shù)定理（Implicit Function Theorem, IFT）。隱函數(shù)定理（IFT） 引自Judd and Guu（2001），參見文末數(shù)學附錄。：假設在有無窮階偏導，且。若非奇異（nonsingular），則存在唯一的函數(shù)，在有無窮階偏導，且對于某開領域中的，有。在的偏導可以通過的隱微分（implicit differentiation）計算得到。IFT說明，如果非奇異，我們可以通過計算在的偏導數(shù)。如在的梯度（gradient）為結合泰勒定理和隱函數(shù)定理（IFT），我們可以得到由隱函數(shù)定義的在附近的局部多項式近似。（二）分岔方法應用上文的隱函數(shù)定理，前提條件是非奇異，而Judd and Guu（2001）的資產(chǎn)市場分析方法需要計算的隱函數(shù)近似，并不滿足該條件。解決的辦法是應用分岔方法。我們首先給出一般定理，然后再應用于解決一些資產(chǎn)市場問題。假設有二階偏導，且由隱函數(shù)定義。顯然，對于不同的，我們可以通過求解得到對應的值。接著我們定義分岔點（bifurcation point）。分岔點（bifurcation point） 引自Judd and Guu（2001），參見文末數(shù)學附錄。：是的分岔點當且僅當，經(jīng)過時，的解的數(shù)量會發(fā)生變化，并存在兩條不同的參數(shù)路徑，，有且。分岔點的一個簡單例子是，函數(shù)上的點。若，則有唯一解；若，則任意均為的解。因此當經(jīng)過時，“的解的數(shù)量會發(fā)生變化”，是一個分岔點，的兩個解是和。在點上，不能對直接應用隱函數(shù)定理，因為此時的雅可比行列式（Jacobian）是奇異的。假設我們側重考察的情況，而不是、取任意值的情況，因為我們希望了解如何隨變動而變動。此時可應用分岔方法，一元函數(shù)的情況如下：一元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見文末數(shù)學附錄。：假設函數(shù)在的某領域內(nèi)有無窮階偏導，且對于所有的有。假設, 則是一個分岔點，且存在的某個開領域和函數(shù)，有無窮階偏導，時，當時。根據(jù)Zeidler（1986）的方法，如果假設則和可以定義為應用上述定理就可以解決的問題。對所有的有，而。通過上述公式可以計算得到，而更高階導數(shù)為0。盡管該例看似簡單，但實際上Judd and Guu（2001）和本文所要解決的問題與此類似。該框架還可以擴展到多元函數(shù)的情況。多元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見文末數(shù)學附錄。：假設在附近有無窮階偏導，且對于所有的有。假設 那么存在的某個開領域和函數(shù)，有無窮階偏導，時，當時。分岔定理說明函數(shù)有無窮階偏導，可以應用多元泰勒級數(shù)逼近。其一階導數(shù)定義為上文給出的分岔定理假設為0矩陣，實際上有的擴展定理假設是奇異的。在本文的研究中，僅需要應用上文給出的基本定理，而不必考慮更復雜的情況。（三）Judd and Guu模型為便于后文的進一步分析，我們首先簡要介紹Judd and Guu模型的基本框架和結論，包括模型的低風險假定、低風險條件下的資產(chǎn)組合需求、存在單一風險資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場均衡、存在單一衍生資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場均衡等幾個部分。低風險（small risks）假定Judd and Guu模型的最關鍵假定就是低風險假定，這并不是指資產(chǎn)市場中的實際風險很小，而是基于以下三方面的理由：首先，Judd and Guu兩階段模型中的時間段是指兩次交易之間的時間段。由于目前的資產(chǎn)市場通常流動性好而且交易成本低，因此可以合理地假定交易之間所產(chǎn)生的風險較小。其次，低風險假定下的結論可能具有一般意義。例如，近似結果可以為某些理論假說提供反例；模型的一般結論在低風險條件下成立。最后，采用低風險假設可以避免對投資者偏好和證券收益作假設。Judd and Guu研究中所得到的關于資產(chǎn)配置和福利效應的一般化公式，僅依賴于資產(chǎn)收益的矩（moments）和投資者的效用函數(shù)。該假定也給出了進一步研究的方向，如發(fā)展動態(tài)模型，以檢驗低風險條件下靜態(tài)分析所得到的結論的可靠性；考察高風險假定下的情況，以檢驗所得到的結論的穩(wěn)健性（robust）。低風險條件下的資產(chǎn)組合需求假設投資者的總財富為。而市場上存在兩種金融資產(chǎn)，無風險資產(chǎn)債券和風險資產(chǎn)股票。1單位貨幣的債券投資的回報是1單位貨幣，即假定無風險收益為市場的基準收益。1單位貨幣的股票投資的回報是。若投資者持有的股票份額為，則其期終財富為。假設投資者選擇以使其效用最大化，其中為凹效用函數(shù)。Judd and Guu證明，時為風險容忍度（risk tolerance）和單位方差的風險溢酬（risk premium）的乘積。關于風險容忍度、偏態(tài)容忍度（Skew tolerance）和峰態(tài)容忍度（Kurtosis tolerance）的詳細定義在后文給出。還可以進一步計算低風險條件下，即接近0時值的泰勒序列近似其中是時的值。通過計算、和更高階的導數(shù)，可以得到的近似值。若市場中存在多種風險資產(chǎn)，求解風險資產(chǎn)需求的近似值時需要應用多元函數(shù)的分岔定理。存在單一風險資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場均衡接著Judd and Guu將低風險條件下資產(chǎn)組合需求的結論應用于均衡分析。其模型為兩階段的純交換模型，經(jīng)濟主體在0期交易資產(chǎn)，而在1期消費資產(chǎn)。市場中存在兩種金融資產(chǎn)，無風險資產(chǎn)債券和風險資產(chǎn)股票。Judd and Guu稱該經(jīng)濟系統(tǒng)為經(jīng)濟系統(tǒng)。與前一部分不同的是，還需加入交易者的預算約束條件和市場出清（market clearing）條件。根據(jù)交易者目標函數(shù)（效用函數(shù)）最優(yōu)化的一階條件，可以得到一組方程，對其應用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時的股票投資份額和股票交易價格的近似值。實際要得到的是風險的價格而不是股票的價格，因此模型將股票價格定義為，其中為經(jīng)濟系統(tǒng)中的風險溢酬。應用分岔方法得到和，進而可以計算和的一階近似，即和當足夠小時，上式可以告訴我們和的基本特征。存在單一衍生資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場均衡在上述模型中進一步引入新衍生性資產(chǎn)，擴大資產(chǎn)市場的跨度空間。假設經(jīng)濟系統(tǒng)中衍生品的回報為，價格為。可分解為兩部分，一部分在股票和債券的跨度空間內(nèi)，另一部分與股票和債券正交，即，其中是的均值，是與的協(xié)方差，是股票回報中的風險項，而非零隨機變量代表中的創(chuàng)新部分。用表示交易后衍生品的持有量。對股票價格的假設與上一部分相同，而衍生品的價格假設為。與上一部分類似，應用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時的、和值及更高階的導數(shù)，進而得到、和的泰勒級數(shù)近似。Judd and Guu（2001）的研究給出了低風險假定下求解資產(chǎn)市場均衡的近似方法。本研究將其模型一般化，考察市場中存在有限類風險資產(chǎn)和交易者，和存在交易費用時的情況，并進一步探討金融創(chuàng)新的市場和社會福利效應，及最優(yōu)衍生品設計。四、模型I：存在有限類交易者 Elul（1995）和Cass and Citanna（1998）的研究認為，金融創(chuàng)新的福利效應受市場中交易者（家庭）的數(shù)量的影響。因此我們首先考察交易者數(shù)量對金融創(chuàng)新的經(jīng)濟效應的影響，通過在Judd and Guu模型中引入更多的（有限類，或M類）交易者，而不僅是兩類交易者，進行金融創(chuàng)新的市場效應和社會福利效應的分析，并進行最優(yōu)證券設計。為便于分析，先介紹由Judd and Guu所定義的一些代表交易者偏好的效用參數(shù)。（一）風險容忍度（Risk tolerance）傳統(tǒng)風險容忍度 （1） 傳統(tǒng)風險容忍度通常被經(jīng)濟學家應用于描述交易者的風險厭惡程度。偏態(tài)容忍度（Skew tolerance） （2）偏態(tài)容忍度包含傳統(tǒng)風險容忍度和謹慎度（prudence）以衡量預防性儲蓄動機（precautionary saving motive）的強度。在Judd and Guu及本文的研究中，偏態(tài)容忍度被應用于描述一些重要結論。由于傳統(tǒng)經(jīng)濟理論中沒有對的正負性做假設，所以偏態(tài)容忍度的符號也不確定。但在本研究中我們假設（參考經(jīng)濟研究中常用的CRRA類效用函數(shù)的定義），因此偏態(tài)容忍度也為正 對謹慎度（prudence）的詳細討論，可參考Kimball（1990）。峰態(tài)容忍度（Kurtosis tolerance） （3）峰態(tài)容忍度用于描述交易者面對高階衍生品時，其效用函數(shù)的行為。（二）存在三類交易者我們首先討論市場存在三類交易者的情況，到下一部分再擴展至M類交易者的情況。整個模型可以描述為：考慮一個兩階段（）和低風險（smallrisk）的模型，模型中包含三類交易者和一個金融市場，在時 模型中兩階段之間的時間是指兩次交易之間的時間。，市場中有債券和一種風險資產(chǎn)。用和分別表示類投資者在時所持有的債券和風險資產(chǎn)份額。如果將一衍生資產(chǎn)引入模型，并假設已獲得投資者的認可，我們用表示類交易者在交易后所持有的衍生資產(chǎn)的份額，那么在時，其總資產(chǎn)為： （4）上式中各變量的定義為：是債券在時的報酬（payoff） 這里的報酬不是單指債券的利息，而是包括本金和利息。，用于描述整個金融結構的風險 當時，整個金融環(huán)境是確定性的。；和是具有限階矩的隨機變量，分別用于描述風險資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)報酬的不確定性，風險資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)的報酬分別為和。不失一般性，我們假設，并且。我們將分解為兩部分，一部分可以由債券和風險資產(chǎn)的跨度得到，另一部分和現(xiàn)有資產(chǎn)正交，即： （5）其中是和之間的協(xié)方差，是表達金融創(chuàng)新的隨機變量。同樣的，不失一般性，我們假設。因此，類交易者面臨的預算約束為： （6）其中和分別表示風險資產(chǎn)和衍生資產(chǎn)的價格，交易者試圖使其在時的期望效用最大化，其中是凹的（concave） 這里我們假定交易者均為風險厭惡，避免選擇角點解（corner solutions）。值得注意的是，上述設定說明，當時債券與股票的報酬相同，也就是說，當面臨無風險的金融環(huán)境時，交易者的兩種資產(chǎn)組合可以相互替換。從而我們不能直接應用隱函數(shù)定理（implicit function theorem），因為隱函數(shù)的偏導矩陣是退化的（singularity）。這就是為什么我們需要應用分岔方法（bifurcation method）而不是隱函數(shù)定理 在附錄I中我們簡要介紹隱函數(shù)定理和分岔定理。如前文所述，類交易者試圖最大化：分別對和取偏微分，我們就得到均衡的六個必要條件： （7） （8）我們需要在的某鄰域內(nèi)求解類交易者的投資組合問題，而無套利條件為和。由于在上述必要條件中，我們分別對和取偏微分時，所得到的矩陣可能是退