【正文】 （23）一般而言，如果，且對(duì)于所有的有，則第類交易者將衍生性資產(chǎn)視為其標(biāo)的資產(chǎn)的補(bǔ)充；反之，如果對(duì)所有的有，則第類投資者將衍生性資產(chǎn)視為其標(biāo)的資產(chǎn)的替代品。存在M類交易者的一般化公式可以表示如下。因此可以認(rèn)為最優(yōu)衍生性資產(chǎn)是其標(biāo)的資產(chǎn)的報(bào)酬中風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)的二次式，即： （21）其中、和是常數(shù)，且。其一階條件為：或由于我們希望引入的衍生品與已有資產(chǎn)正交 以提高經(jīng)濟(jì)環(huán)境和金融市場(chǎng)的完備性。也即我們要尋找一個(gè)值使最大化，同時(shí)滿足、和。在上述研究基礎(chǔ)上，我們還可進(jìn)一步探討如何設(shè)計(jì)最優(yōu)衍生性資產(chǎn)。社會(huì)福利通?？杀硎緸槊總€(gè)交易者福利的相對(duì)變化之和，即 （20）一些學(xué)者，如Hart and Elul，認(rèn)為當(dāng)金融市場(chǎng)的結(jié)構(gòu)不完備時(shí)，開(kāi)放新市場(chǎng)可能會(huì)使每個(gè)交易者的福利惡化。社會(huì)福利效應(yīng)與最優(yōu)衍生品設(shè)計(jì)經(jīng)濟(jì)學(xué)者常常討論的一個(gè)問(wèn)題是金融創(chuàng)新發(fā)生時(shí)社會(huì)福利效應(yīng)的變化。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格變化可表示為： （19）由上式，當(dāng)時(shí)，金融創(chuàng)新會(huì)使其標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格上漲。 （18）由上式，衍生性資產(chǎn)的價(jià)值不僅包括其預(yù)期報(bào)酬的均值（），還包括風(fēng)險(xiǎn)溢酬（項(xiàng)）。例如，交易者會(huì)同時(shí)購(gòu)買股票和看跌期權(quán)以規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。 （17）給定和，當(dāng)?shù)陬惤灰渍叩钠珣B(tài)容忍度大于其他交易者時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)持有的調(diào)整是正向的，反之亦然。一般情況下，金融機(jī)構(gòu)不會(huì)引入無(wú)一階交易量的衍生資產(chǎn)，因此本文只研究的情況。，當(dāng)?shù)陬惤灰渍叩钠珣B(tài)容忍度大于其他交易者時(shí)，會(huì)將衍生性資產(chǎn)視為其標(biāo)的資產(chǎn)的補(bǔ)充；當(dāng)其偏態(tài)容忍度小于其他交易者時(shí)，會(huì)將衍生性資產(chǎn)視為其標(biāo)的資產(chǎn)的替代品。首先我們考慮誰(shuí)是衍生性資產(chǎn)的需求者，顯然一些避險(xiǎn)者會(huì)購(gòu)買衍生品，作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的補(bǔ)充，而衍生品的出售者則將其作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的替代品。根據(jù)附錄I的進(jìn)一步演算，可以得到應(yīng)用于計(jì)算一階近似的均衡值為；應(yīng)用于計(jì)算二階近似的均衡值為；應(yīng)用于計(jì)算其他高階近似的均衡值也可以按照類似方法計(jì)算出來(lái)。這并不是指對(duì)衍生資產(chǎn)的需求為0，而是指該需求低于0階。應(yīng)用分岔方法，我們可以計(jì)算得到均衡值，： （15）上述結(jié)果說(shuō)明，在分岔點(diǎn)上，股票的風(fēng)險(xiǎn)溢酬等于社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)容忍度的倒數(shù)乘以總的股票稟賦；第1類交易者所持有的股票份額，等于其風(fēng)險(xiǎn)容忍度占社會(huì)風(fēng)險(xiǎn)容忍度的份額；衍生性資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢酬等于股票的風(fēng)險(xiǎn)溢酬乘以股票與衍生資產(chǎn)間的協(xié)方差。附錄I 由于附錄較長(zhǎng)，在所提交的文檔中并未給出，有興趣的讀者可以向本文作者索取。： （13） （14）是由交易者所持有的股票總額。上兩式與Judd and Guu（2001）的設(shè)定相似。由于在上述必要條件中，我們分別對(duì)和取偏微分時(shí)，所得到的矩陣可能是退化的，因此不能應(yīng)用隱函數(shù)定理，除非和滿足在的某鄰域內(nèi)可微，即： （9） （10）其中是的鄰域。從而我們不能直接應(yīng)用隱函數(shù)定理（implicit function theorem），因?yàn)殡[函數(shù)的偏導(dǎo)矩陣是退化的（singularity）。同樣的，不失一般性，我們假設(shè)。不失一般性，我們假設(shè)，并且。，用于描述整個(gè)金融結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn) 當(dāng)時(shí)，整個(gè)金融環(huán)境是確定性的。用和分別表示類投資者在時(shí)所持有的債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)份額。整個(gè)模型可以描述為：考慮一個(gè)兩階段（）和低風(fēng)險(xiǎn)（smallrisk）的模型，模型中包含三類交易者和一個(gè)金融市場(chǎng)，在時(shí) 模型中兩階段之間的時(shí)間是指兩次交易之間的時(shí)間。峰態(tài)容忍度（Kurtosis tolerance） （3）峰態(tài)容忍度用于描述交易者面對(duì)高階衍生品時(shí)，其效用函數(shù)的行為。但在本研究中我們假設(shè)（參考經(jīng)濟(jì)研究中常用的CRRA類效用函數(shù)的定義），因此偏態(tài)容忍度也為正 對(duì)謹(jǐn)慎度（prudence）的詳細(xì)討論，可參考Kimball（1990）。在Judd and Guu及本文的研究中，偏態(tài)容忍度被應(yīng)用于描述一些重要結(jié)論。（一）風(fēng)險(xiǎn)容忍度（Risk tolerance）傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)容忍度 （1） 傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)容忍度通常被經(jīng)濟(jì)學(xué)家應(yīng)用于描述交易者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。因此我們首先考察交易者數(shù)量對(duì)金融創(chuàng)新的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的影響，通過(guò)在Judd and Guu模型中引入更多的（有限類，或M類）交易者，而不僅是兩類交易者，進(jìn)行金融創(chuàng)新的市場(chǎng)效應(yīng)和社會(huì)福利效應(yīng)的分析，并進(jìn)行最優(yōu)證券設(shè)計(jì)。本研究將其模型一般化，考察市場(chǎng)中存在有限類風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和交易者，和存在交易費(fèi)用時(shí)的情況，并進(jìn)一步探討金融創(chuàng)新的市場(chǎng)和社會(huì)福利效應(yīng)，及最優(yōu)衍生品設(shè)計(jì)。與上一部分類似，應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時(shí)的、和值及更高階的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到、和的泰勒級(jí)數(shù)近似。用表示交易后衍生品的持有量。假設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中衍生品的回報(bào)為，價(jià)格為。應(yīng)用分岔方法得到和，進(jìn)而可以計(jì)算和的一階近似，即和當(dāng)足夠小時(shí)，上式可以告訴我們和的基本特征。根據(jù)交易者目標(biāo)函數(shù)（效用函數(shù)）最優(yōu)化的一階條件，可以得到一組方程，對(duì)其應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理，可以求解均衡時(shí)的股票投資份額和股票交易價(jià)格的近似值。Judd and Guu稱該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。其模型為兩階段的純交換模型，經(jīng)濟(jì)主體在0期交易資產(chǎn)，而在1期消費(fèi)資產(chǎn)。若市場(chǎng)中存在多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，求解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)需求的近似值時(shí)需要應(yīng)用多元函數(shù)的分岔定理。還可以進(jìn)一步計(jì)算低風(fēng)險(xiǎn)條件下，即接近0時(shí)值的泰勒序列近似其中是時(shí)的值。Judd and Guu證明，時(shí)為風(fēng)險(xiǎn)容忍度（risk tolerance）和單位方差的風(fēng)險(xiǎn)溢酬（risk premium）的乘積。若投資者持有的股票份額為，則其期終財(cái)富為。1單位貨幣的債券投資的回報(bào)是1單位貨幣，即假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益為市場(chǎng)的基準(zhǔn)收益。低風(fēng)險(xiǎn)條件下的資產(chǎn)組合需求假設(shè)投資者的總財(cái)富為。Judd and Guu研究中所得到的關(guān)于資產(chǎn)配置和福利效應(yīng)的一般化公式，僅依賴于資產(chǎn)收益的矩（moments）和投資者的效用函數(shù)。例如，近似結(jié)果可以為某些理論假說(shuō)提供反例；模型的一般結(jié)論在低風(fēng)險(xiǎn)條件下成立。由于目前的資產(chǎn)市場(chǎng)通常流動(dòng)性好而且交易成本低，因此可以合理地假定交易之間所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)較小。（三）Judd and Guu模型為便于后文的進(jìn)一步分析，我們首先簡(jiǎn)要介紹Judd and Guu模型的基本框架和結(jié)論，包括模型的低風(fēng)險(xiǎn)假定、低風(fēng)險(xiǎn)條件下的資產(chǎn)組合需求、存在單一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡、存在單一衍生資產(chǎn)條件下的資產(chǎn)市場(chǎng)均衡等幾個(gè)部分。其一階導(dǎo)數(shù)定義為上文給出的分岔定理假設(shè)為0矩陣，實(shí)際上有的擴(kuò)展定理假設(shè)是奇異的。假設(shè) 那么存在的某個(gè)開(kāi)領(lǐng)域和函數(shù)，有無(wú)窮階偏導(dǎo)，時(shí)，當(dāng)時(shí)。多元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。盡管該例看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際上Judd and Guu（2001）和本文所要解決的問(wèn)題與此類似。對(duì)所有的有，而。假設(shè), 則是一個(gè)分岔點(diǎn)，且存在的某個(gè)開(kāi)領(lǐng)域和函數(shù)，有無(wú)窮階偏導(dǎo)，時(shí)，當(dāng)時(shí)。此時(shí)可應(yīng)用分岔方法，一元函數(shù)的情況如下：一元函數(shù)的分岔定理（Bifurcation Theorem for ） 引自Judd and Guu（2001），參見(jiàn)文末數(shù)學(xué)附錄。在點(diǎn)上，不能對(duì)直接應(yīng)用隱函數(shù)定理，因?yàn)榇藭r(shí)的雅可比行列式（Jacobian）是奇異的。若，則有唯一解；若，則任意均為的解。：是的分岔點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，經(jīng)過(guò)時(shí)，的解的數(shù)量會(huì)發(fā)生變化，并存在兩條不同的參數(shù)路徑，有且。接著我們定義分岔點(diǎn)（bifurcation point）。假設(shè)有二階偏導(dǎo)，且由隱函數(shù)定義。解決的辦法是應(yīng)用分岔方法。如在的梯度（gradient）為結(jié)合泰勒定理和隱函數(shù)定理（IFT），我們可以得到由隱函數(shù)定義的在附近的局部多項(xiàng)式近似。在的偏導(dǎo)可以通過(guò)的隱微分（implicit differentiation）計(jì)算得到。：假設(shè)在有無(wú)窮階偏導(dǎo)，且。解析函數(shù)的隱函數(shù)定理我們分析所采用的另一個(gè)工具是解析函數(shù)（analytic function）的隱函數(shù)定理（Implicit Function Theorem, IFT）。因此對(duì)于任何接近的，近似函數(shù)很接近。在點(diǎn)的較大領(lǐng)域內(nèi)，我們可應(yīng)用有限階泰勒級(jí)數(shù)得到很好的近似。該近似在點(diǎn)附近表現(xiàn)良好。：且是的內(nèi)點(diǎn)，假設(shè)在的某開(kāi)領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，且有直至階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。泰勒級(jí)數(shù)近似最基本的局部近似方法就是應(yīng)用泰勒定理（Taylor’s theorem）。與Allen and Gale（1988）和Schemedders（2001）的假設(shè)相比，Judd and Guu（2001）及本文所做的假設(shè)，更符合證券監(jiān)管部門所面對(duì)的情況，即是以社會(huì)福利水平的提升為目標(biāo)，而不是以交易所的收入最大化為目標(biāo)。Judd and Guu（2001）及本文的擴(kuò)展從另一角度研究最優(yōu)證券設(shè)計(jì)的問(wèn)題。最終結(jié)論為：⑴證明了均衡的存在性和相對(duì)有效性（constrained efficiency）；⑵若均衡時(shí)證券數(shù)量超過(guò)狀態(tài)（states）的數(shù)量，即市場(chǎng)是不完備的，無(wú)法實(shí)現(xiàn)完美風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)（firstbest risk sharing），均衡時(shí)證券數(shù)量的上界是，其中是不同類公司的數(shù)量，是不同類消費(fèi)者的數(shù)量；⑶得到與Modigliani and Miller（1958）不同的結(jié)論，存在交易費(fèi)用情況下，公司的價(jià)值與其財(cái)務(wù)結(jié)構(gòu)相關(guān)；⑷“在相對(duì)一般的條件下，債券和股票不是最優(yōu)證券”；⑸“交易動(dòng)機(jī)來(lái)源于賦稟和風(fēng)險(xiǎn)偏好的差別”；⑹若賣空無(wú)成本，則不存在均衡；若賣空的成本較低，則均衡存在與否取決于證券的發(fā)行成本。Allen and Gale（1988）提出關(guān)于最優(yōu)證券設(shè)計(jì)的理論，目的是使發(fā)行者的利潤(rùn)最大化。而Allen and Gale（1988）和上文介紹的Schemedders（2001）的研究則采用新的方法，通過(guò)引入證券發(fā)行的交易費(fèi)用，建立不完備市場(chǎng)模型，證券發(fā)行者通過(guò)證券設(shè)計(jì)和選擇交易費(fèi)用使其收入最大化。傳統(tǒng)研究較少涉及該問(wèn)題，資本結(jié)構(gòu)和一般均衡理論的文獻(xiàn)通常將公司證券發(fā)行視為外生的。通過(guò)與上述研究的比較，我們可以發(fā)現(xiàn)Judd and Guu（2001）模型的優(yōu)劣勢(shì)，及進(jìn)一步擴(kuò)展的方向。Detmeple and Selden（1991）研究了金融創(chuàng)新的市場(chǎng)效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在不完備市場(chǎng)中，股票的價(jià)格會(huì)受到其期權(quán)的契約特征（執(zhí)行價(jià)格）的影響。他們研究認(rèn)為，金融創(chuàng)新的社會(huì)福利效應(yīng)與或有狀態(tài)數(shù)量、資產(chǎn)數(shù)量和經(jīng)濟(jì)主體數(shù)量相關(guān)，特別是會(huì)從資產(chǎn)市場(chǎng)外溢至其他市場(chǎng)，可能使每個(gè)主體的效用均提高，也可能使每個(gè)主體的效用均降低。小結(jié)關(guān)于金融創(chuàng)新的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，我們重點(diǎn)討論了四篇文獻(xiàn)。其出發(fā)點(diǎn)與傳統(tǒng)的或有狀態(tài)模型和Judd and Guu模型均顯著不同，是從期權(quán)交易所（或做市商）的角度分析確定收入最大化期權(quán)及其交易費(fèi)用，進(jìn)而分析期權(quán)引入的價(jià)格和福利效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn)，收入最大化的期權(quán)總是會(huì)使標(biāo)的證券的價(jià)格下跌；與風(fēng)險(xiǎn)偏好的差異想比，投資者不同的判斷會(huì)顯著增大期權(quán)的交易量。通過(guò)求解模型，可以得到做市商的期權(quán)回報(bào)（payoffs，由其執(zhí)行價(jià)決定）和交易費(fèi)用收入的最優(yōu)組合。應(yīng)用Duffie and Rahi（1995）證券創(chuàng)新的兩階段模型，Schemedders的研究分為兩步，第一步，計(jì)算具有三種證券和交易成本的兩階段模