【文章內(nèi)容簡介】 大部門（引自錢學森1989年8月在數(shù)學會教育與科研座談會上的講話《發(fā)展我國的數(shù)學學科》。他指出的科學技術(shù)十大門類為：自然科學、社會科學、數(shù)學科學、思維科學、系統(tǒng)科學、人體科學、軍事科學、文藝理論、行為科學、地理科學）中絕大部門的素養(yǎng)和訓練中，數(shù)學理論是個終極的目標，這是由于在各個部門的有關(guān)現(xiàn)象、規(guī)律和結(jié)論只有用準確的數(shù)學語言才能描繪清楚。19世紀七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的早期，恩格斯曾對當時數(shù)學應用的狀況作過這樣的估計：“在固體力學中是絕對的，在氣體力學中是近似的，在化學中是簡單的一次方程式，在生物學中等于零”。經(jīng)過一個多世紀的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的情況有了根本的改觀。數(shù)學正在向包括從粒子物理到生命科學、從空間科學到地球科學在內(nèi)的一切科學領域進軍。 數(shù)學在物理學中的應用在20世紀取得了一系列新的突破。眾所周知，在相對論和量子力學的創(chuàng)立和發(fā)展中，數(shù)學都建有奇功：出于純粹數(shù)學的興趣而獲得的抽象成果(張量分析、無窮維空間等)恰恰分別為這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學工具。抽象數(shù)學為物理學新理論準備了仿佛是定做的工具。在20世紀下半葉又演出了精彩的一幕，在物理學家探索統(tǒng)一場論的艱難卓絕的努力中，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)著名的楊—米爾斯理論所需要的數(shù)學工具早已存在，物理規(guī)范勢實際上就是大范圍微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡。 至于現(xiàn)代化學，描述化學過程少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學家都感到棘手的非線性方程。 生物學不用數(shù)學的時代也已一去不返。膾炙人口的例子是：拓撲學(特別是其中的扭結(jié)理論)為解開DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎提供了一把鑰匙。人類基因的破譯用到更多的數(shù)學知識。今天，數(shù)理統(tǒng)計應用于遺傳學；概率論應用于人口統(tǒng)計和種群理論；微分方程應用于各種生物模型的建立；布爾代數(shù)應用于神經(jīng)網(wǎng)絡描述；……這一切已構(gòu)成了“生物數(shù)學”的豐富內(nèi)容。 “數(shù)學物理”、“數(shù)理化學”、“生物數(shù)學”、“數(shù)學地質(zhì)學”、“數(shù)理氣象學”……，一連串交叉學科的形成說明了數(shù)學向其它自然科學領域滲透的廣度。而純粹數(shù)學中的一些前沿與其他科學的許多前沿領域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學滲透的深度?？梢哉f沒有這些前沿數(shù)學就沒有當代物理學的一些前沿領域如超弦理論、超引力理論等。事實上，像超弦理論這樣的物理學熱門分支所用到的數(shù)學，就涉及微分拓撲、代數(shù)幾何、微分幾何、群論、無窮維代數(shù)、復分析等等。 除了自然科學，在經(jīng)濟學、社會學、歷史學等過去認為不適用數(shù)學的社會科學部門，數(shù)學方法也開辟了廣闊的用武之地。數(shù)學正在向社會科學和文化藝術(shù)領域廣泛滲透，這是數(shù)學應用不同于以往時代的嶄新趨勢。數(shù)學與一些社會科學領域相結(jié)合也產(chǎn)生了一系列交叉學科，如數(shù)理經(jīng)濟學、數(shù)理語言學、數(shù)學考古學、史衡學……等等。 數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用是很具代表性的例子。20世紀四十年代以來，經(jīng)濟學研究的數(shù)學化導致了數(shù)理經(jīng)濟學的誕生，參與這門交叉學科建立的有大數(shù)學家馮諾依曼等。五十年代以后，數(shù)學方法在西方經(jīng)濟學中占據(jù)了重要地位，以致大部分的諾貝爾經(jīng)濟學獎都被授予了與數(shù)理經(jīng)濟學有關(guān)的工作。其中如不久前曾來北京參加國際數(shù)學家大會并作了公眾講演的美國數(shù)學家J納什，他根據(jù)對策論數(shù)學原理提出非合作對策的“納什均衡”，成為當前熱門的“雙贏”概念的理論基礎。因此說納什的數(shù)學研究不僅將改變經(jīng)濟學的面貌，而且將影響整個社會科學的未來，大概不會過分。又如當前國際金融市場普遍使用的期權(quán)定價公式——布萊克—斯科爾斯公式，實際上是根據(jù)高度抽象的數(shù)學工具(隨機微分方程)導出的數(shù)學公式，這一公式被譽為“華爾街第二次革命”的起點，它表明了抽象的數(shù)學怎樣可以與人們的社會經(jīng)濟利益息息相關(guān)。難怪在四方國家讀經(jīng)濟學位，學習數(shù)學知識的深度和廣度往往比其它學科都要高。 現(xiàn)代數(shù)學不僅影響著人們的經(jīng)濟活動，而且正在影響著人們的文化生活。數(shù)學通過計算機，正在提供新的藝術(shù)創(chuàng)作手段和藝術(shù)產(chǎn)品，給人們帶來全新的藝術(shù)享受。想一想數(shù)碼音像、三維動畫，還有那精美絕倫的分形繪畫……等等。數(shù)學與藝術(shù)相結(jié)合，正在走進千家萬戶。 還是在上個世紀的前半葉，著名社會活動家WF懷特曾這樣寫道：“數(shù)學化的社會科學將成為未來文明的控制因素”。今日的社會科學離懷特預言的目標相距還遠，但20世紀應用數(shù)學的發(fā)展歷程表明，這方面的前景是光明的。 現(xiàn)代數(shù)學對生產(chǎn)技術(shù)的應用變得越來越直接。以前數(shù)學工具直接應用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的，往往是先應用于其他科學(如力學、物理學、天文學)，再由這些科學提供技術(shù)進步的基礎。20世紀下半葉以來，數(shù)學與生產(chǎn)技術(shù)的相互作用正在加強，數(shù)學提供的工具直接推動技術(shù)革新的頻率正在加快，并在許多情況下產(chǎn)生出巨大的經(jīng)濟效益。 眾所周知，數(shù)學是歷次產(chǎn)業(yè)革命的重要推動因素。如果說數(shù)學間接地引導了前兩次產(chǎn)業(yè)革命(以微積分為基礎的118世紀科學的高漲成為以蒸汽機等為主導技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導；與數(shù)學分析的進步密不可分的19世紀數(shù)學物理的發(fā)展為以發(fā)電機、無線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎)，那么它在20世紀發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺。例如，如果沒有數(shù)學家的參與，就不可能有現(xiàn)代計算機技術(shù)與龐大的計算機產(chǎn)業(yè)。數(shù)學家對電子計算機的發(fā)明和發(fā)展有不可磨滅的貢獻。馮諾依曼是第一臺通用電子計算機(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計算機的主要設計理念。英國數(shù)學家圖靈的“理想計算機”(“圖靈機”)提供了通用數(shù)字計算機的理論模型。圖靈本人也是早期電子計算機研制的元勛。值得注意的是，“圖靈機”的提出完全是為了解決與數(shù)學基礎有關(guān)的一個純理論問題(可判定性問題)。 除了計算機技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設計的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗；1980年以來，小波分析直接應用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領域；現(xiàn)代醫(yī)學儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(如CT掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學中所謂“拉東積分”理論為基礎，有關(guān)的科學家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學生理學獎)，等等。這樣的例子舉不勝舉。 現(xiàn)代數(shù)學正在通過向人類幾乎所有的知識領域空前廣泛地滲透而影響著人們的生活方式———物質(zhì)的和精神的生活方式。 數(shù)學的抽象性與廣泛應用性的基本特征，決定了它的科學地位與文化價值。高斯曾同時將數(shù)學比作科學的“皇后”和“仆人”，這確是恰當?shù)脑u價。數(shù)學的抽象智力成果，以其邏輯的威力和算法的精密將永遠是這門科學的光榮所在。但抽象的數(shù)學語言與數(shù)學結(jié)構(gòu)，如果不能服務于其他科學技術(shù)領域，也不可能享有如此的尊榮。正確認識數(shù)學這兩方面的特征及相互關(guān)系，對于推動數(shù)學科學的健康發(fā)展至關(guān)重要。 四、數(shù)學對人類文明和科技進步的影響其實上面對數(shù)學廣泛應用性的描述中，我們可以體會到數(shù)學對人類文明和科技進步的影響，但下面我們就120世紀里數(shù)學在科學中的作用和影響作進一步的概述?！皵?shù)學：科學的‘王后’和‘仆人’”是已故美國科學院院士貝爾于1951年寫的一本書的書名，該書主要是為數(shù)學圈子以外的人寫的，介紹純粹數(shù)學和應用數(shù)學的各個方面，更著重在說明數(shù)學科學的突出重要性。這本書實際上是他1931年寫的《科學的女王》和1937年寫的《科學的女仆》這兩本通俗數(shù)學讀物的合一修訂擴大版。 按常理，女王是高雅、權(quán)威和至尊至貴的，是陽春白雪，在科學中只有純粹數(shù)學才具有這樣的特點。簡潔明了的數(shù)學定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無懈可擊。另一方面，科學和工程的各個分支都在不同程度上大量使用數(shù)學，享受著數(shù)學的貢獻。這時數(shù)學科學就是仆人，英文書名中servant這個字在英文里有“供人們利用之物，有用的服務工具”的意思。 首先，我們來回顧一下形成我們現(xiàn)在這個飛速發(fā)展的信息社會的所有重大科學理論在發(fā)展和完善過程中數(shù)學所起到的不可或缺的作用。 20世紀最大的科學成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對論了，但是如果沒有黎曼于1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學家發(fā)展的不變量理論，愛因斯坦的廣義相對論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學表述。愛因斯坦自己也不止一次地說過這一點。例如，1912年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但是為了實現(xiàn)廣義相對論的目標，還必須尋求理論的數(shù)學結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花了3年的時間，最后，在數(shù)學家M格拉斯曼的介紹下掌握了發(fā)展相對論引力學說所必需的數(shù)學工具—以黎曼幾何為基礎的絕對微分學，也就是愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導出了廣義協(xié)變的引力場方程，在該文中他說：“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對論的數(shù)學表達第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義，成為歷史上數(shù)學應用最偉大的例子之一。他還說過“事實上，我是通過她(諾特)才能在這一領域內(nèi)有所作為的?！? 如果沒有凱萊在1858年發(fā)展的矩陣數(shù)學及其后繼者的進一步發(fā)展，海森伯和狄拉克就無法開創(chuàng)現(xiàn)代物理學量子力學方面的革命性工作。狄拉克甚至說，創(chuàng)建物理理論時，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信數(shù)學方案，甚至表面上看去，它與物理學并無聯(lián)系?！? 整個電磁場的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場的理論起源應歸功于英國物理學家法拉第，但法拉第不是數(shù)學家，他沒能發(fā)展這個概念。經(jīng)過馬克斯威爾之手，電場理論得到了精確的描述，成為以后所有場論的模式。” 整個流體運動的理論是由納維—托克斯方程組表述的，它首先是由法國多科工藝和交通工程學校的力學教授納維初步完成的，而最終是由英國物理學家和數(shù)學家斯托克斯爵士完善并完成的。 計算的技藝—