【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 大部門（引自錢學(xué)森1989年8月在數(shù)學(xué)會(huì)教育與科研座談會(huì)上的講話《發(fā)展我國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)科》。他指出的科學(xué)技術(shù)十大門類為：自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文藝?yán)碚摗⑿袨榭茖W(xué)、地理科學(xué)）中絕大部門的素養(yǎng)和訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)理論是個(gè)終極的目標(biāo)，這是由于在各個(gè)部門的有關(guān)現(xiàn)象、規(guī)律和結(jié)論只有用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言才能描繪清楚。19世紀(jì)七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過這樣的估計(jì)：“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在化學(xué)中是簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”。經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的情況有了根本的改觀。數(shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、從空間科學(xué)到地球科學(xué)在內(nèi)的一切科學(xué)領(lǐng)域進(jìn)軍。 數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用在20世紀(jì)取得了一系列新的突破。眾所周知，在相對(duì)論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中，數(shù)學(xué)都建有奇功：出于純粹數(shù)學(xué)的興趣而獲得的抽象成果(張量分析、無窮維空間等)恰恰分別為這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學(xué)工具。抽象數(shù)學(xué)為物理學(xué)新理論準(zhǔn)備了仿佛是定做的工具。在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，在物理學(xué)家探索統(tǒng)一場(chǎng)論的艱難卓絕的努力中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)著名的楊—米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范勢(shì)實(shí)際上就是大范圍微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。 至于現(xiàn)代化學(xué)，描述化學(xué)過程少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程。 生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返。膾炙人口的例子是：拓?fù)鋵W(xué)(特別是其中的扭結(jié)理論)為解開DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎提供了一把鑰匙。人類基因的破譯用到更多的數(shù)學(xué)知識(shí)。今天，數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于遺傳學(xué)；概率論應(yīng)用于人口統(tǒng)計(jì)和種群理論；微分方程應(yīng)用于各種生物模型的建立；布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；……這一切已構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容。 “數(shù)學(xué)物理”、“數(shù)理化學(xué)”、“生物數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)”、“數(shù)理氣象學(xué)”……，一連串交叉學(xué)科的形成說明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。而純粹數(shù)學(xué)中的一些前沿與其他科學(xué)的許多前沿領(lǐng)域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學(xué)滲透的深度?？梢哉f沒有這些前沿?cái)?shù)學(xué)就沒有當(dāng)代物理學(xué)的一些前沿領(lǐng)域如超弦理論、超引力理論等。事實(shí)上，像超弦理論這樣的物理學(xué)熱門分支所用到的數(shù)學(xué)，就涉及微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、微分幾何、群論、無窮維代數(shù)、復(fù)分析等等。 除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等過去認(rèn)為不適用數(shù)學(xué)的社會(huì)科學(xué)部門，數(shù)學(xué)方法也開辟了廣闊的用武之地。數(shù)學(xué)正在向社會(huì)科學(xué)和文化藝術(shù)領(lǐng)域廣泛滲透，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用不同于以往時(shí)代的嶄新趨勢(shì)。數(shù)學(xué)與一些社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域相結(jié)合也產(chǎn)生了一系列交叉學(xué)科，如數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)、史衡學(xué)……等等。 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是很具代表性的例子。20世紀(jì)四十年代以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生，參與這門交叉學(xué)科建立的有大數(shù)學(xué)家馮諾依曼等。五十年代以后，數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了重要地位，以致大部分的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都被授予了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的工作。其中如不久前曾來北京參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并作了公眾講演的美國(guó)數(shù)學(xué)家J納什，他根據(jù)對(duì)策論數(shù)學(xué)原理提出非合作對(duì)策的“納什均衡”，成為當(dāng)前熱門的“雙贏”概念的理論基礎(chǔ)。因此說納什的數(shù)學(xué)研究不僅將改變經(jīng)濟(jì)學(xué)的面貌，而且將影響整個(gè)社會(huì)科學(xué)的未來，大概不會(huì)過分。又如當(dāng)前國(guó)際金融市場(chǎng)普遍使用的期權(quán)定價(jià)公式——布萊克—斯科爾斯公式，實(shí)際上是根據(jù)高度抽象的數(shù)學(xué)工具(隨機(jī)微分方程)導(dǎo)出的數(shù)學(xué)公式，這一公式被譽(yù)為“華爾街第二次革命”的起點(diǎn)，它表明了抽象的數(shù)學(xué)怎樣可以與人們的社會(huì)經(jīng)濟(jì)利益息息相關(guān)。難怪在四方國(guó)家讀經(jīng)濟(jì)學(xué)位，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度和廣度往往比其它學(xué)科都要高。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅影響著人們的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，而且正在影響著人們的文化生活。數(shù)學(xué)通過計(jì)算機(jī)，正在提供新的藝術(shù)創(chuàng)作手段和藝術(shù)產(chǎn)品，給人們帶來全新的藝術(shù)享受。想一想數(shù)碼音像、三維動(dòng)畫，還有那精美絕倫的分形繪畫……等等。數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合，正在走進(jìn)千家萬戶。 還是在上個(gè)世紀(jì)的前半葉，著名社會(huì)活動(dòng)家WF懷特曾這樣寫道：“數(shù)學(xué)化的社會(huì)科學(xué)將成為未來文明的控制因素”。今日的社會(huì)科學(xué)離懷特預(yù)言的目標(biāo)相距還遠(yuǎn)，但20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程表明，這方面的前景是光明的。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接。以前數(shù)學(xué)工具直接應(yīng)用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的，往往是先應(yīng)用于其他科學(xué)(如力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué))，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)。20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的相互作用正在加強(qiáng)，數(shù)學(xué)提供的工具直接推動(dòng)技術(shù)革新的頻率正在加快，并在許多情況下產(chǎn)生出巨大的經(jīng)濟(jì)效益。 眾所周知，數(shù)學(xué)是歷次產(chǎn)業(yè)革命的重要推動(dòng)因素。如果說數(shù)學(xué)間接地引導(dǎo)了前兩次產(chǎn)業(yè)革命(以微積分為基礎(chǔ)的118世紀(jì)科學(xué)的高漲成為以蒸汽機(jī)等為主導(dǎo)技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導(dǎo)；與數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步密不可分的19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的發(fā)展為以發(fā)電機(jī)、無線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎(chǔ))，那么它在20世紀(jì)發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺(tái)。例如，如果沒有數(shù)學(xué)家的參與，就不可能有現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)與龐大的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)。數(shù)學(xué)家對(duì)電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和發(fā)展有不可磨滅的貢獻(xiàn)。馮諾依曼是第一臺(tái)通用電子計(jì)算機(jī)(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的主要設(shè)計(jì)理念。英國(guó)數(shù)學(xué)家圖靈的“理想計(jì)算機(jī)”(“圖靈機(jī)”)提供了通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的理論模型。圖靈本人也是早期電子計(jì)算機(jī)研制的元?jiǎng)?。值得注意的是，“圖靈機(jī)”的提出完全是為了解決與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)的一個(gè)純理論問題(可判定性問題)。 除了計(jì)算機(jī)技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗(yàn)；1980年以來，小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)(如CT掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)，有關(guān)的科學(xué)家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng))，等等。這樣的例子舉不勝舉。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)正在通過向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域空前廣泛地滲透而影響著人們的生活方式———物質(zhì)的和精神的生活方式。 數(shù)學(xué)的抽象性與廣泛應(yīng)用性的基本特征，決定了它的科學(xué)地位與文化價(jià)值。高斯曾同時(shí)將數(shù)學(xué)比作科學(xué)的“皇后”和“仆人”，這確是恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)。數(shù)學(xué)的抽象智力成果，以其邏輯的威力和算法的精密將永遠(yuǎn)是這門科學(xué)的光榮所在。但抽象的數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如果不能服務(wù)于其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，也不可能享有如此的尊榮。正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這兩方面的特征及相互關(guān)系，對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)的健康發(fā)展至關(guān)重要。 四、數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響其實(shí)上面對(duì)數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的描述中，我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響，但下面我們就120世紀(jì)里數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用和影響作進(jìn)一步的概述。“數(shù)學(xué)：科學(xué)的‘王后’和‘仆人’”是已故美國(guó)科學(xué)院院士貝爾于1951年寫的一本書的書名，該書主要是為數(shù)學(xué)圈子以外的人寫的，介紹純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，更著重在說明數(shù)學(xué)科學(xué)的突出重要性。這本書實(shí)際上是他1931年寫的《科學(xué)的女王》和1937年寫的《科學(xué)的女仆》這兩本通俗數(shù)學(xué)讀物的合一修訂擴(kuò)大版。 按常理，女王是高雅、權(quán)威和至尊至貴的，是陽春白雪，在科學(xué)中只有純粹數(shù)學(xué)才具有這樣的特點(diǎn)。簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無懈可擊。另一方面，科學(xué)和工程的各個(gè)分支都在不同程度上大量使用數(shù)學(xué)，享受著數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。這時(shí)數(shù)學(xué)科學(xué)就是仆人，英文書名中servant這個(gè)字在英文里有“供人們利用之物，有用的服務(wù)工具”的意思。 首先，我們來回顧一下形成我們現(xiàn)在這個(gè)飛速發(fā)展的信息社會(huì)的所有重大科學(xué)理論在發(fā)展和完善過程中數(shù)學(xué)所起到的不可或缺的作用。 20世紀(jì)最大的科學(xué)成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對(duì)論了，但是如果沒有黎曼于1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學(xué)家發(fā)展的不變量理論，愛因斯坦的廣義相對(duì)論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學(xué)表述。愛因斯坦自己也不止一次地說過這一點(diǎn)。例如，1912年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但是為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花了3年的時(shí)間，最后，在數(shù)學(xué)家M格拉斯曼的介紹下掌握了發(fā)展相對(duì)論引力學(xué)說所必需的數(shù)學(xué)工具—以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對(duì)微分學(xué)，也就是愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程，在該文中他說：“由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表達(dá)第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。他還說過“事實(shí)上，我是通過她(諾特)才能在這一領(lǐng)域內(nèi)有所作為的?！? 如果沒有凱萊在1858年發(fā)展的矩陣數(shù)學(xué)及其后繼者的進(jìn)一步發(fā)展，海森伯和狄拉克就無法開創(chuàng)現(xiàn)代物理學(xué)量子力學(xué)方面的革命性工作。狄拉克甚至說，創(chuàng)建物理理論時(shí)，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信數(shù)學(xué)方案，甚至表面上看去，它與物理學(xué)并無聯(lián)系。” 整個(gè)電磁場(chǎng)的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場(chǎng)的理論起源應(yīng)歸功于英國(guó)物理學(xué)家法拉第，但法拉第不是數(shù)學(xué)家，他沒能發(fā)展這個(gè)概念。經(jīng)過馬克斯威爾之手，電場(chǎng)理論得到了精確的描述，成為以后所有場(chǎng)論的模式?！? 整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)的理論是由納維—托克斯方程組表述的，它首先是由法國(guó)多科工藝和交通工程學(xué)校的力學(xué)教授納維初步完成的，而最終是由英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家斯托克斯爵士完善并完成的。 計(jì)算的技藝—