【正文】 必須大力提高數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化水準(zhǔn)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容側(cè)重于前者，只是在講到每一部分的應(yīng)用時(shí)舉幾個(gè)例子，這對(duì)于后者的訓(xùn)練，特別是綜合應(yīng)用的訓(xùn)練，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。數(shù)學(xué)模型當(dāng)然更抽象些，它是由數(shù)字、字母和數(shù)學(xué)符號(hào)組成的、描述研究對(duì)象數(shù)量規(guī)律的公式、圖表或者程序。 數(shù)學(xué)在你身邊。 盡管數(shù)學(xué)建模已有了很久的歷史，數(shù)學(xué)建模課程卻還是很年輕的一門課程。 數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力： （1）洞察能力。數(shù)學(xué)建模的特點(diǎn)是題目由工程技術(shù)、管理科學(xué)中的實(shí)際問題簡(jiǎn)化加工而成，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供學(xué)生發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以通訊形式進(jìn)行，三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不得與隊(duì)外任何人討論。 為什么這樣的單項(xiàng)競(jìng)賽能夠產(chǎn)生如此的吸引力呢？開展這項(xiàng)競(jìng)賽并開設(shè)相關(guān)的課程，對(duì)高等院校的教學(xué)工作會(huì)起什么樣的作用？對(duì)大學(xué)生全面素質(zhì)的提高又有什么樣的幫助？對(duì)記者的問題，葉其孝教授回答說，這種競(jìng)賽對(duì)參加者來說，是一種綜合的訓(xùn)練，在相當(dāng)程度上模擬了大學(xué)生畢業(yè)以后的工作環(huán)境。 數(shù)學(xué)建模不僅僅是一項(xiàng)競(jìng)賽。2002年已經(jīng)有30個(gè)省、市、自治區(qū)及香港的572所院校4448隊(duì)參賽，已經(jīng)發(fā)展成為全國(guó)高校規(guī)模最大的大學(xué)生課外科技活動(dòng)。但是，這樣的學(xué)生很難做出創(chuàng)新。 上個(gè)世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展特點(diǎn)，除了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展規(guī)律外，更多地受到其他相關(guān)學(xué)科發(fā)展過程中提出的數(shù)學(xué)課題的推動(dòng)。甚至醫(yī)生在做手術(shù)之前都可以先進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬以預(yù)知各種方案可能出現(xiàn)的后果，再依據(jù)個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)來選擇手術(shù)方案。”當(dāng)然也有不同認(rèn)識(shí)，也有人認(rèn)為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會(huì)用軟件就行了?？梢韵胂蟋F(xiàn)在計(jì)算機(jī)能完成的工作和50年前相比簡(jiǎn)直是不可同日而語(yǔ)。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)為組織和構(gòu)造知識(shí)提供方法。”類似的例子還有許多，我們不再舉了，我們真正要討論的問題，是從這些事實(shí)中我們得到什么樣的啟示。1935年前后，圖靈建立了通用計(jì)算機(jī)的抽象模型?！? 整個(gè)電磁場(chǎng)的理論是由馬克斯威爾方程組表述的，但是“雖然場(chǎng)的理論起源應(yīng)歸功于英國(guó)物理學(xué)家法拉第，但法拉第不是數(shù)學(xué)家，他沒能發(fā)展這個(gè)概念。 20世紀(jì)最大的科學(xué)成就莫過于愛因斯坦的狹義和廣義相對(duì)論了，但是如果沒有黎曼于1854年發(fā)明的黎曼幾何，以及凱萊，西勒維斯特和諾特等數(shù)學(xué)家發(fā)展的不變量理論，愛因斯坦的廣義相對(duì)論和引力理論就不可能有如此完善的數(shù)學(xué)表述。 四、數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響其實(shí)上面對(duì)數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用性的描述中，我們可以體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)人類文明和科技進(jìn)步的影響，但下面我們就120世紀(jì)里數(shù)學(xué)在科學(xué)中的作用和影響作進(jìn)一步的概述。 除了計(jì)算機(jī)技術(shù)，數(shù)值模擬已成為航空、航天設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于包括核工業(yè)在內(nèi)的許多技術(shù)部門，以代替耗資巨大的試驗(yàn)；1980年以來，小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探、圖像壓縮等技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開數(shù)學(xué)(如CT掃描儀的研制，就是以現(xiàn)代數(shù)學(xué)中所謂“拉東積分”理論為基礎(chǔ)，有關(guān)的科學(xué)家因此榮獲了諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng))，等等。如果說數(shù)學(xué)間接地引導(dǎo)了前兩次產(chǎn)業(yè)革命(以微積分為基礎(chǔ)的118世紀(jì)科學(xué)的高漲成為以蒸汽機(jī)等為主導(dǎo)技術(shù)的第一次產(chǎn)業(yè)革命的先導(dǎo)；與數(shù)學(xué)分析的進(jìn)步密不可分的19世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的發(fā)展為以發(fā)電機(jī)、無線電通信等為主體技術(shù)的第二次產(chǎn)業(yè)革命奠定了理論基礎(chǔ))，那么它在20世紀(jì)發(fā)生的第三次產(chǎn)業(yè)革命中則更多地站到了前臺(tái)。 還是在上個(gè)世紀(jì)的前半葉，著名社會(huì)活動(dòng)家W納什，他根據(jù)對(duì)策論數(shù)學(xué)原理提出非合作對(duì)策的“納什均衡”，成為當(dāng)前熱門的“雙贏”概念的理論基礎(chǔ)。 除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等過去認(rèn)為不適用數(shù)學(xué)的社會(huì)科學(xué)部門，數(shù)學(xué)方法也開辟了廣闊的用武之地。 生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返。19世紀(jì)七、八十年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過這樣的估計(jì)：“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在化學(xué)中是簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”。再如對(duì)于下面的二次式我們可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1,2,…,10000時(shí),都是素?cái)?shù)。我們?cè)诠こ填惢蚬芾眍悓I(yè)教育中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)回歸自然，回歸工程實(shí)際，回歸技術(shù)應(yīng)用，但我們不可能擺脫數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)。由于數(shù)與形是事物所共有的本質(zhì)屬性的抽象，數(shù)學(xué)在其發(fā)展的早期就表現(xiàn)出解決因人類實(shí)際需要而提出的各種問題的功效。除了費(fèi)馬大定理，像事關(guān)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的哥德爾不完全性定理的提出(1931)、具有異乎尋常的微分結(jié)構(gòu)的“米爾諾怪球”的發(fā)現(xiàn)(1956)、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的“阿蒂亞—辛格指標(biāo)定理”的證明(1963)、四色定理的攻克(1976)、有限單群分類的完成(1980)、……等等，這些輝煌的智力成果，不斷使科學(xué)界震驚，而它們的獲得，都依賴于極度抽象的概念與方法。數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域不斷拓展，研究對(duì)象不斷擴(kuò)張。其實(shí)，抽象的方法其他學(xué)科應(yīng)用也很廣泛，幾乎任何學(xué)科都有一些的抽象性的概念手段，如現(xiàn)代物理學(xué)中的各種“場(chǎng)”、“熵”、“勢(shì)”等等也都是比較抽象的概念；又例如力學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)，常把一個(gè)物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，把運(yùn)動(dòng)軌跡看成一條曲線或直線，這就是典型的抽象手法。三、 數(shù)學(xué)的基本特征數(shù)學(xué)是人類智力的產(chǎn)物，許多人認(rèn)為它具有三個(gè)最基本的特征：一是高度抽象性，二是高度精確性，三是廣泛應(yīng)用性。目前出現(xiàn)的一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件功能非常強(qiáng)大，不僅能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而且還能進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，這不僅使繁瑣的計(jì)算、推導(dǎo)變得輕松自如，而且也能協(xié)助我們進(jìn)行邏輯思維，作出正確判斷。我們也學(xué)會(huì)了加、減、乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式、函數(shù)式，等式、不等式，排列、組合、二項(xiàng)式展開的運(yùn)算，學(xué)會(huì)了幾何作圖、等分、等積變形、分割、展開、放大、縮小、平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及無限細(xì)分與無限積累等數(shù)學(xué)方法。隨著幼兒的成長(zhǎng)，越來越離不開數(shù)學(xué)。銀河星系的面目已研究的比較清楚了。事實(shí)上，說明（其中a表示行星到太陽(yáng)的平均距離，T表示公轉(zhuǎn)周期，G為萬(wàn)有引力常數(shù)，M為太陽(yáng)質(zhì)量）。十八世紀(jì)初，法國(guó)學(xué)者馬拉爾奇測(cè)量了蜂房，發(fā)現(xiàn)正面看去它是鑲嵌得如此天衣無縫的正六角形，蜂王的底都是由三個(gè)全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是109，銳角都是等于70（圖01），這不僅是蜂房 圖01的空間結(jié)構(gòu)呈如此精美的幾何形狀，而且據(jù)巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格與蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林的理論計(jì)算，這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料和最少的“工時(shí)”，這里竟然符合最優(yōu)化的數(shù)學(xué)原理，真是不可思議！蜜蜂沒有學(xué)過鑲嵌理論、求解最大值和最小值方法、解線性代數(shù)問題和求含約束條件的最優(yōu)解的藝術(shù)，而它卻實(shí)實(shí)在在進(jìn)行了奇妙的符合數(shù)學(xué)原理的工程技術(shù)創(chuàng)造，這不正是把自然界與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的例證嗎？在礦物結(jié)構(gòu)中，同樣可以找到許多更為奇妙的空間圖形，如食鹽礦的晶體呈正方體形狀，明礬的晶體呈正八面體形狀，而礦物質(zhì)中其它更多的晶體呈更為復(fù)雜的幾何形狀，如十字架石晶體呈正交或斜交十字架雙晶形；電氣石晶體色澤美麗可作為寶石，呈拄狀晶形，拄面有明顯的縱條紋，橫斷面呈弧線三角形；如石榴石的晶體結(jié)構(gòu)呈菱形十二面體或四角三八面體的復(fù)雜美妙的幾何形狀，透明色澤的也可作為寶石等（圖02）?；蛘哒f，數(shù)學(xué)是一種能夠描述各種客觀規(guī)律的語(yǔ)言，是任何學(xué)科都要用到的、無比有用、無所不能、神通廣大、全球共通的一種特殊語(yǔ)言。應(yīng)該說這是我們數(shù)學(xué)教育現(xiàn)在必須回答的一個(gè)帶有根本性的問題。前言 在科學(xué)技術(shù)發(fā)展到跨進(jìn)21世紀(jì)的今天，應(yīng)該交給大學(xué)生什么樣的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)和方法論、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式如何，以及把數(shù)學(xué)作為技術(shù)開發(fā)的工具是怎么樣的等等，這一系列問題已經(jīng)尖銳地?cái)[在工科數(shù)學(xué)教育工作者面前。當(dāng)然，大多數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既不想當(dāng)數(shù)學(xué)家，也不想從事數(shù)學(xué)教育工作，只是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)和技術(shù)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而我們面向工程技術(shù)教育的學(xué)生講授數(shù)學(xué)的方式以及學(xué)生的學(xué)習(xí)方法確實(shí)有很多地方值得認(rèn)真反思。正像已故的著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語(yǔ)言工具。 圖02再?gòu)暮暧^來看，我們所生活的地球與它的衛(wèi)星—月亮之間有著緊密的聯(lián)系，月亮是沿著橢圓形軌道繞地球旋轉(zhuǎn)的。三定律的發(fā)現(xiàn)，不僅使人們準(zhǔn)確地預(yù)先計(jì)算出行星的未來的位置，編制成行星的星歷表供航海與大地測(cè)量使用，更重要的是人們可以利用數(shù)學(xué)的幫助去發(fā)現(xiàn)新的行星。它的形狀像個(gè)鐵餅，直徑10萬(wàn)光年，中央厚度約1萬(wàn)光年。一旦人開口學(xué)說話，大人開始教數(shù)“1，2，3，…”，“識(shí)數(shù)”是人生的第一課。這樣以來我們的大腦里已經(jīng)裝進(jìn)了人類數(shù)千年長(zhǎng)期總結(jié)積累的初等數(shù)學(xué)知識(shí)的精粹與思維的模式，使我們的思維方式更科學(xué)化了，也就是說，數(shù)學(xué)訓(xùn)化了我們的大腦，使我們更聰明睿智了。因此學(xué)會(huì)利用流行的數(shù)學(xué)軟件已是工程師、經(jīng)濟(jì)師們必不可缺學(xué)習(xí)任務(wù)。1． 數(shù)學(xué)的高度抽象性 數(shù)，就是離開具體事物的實(shí)際背景，僅僅從它的數(shù)量側(cè)面上反映出來的一種抽象。特別是天體運(yùn)動(dòng)研究中，把星球的運(yùn)行軌跡認(rèn)為是橢圓，這時(shí)就把巨大的星球看成是幾何點(diǎn)（無體積的點(diǎn)，或把體積“抽象”掉了）。例如，過去作為分析學(xué)主角的函數(shù)概念被擴(kuò)張為泛函、算子和一般的映射；代數(shù)學(xué)研究的中心從普通的數(shù)轉(zhuǎn)化為群、環(huán)、域等一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)；幾何學(xué)則主要探討各種各樣的抽象空間(包括無窮維空間、分?jǐn)?shù)維空間、彎曲的非歐空間、可變形的拓?fù)淇臻g等)……