【正文】 數(shù)與函數(shù)的泰勒展式，微分方程，行列式、矩陣、線性方程組和n維向量，概率統(tǒng)計(jì)，圖論，線性規(guī)劃與動態(tài)規(guī)劃等一系列數(shù)學(xué)概念和知識，同時我們還要學(xué)會利用這些概念和知識，會計(jì)算變化率、改變量，會分析函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖形的特征，會求函數(shù)的極值，會進(jìn)行近似計(jì)算與誤差分析，會求函數(shù)曲線所圍成的圖形的面積、曲線長度和曲面體積，會求解一階線性微分方程和二階常系數(shù)微分方程，會求一些函數(shù)的拉氏變換和逆變換，會把一個函數(shù)展成冪級數(shù)、把周期函數(shù)展成傅立葉級數(shù)，會求行列式的值、會進(jìn)行矩陣變換和解線性方程組，會求矩陣的特征值和特征向量，會求概率和進(jìn)行簡單的統(tǒng)計(jì)分析，會利用圖論方法、線性規(guī)劃和動態(tài)規(guī)劃解決一些優(yōu)化問題，會利用已有的數(shù)學(xué)知識和方法建立數(shù)學(xué)模型等等。十余年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅增長了知識，還學(xué)會了邏輯思維，就這一點(diǎn)對人的幫助最大。當(dāng)你會歸納、類比、聯(lián)想，會靈活處理問題，增強(qiáng)了直覺能力，有了數(shù)感，有了形感時，那你會變得更聰明、智慧。當(dāng)你走向技術(shù)或管理崗位，經(jīng)常要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行工程計(jì)算或經(jīng)濟(jì)核算，經(jīng)常要進(jìn)行分析、判斷和決策。這使你感到通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的能力有了用武之地。目前出現(xiàn)的一些優(yōu)秀數(shù)學(xué)軟件功能非常強(qiáng)大，不僅能進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，而且還能進(jìn)行符號運(yùn)算，這不僅使繁瑣的計(jì)算、推導(dǎo)變得輕松自如，而且也能協(xié)助我們進(jìn)行邏輯思維，作出正確判斷。因此學(xué)會利用流行的數(shù)學(xué)軟件已是工程師、經(jīng)濟(jì)師們必不可缺學(xué)習(xí)任務(wù)。我們要相信，這一系列數(shù)學(xué)知識的掌握和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，是你成為一名高級技術(shù)或管理人才的基礎(chǔ)。我們不難發(fā)現(xiàn)，如今的社會生活信息化程度越來越高，終身學(xué)習(xí)已經(jīng)成為人的一種特別需要，“會學(xué)習(xí)”已成為當(dāng)今社會對人的一種基本要求。然而，“會學(xué)習(xí)”的前提是必須具備通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的足夠的 “閱讀”能力和邏輯思維能力。事實(shí)證明，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的人，一般不會有健全的學(xué)習(xí)能力。當(dāng)然，不一定是終身要學(xué)數(shù)學(xué)，但一定是終身要用數(shù)學(xué)。毫無疑問，數(shù)學(xué)將伴隨人的一生。三、 數(shù)學(xué)的基本特征數(shù)學(xué)是人類智力的產(chǎn)物，許多人認(rèn)為它具有三個最基本的特征：一是高度抽象性，二是高度精確性，三是廣泛應(yīng)用性。1． 數(shù)學(xué)的高度抽象性 數(shù)，就是離開具體事物的實(shí)際背景，僅僅從它的數(shù)量側(cè)面上反映出來的一種抽象。在人類有文字記載的初期，人們就知道把具體的一些物體的數(shù)量用符號記錄下來，這時人們已經(jīng)開始有了把“數(shù)”從具體事物抽象出來的意識。例如3（古代有各種表示方法，現(xiàn)在我們采用的是阿拉伯人的記法）這個數(shù)既可表示3個蘋果，也可表示3個人或3本書等等，而3本身已經(jīng)擯棄了蘋果、人或書等的具體含義，僅僅抓住數(shù)量這一特征的一種抽象。形，也是如此，直線這一概念是從拉緊的紗線，透過小孔的光線，筆直的路線等等現(xiàn)實(shí)事物中抽象出來的。幾何學(xué)中的直線舍棄了所有紗線、光線、路線等等事物的性質(zhì)，只留下在一定方向上無限伸長這一抽象形式。幾何圖形的概念，都是舍棄了現(xiàn)實(shí)對象的所有性質(zhì)，只留下空間形式和大小、位置這些抽象結(jié)果。全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征。其實(shí)，抽象的方法其他學(xué)科應(yīng)用也很廣泛，幾乎任何學(xué)科都有一些的抽象性的概念手段，如現(xiàn)代物理學(xué)中的各種“場”、“熵”、“勢”等等也都是比較抽象的概念；又例如力學(xué)中的剛體運(yùn)動，常把一個物體視為一個質(zhì)點(diǎn)，把運(yùn)動軌跡看成一條曲線或直線，這就是典型的抽象手法。特別是天體運(yùn)動研究中，把星球的運(yùn)行軌跡認(rèn)為是橢圓，這時就把巨大的星球看成是幾何點(diǎn)（無體積的點(diǎn)，或把體積“抽象”掉了）。但這些抽象的概念并沒有完全擺脫實(shí)際背景，人們還很容易想到它的真實(shí)情況，而現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)的抽象程度越來越高，有些已經(jīng)難于找到它的現(xiàn)實(shí)背景。尤其是在過去的一個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)從內(nèi)容、意義到方法都經(jīng)歷了前所未有的深刻變革?；仡欉@種深刻變革，我們會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)的無限生命力，恰恰是源于其發(fā)展過程中的三個貌似相互矛盾、實(shí)則相互統(tǒng)一的特點(diǎn)，即：數(shù)學(xué)的抽象性、精確性和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。在20世紀(jì)，數(shù)學(xué)的這兩個特點(diǎn)更是共軛地發(fā)展著，使數(shù)學(xué)比以往任何時代都更加成為整個科學(xué)技術(shù)賴依生存的基礎(chǔ)和人類文明、進(jìn)步的標(biāo)志。脫離具體的實(shí)際背景對事物進(jìn)行“量”與“形”的抽象是數(shù)學(xué)固有的特性，可以說沒有這種抽象就沒有數(shù)學(xué)。20世紀(jì)數(shù)學(xué)更高的抽象化趨勢，最初主要是受了兩大因素的推動，即集合論觀點(diǎn)與公理化方法，二者相互結(jié)合孕育了抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等新的抽象分支，同時又引發(fā)了一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支(特別如概率論)的革新。數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域不斷拓展，研究對象不斷擴(kuò)張。例如，過去作為分析學(xué)主角的函數(shù)概念被擴(kuò)張為泛函、算子和一般的映射；代數(shù)學(xué)研究的中心從普通的數(shù)轉(zhuǎn)化為群、環(huán)、域等一般的代數(shù)結(jié)構(gòu)；幾何學(xué)則主要探討各種各樣的抽象空間(包括無窮維空間、分?jǐn)?shù)維空間、彎曲的非歐空間、可變形的拓?fù)淇臻g等)……。可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系，而且研究一切可能的空間形式與數(shù)量關(guān)系。在更廣泛的意義上，數(shù)學(xué)已經(jīng)被看作是關(guān)于“模型”(pattern)的學(xué)科，包括數(shù)的模型，形的模型，運(yùn)動與變化的模型，推理的模型，行為的模型……這些模型既可以是現(xiàn)實(shí)的，也可以是想像的；既可以是定量的，也可以是定性的，等等。 純粹數(shù)學(xué)在20世紀(jì)經(jīng)歷了一系列激動人心的發(fā)展，過去若干世紀(jì)以來積累的一些重大問題，有許多已獲解決或是取得了重要進(jìn)展。歷300余年懸而未決的費(fèi)馬大定理的獲證(1994)，可以說是20世紀(jì)純粹數(shù)學(xué)美妙的終曲。對于X的n次方＋X的n次方＝Z的n次方這一看似簡單的方程式，費(fèi)馬在300多年前提出，當(dāng)n大于或等于3時無整數(shù)解。此后，300多年無人能證明這一定理。除了費(fèi)馬大定理，像事關(guān)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)的哥德爾不完全性定理的提出(1931)、具有異乎尋常的微分結(jié)構(gòu)的“米爾諾怪球”的發(fā)現(xiàn)(1956)、揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在統(tǒng)一性的“阿蒂亞—辛格指標(biāo)定理”的證明(1963)、四色定理的攻克(1976)、有限單群分類的完成(1980)、……等等，這些輝煌的智力成果，不斷使科學(xué)界震驚，而它們的獲得，都依賴于極度抽象的概念與方法。以費(fèi)馬大定理的證明為例，由于它綜合運(yùn)用了包括數(shù)論、代數(shù)幾何、李群和分析等眾多數(shù)學(xué)分支的思想與方法而被喻為“后現(xiàn)代藝術(shù)”。這條表述極其初等的定理，要看懂英國數(shù)學(xué)家維爾斯對它的證明，即使對訓(xùn)練有素的職業(yè)數(shù)學(xué)家來說也并非易事，這多少說明了現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象的程度。哥德爾不完全性定理的提出，可涉及的領(lǐng)域甚至包括哲學(xué)。其抽象化也是達(dá)到了相當(dāng)高深的程度。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象化趨勢的增長，有時不免引起人們對數(shù)學(xué)的誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)是只有少數(shù)思維怪杰才能問津的、遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)的象牙塔。然而數(shù)學(xué)的抽象決不是無源之水、無本之木。相反，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系源遠(yuǎn)流長。由于數(shù)與形是事物所共有的本質(zhì)屬性的抽象，數(shù)學(xué)在其發(fā)展的早期就表現(xiàn)出解決因人類實(shí)際需要而提出的各種問題的功效。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系有時呈現(xiàn)出曲折性，數(shù)學(xué)理論往往會領(lǐng)先發(fā)展，但這常常只是重大應(yīng)用的前奏。數(shù)學(xué)的發(fā)展史表明，數(shù)學(xué)的抽象越是完善，其滲透能力就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍就越廣。20世紀(jì)是一個純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)相互影響，共同繁榮的時代，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展，已蔚成當(dāng)代數(shù)學(xué)的強(qiáng)大潮流，并表現(xiàn)出與以往時代不同的鮮明特征。在目前的基礎(chǔ)教育和高等教育教學(xué)中，尤其是在高等工程技術(shù)教育中，重視數(shù)學(xué)知識的實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。但我們必須清楚，數(shù)學(xué)的巨大應(yīng)用威力，正是源于它在宇宙世界和人類社會的探索中對最大限度的一般性即抽象性的追求。數(shù)學(xué)抽象作為一種科學(xué)思維的范式，是現(xiàn)代化人才——不論其從事何種職業(yè)——所必須具備的基本素質(zhì)，雖然對不同的人要求可有所不同。值得指出的是，數(shù)學(xué)抽象思維包括了演繹證明、歸納推理、算法構(gòu)思等不同的方面，應(yīng)該是一個整體的、全面的概念。我們在工程類或管理類專業(yè)教育中，特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)回歸自然，回歸工程實(shí)際，回歸技術(shù)應(yīng)用，但我們不可能擺脫數(shù)學(xué)的抽象性特點(diǎn)。在這里把數(shù)學(xué)教育的目的定位于應(yīng)用能力培養(yǎng)，是非常正確的，且最重要的目的是抽象思維能力培養(yǎng)，因?yàn)闀贸橄蟮姆椒ń鉀Q問題，是高超智慧的體現(xiàn)。其實(shí)，抓住現(xiàn)實(shí)對象的根本特征進(jìn)行抽象性描述，往往會使其特征更明了、簡潔、直觀。2． 數(shù)學(xué)的高度精確性數(shù)學(xué)的高度精確性主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)定義的準(zhǔn)確性、推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性與無可爭辯性。當(dāng)然，數(shù)學(xué)嚴(yán)格性不是絕對的，一成不變的，而是相對的，發(fā)展的，體現(xiàn)人們的認(rèn)識逐漸深化的過程。數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性的主要特征是它的經(jīng)典部分有一套科學(xué)、簡明的公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)的標(biāo)志是：一，它有一套基本術(shù)語，或原始概念；二，它有一組基本命題，或原始命題，或公理；三，其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證?，F(xiàn)在，算術(shù)，幾何，微積分，泛函分析，拓?fù)鋵W(xué)，集合論，群論，概率論等均已建立在公理化基礎(chǔ)上。它的所有不能是例證和個別驗(yàn)證，如著名的歌德巴赫猜想，有人用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了幾百萬個素數(shù)都是對的，但這仍不能算證明了歌德巴赫猜想。再如對于下面的二次式我們可以驗(yàn)證，當(dāng)x=1,2,…,10000時,都是素數(shù)。可是我們決不能下結(jié)論對所有的自然數(shù)x, 是素數(shù)。舉出一個反例，就是x=72490，因?yàn)? . 不能用例證得出結(jié)論，任何結(jié)論都必須經(jīng)過嚴(yán)密的演繹推斷，數(shù)學(xué)家核心任務(wù)是根據(jù)已知的結(jié)論通過嚴(yán)密演繹推理證明新的結(jié)論或證實(shí)人們的各種猜想等，而其它學(xué)科的專家們只關(guān)心數(shù)學(xué)結(jié)論極其應(yīng)用，不必理解其證明細(xì)節(jié)，因此，從事工程類或管理類專業(yè)數(shù)學(xué)教育的工作者，千萬不要以教會數(shù)學(xué)的嚴(yán)密證明為目的，而是要以幫助學(xué)生分析理解數(shù)學(xué)結(jié)論、訓(xùn)練應(yīng)用方法為主要任務(wù)和目的。3．?dāng)?shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性自然科學(xué)發(fā)展史表明，任何學(xué)科研究都要經(jīng)歷從定性到定量研究的過渡和飛躍。只要該學(xué)科是不介入實(shí)驗(yàn)的，才是該門學(xué)科趨于成熟的表現(xiàn)。要做到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)科是個有力的杠桿。似乎可以這樣說，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)十