【正文】 ，生物學(xué)中的孟德爾遺傳定律等都是經(jīng)典學(xué)科中應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的光輝范例。數(shù)學(xué)對于學(xué)生的培養(yǎng)，不只是數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式，這其實是次要的，更重要的是培養(yǎng)同學(xué)一個正確的思想方法，而且依據(jù)自己所學(xué)到的知識，能夠不斷創(chuàng)新，不斷地找出新的途徑。 數(shù)學(xué)建模競賽開放性思維的訓(xùn)練園地。競賽題目一般來源于工程技術(shù)和管理科學(xué)等方面經(jīng)過適當簡化加工的實現(xiàn)問題，有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。當然，競賽永遠只能是少數(shù)人的活動。在科技迅速發(fā)展的今天多有不適應(yīng)，后繼課的教師和畢業(yè)生的雇主會有不滿，抱怨數(shù)學(xué)課沒有教好，抱怨用了那么多課時都學(xué)了些什么。 現(xiàn)在也有人認為不需要懂得很多數(shù)學(xué)，只要會用軟件就行了，學(xué)生不需要用那么多時間去學(xué)數(shù)學(xué)。這些數(shù)學(xué)家通過完成部門或公司交給他們的工作，逐步和所在單位的科技人員融為一體，直接為雇主作出貢獻，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出貢獻。但是為了解決現(xiàn)實中的重大問題，已有的數(shù)學(xué)成果是遠遠不夠的。科學(xué)家正日益依賴于計算方法，而且在選擇正確的數(shù)學(xué)和計算方法以及解釋結(jié)果的精度和可靠性方面必須具有足夠的經(jīng)驗。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)和工程之間在更廣闊的范圍內(nèi)和更深的層次上，直接地相互作用著，極大地推動了數(shù)學(xué)和工程科學(xué)的發(fā)展，也極大地推動了技術(shù)的進步。在我國凡是做出重大科研成果的科學(xué)家都有上述特點。 自1968年起諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲獎設(shè)立項目90%以上都是有關(guān)經(jīng)濟學(xué)行為的數(shù)學(xué)建模及相應(yīng)的研究工作，獲獎?wù)咧胁簧偃擞袛?shù)學(xué)博士學(xué)位。萊布尼茲，貝巴奇等數(shù)學(xué)家都曾研制過計算機。他還說過“事實上，我是通過她(諾特)才能在這一領(lǐng)域內(nèi)有所作為的。另一方面，科學(xué)和工程的各個分支都在不同程度上大量使用數(shù)學(xué)，享受著數(shù)學(xué)的貢獻。數(shù)學(xué)的抽象智力成果，以其邏輯的威力和算法的精密將永遠是這門科學(xué)的光榮所在。英國數(shù)學(xué)家圖靈的“理想計算機”(“圖靈機”)提供了通用數(shù)字計算機的理論模型。以前數(shù)學(xué)工具直接應(yīng)用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的，往往是先應(yīng)用于其他科學(xué)(如力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué))，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進步的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)通過計算機，正在提供新的藝術(shù)創(chuàng)作手段和藝術(shù)產(chǎn)品，給人們帶來全新的藝術(shù)享受。諾依曼等。而純粹數(shù)學(xué)中的一些前沿與其他科學(xué)的許多前沿領(lǐng)域的快速結(jié)合，則反映了數(shù)學(xué)滲透的深度。抽象數(shù)學(xué)為物理學(xué)新理論準備了仿佛是定做的工具。要做到這一點，數(shù)學(xué)學(xué)科是個有力的杠桿。數(shù)學(xué)的邏輯嚴密性的主要特征是它的經(jīng)典部分有一套科學(xué)、簡明的公理系統(tǒng)，這些公理系統(tǒng)的標志是：一，它有一套基本術(shù)語，或原始概念；二，它有一組基本命題，或原始命題，或公理；三，其余的概念全由原始概念出發(fā)予以定義，其余的命題全由公理出發(fā)予以推理論證。但我們必須清楚，數(shù)學(xué)的巨大應(yīng)用威力，正是源于它在宇宙世界和人類社會的探索中對最大限度的一般性即抽象性的追求。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象化趨勢的增長，有時不免引起人們對數(shù)學(xué)的誤解，認為數(shù)學(xué)是只有少數(shù)思維怪杰才能問津的、遠離現(xiàn)實的象牙塔。歷300余年懸而未決的費馬大定理的獲證(1994)，可以說是20世紀純粹數(shù)學(xué)美妙的終曲。在20世紀，數(shù)學(xué)的這兩個特點更是共軛地發(fā)展著，使數(shù)學(xué)比以往任何時代都更加成為整個科學(xué)技術(shù)賴依生存的基礎(chǔ)和人類文明、進步的標志。幾何學(xué)中的直線舍棄了所有紗線、光線、路線等等事物的性質(zhì)，只留下在一定方向上無限伸長這一抽象形式。事實證明，沒有經(jīng)過數(shù)學(xué)邏輯思維訓(xùn)練的人，一般不會有健全的學(xué)習(xí)能力。當你會歸納、類比、聯(lián)想，會靈活處理問題，增強了直覺能力，有了數(shù)感，有了形感時，那你會變得更聰明、智慧。事實上，人類的祖先開啟智能的標志之一，就是有了數(shù)量和幾何形狀的觀念和意識。至于人類自身的發(fā)明創(chuàng)造，更與數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系。目前已發(fā)現(xiàn)了距太陽約60億公里的最遙遠的一顆大行星冥王星，因此，人們已經(jīng)知道了太陽系有九大行星。這個定律說明了行星運動軌道的數(shù)學(xué)形式為： 運動方程為： ， . 離心率為：（2）行星的向徑（行星與太陽的連線）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。這就是數(shù)學(xué)之所以成為描述、解釋自然現(xiàn)象的語言的原因。一、 數(shù)學(xué)無處不在數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形及其關(guān)系的一門科學(xué)。在近幾百年，幾乎每個世紀，數(shù)學(xué)都出人意料地獲得驚人的發(fā)展而創(chuàng)造出新的黃金時代。緒論：如何認識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是人類最古老同時又是最富生命力的知識領(lǐng)域之一。本章的目的是想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個基本的概括性認識。自然界充滿著數(shù)學(xué)概念的實例。偉大的天文學(xué)家開普勒在《諧和宇宙》一書中進一步研究行星運動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了著名的開普勒行星運動運動三大定律： （1）行星繞太陽運行的軌道是橢圓形的，而太陽在橢圓的一個焦點上。這些行星運動的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)方法的光輝應(yīng)用的結(jié)果。如今，人們利用數(shù)學(xué)不僅能計算出星系的運行規(guī)律，而且還能計算出恒星的壽命，以及太陽系、地球、宇宙的年齡等等，這些研究成果越來越使人類更清晰地了解我們的宇宙過去、現(xiàn)在和未來。不難想象，如果我們?nèi)祟悰]有這些數(shù)、量、空間、形狀與關(guān)系的思想意識，人類將和其它動物一樣，陷入何等渾噩無知與黑暗之中，那將是非常可怕的混沌的時代。十余年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅增長了知識，還學(xué)會了邏輯思維，就這一點對人的幫助最大。然而，“會學(xué)習(xí)”的前提是必須具備通過數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的足夠的 “閱讀”能力和邏輯思維能力。形，也是如此，直線這一概念是從拉緊的紗線，透過小孔的光線，筆直的路線等等現(xiàn)實事物中抽象出來的?；仡欉@種深刻變革，我們會發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)的無限生命力，恰恰是源于其發(fā)展過程中的三個貌似相互矛盾、實則相互統(tǒng)一的特點，即：數(shù)學(xué)的抽象性、精確性和數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性。 純粹數(shù)學(xué)在20世紀經(jīng)歷了一系列激動人心的發(fā)展，過去若干世紀以來積累的一些重大問題，有許多已獲解決或是取得了重要進展。其抽象化也是達到了相當高深的程度。在目前的基礎(chǔ)教育和高等教育教學(xué)中，尤其是在高等工程技術(shù)教育中，重視數(shù)學(xué)知識的實際背景，加強應(yīng)用數(shù)學(xué)意識與能力的培養(yǎng)，是十分必要和迫切的任務(wù)。當然，數(shù)學(xué)嚴格性不是絕對的，一成不變的，而是相對的，發(fā)展的，體現(xiàn)人們的認識逐漸深化的過程。只要該學(xué)科是不介入實驗的，才是該門學(xué)科趨于成熟的表現(xiàn)。眾所周知，在相對論和量子力學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中，數(shù)學(xué)都建有奇功：出于純粹數(shù)學(xué)的興趣而獲得的抽象成果(張量分析、無窮維空間等)恰恰分別為這兩種新興的物理理論提供了現(xiàn)成合用的數(shù)學(xué)工具。 “數(shù)學(xué)物理”、“數(shù)理化學(xué)”、“生物數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)”、“數(shù)理氣象學(xué)”……，一連串交叉學(xué)科的形成說明了數(shù)學(xué)向其它自然科學(xué)領(lǐng)域滲透的廣度。20世紀四十年代以來，經(jīng)濟學(xué)研究的數(shù)學(xué)化導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的誕生，參與這門交叉學(xué)科建立的有大數(shù)學(xué)家馮 現(xiàn)代數(shù)學(xué)不僅影響著人們的經(jīng)濟活動，而且正在影響著人們的文化生活。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接。諾依曼是第一臺通用電子計算機(ENIAC)的主要研制者之一，他的程序內(nèi)存思想至今仍是現(xiàn)代計算機的主要設(shè)計理念。高斯曾同時將數(shù)學(xué)比作科學(xué)的“皇后”和“仆人”，這確是恰當?shù)脑u價。簡潔明了的數(shù)學(xué)定理一經(jīng)證明就是永恒的真理，極其優(yōu)美而且無懈可擊。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場方程，在該文中他說：“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！”廣義相對論的數(shù)學(xué)表達第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。在現(xiàn)代計算機的發(fā)展研制中數(shù)學(xué)家起了決定性的作用。數(shù)學(xué)家納維于1948年出版的《控制論》一書宣告了控制論這門學(xué)科的誕生。應(yīng)用數(shù)學(xué)家去解決各種實際問題時，在觀念上不可有單打獨斗的想法，一定要與相應(yīng)領(lǐng)域的專家緊密合作。但是，50年前數(shù)學(xué)雖然也直接為工程技術(shù)提供一些工具，但基本上是間接的：先促進其他科學(xué)的發(fā)展，再由這些科學(xué)提供工程原理和設(shè)計的基礎(chǔ)?！皵?shù)學(xué)建模和與之相伴的計算正在成為工程設(shè)計中的關(guān)鍵工具。 有人認為，能夠馬上拿來就用的數(shù)學(xué)一定是相當成熟的成果。1984年，美國國家安全局局長曾說過，美國國家安全局是美國數(shù)學(xué)界最大的雇主，它雇用了2000多位具有博士等學(xué)位的數(shù)學(xué)家。這些問題既涉及重大的應(yīng)用問題，也包括純粹數(shù)學(xué)(目前不一定馬上就能看到應(yīng)用的問題)中的一些大題目。誠然，我國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的起步是比較晚的，數(shù)學(xué)教育上也是先學(xué)西方后學(xué)蘇聯(lián)(學(xué)到手后就不再改進)的模式，而且長期不能擺脫其影響。競賽正在向研究生層次發(fā)展，即將舉辦研究生建模競賽，從而推動研究生的數(shù)學(xué)教育改革。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算機方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。它還可以培養(yǎng)學(xué)生堅強的意志，培養(yǎng)自律、“慎獨”的優(yōu)秀品質(zhì)，培養(yǎng)正確的數(shù)學(xué)觀。很多人都知道，數(shù)學(xué)是非常重要的。 很多象牛頓一樣偉大的科學(xué)家都是建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的大師，他們將各個不同的科學(xué)領(lǐng)域同數(shù)學(xué)有機地結(jié)合起來，在不同的學(xué)科中取得了巨大的成就。這正是數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的體現(xiàn)，這就是培養(yǎng)學(xué)生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實地工作，通過熟能生巧達到觸類旁通的境界； （5）各種當代科技最新成果的使用能力?，F(xiàn)在已經(jīng)有很多苗頭，光靠西方的演繹或者是還原論的東西解決不了問題，說不定要借助于東方的文化，正象萊布尼茲借助于中國的哲學(xué)一樣，還有控制論、系統(tǒng)論是借助于中國的思維。這里有什么規(guī)律嗎。六、如何認識“數(shù)學(xué)實驗” 看到“數(shù)學(xué)實驗”幾個字人們會問：做數(shù)學(xué)題不是靠一張紙、一支筆就行了嗎？怎么像物理、化學(xué)一樣要做實驗了呢？這是計算機技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件引入教學(xué)后出現(xiàn)的新事物，是數(shù)學(xué)教學(xué)體系、內(nèi)容和方法改革的一項嘗試。由同學(xué)自己動手，用他們熟悉的、喜歡“玩”的計算機解決幾個經(jīng)過簡化的實際問題，讓學(xué)生親身感受到用所學(xué)的數(shù)學(xué)解決實際問題的酸甜苦辣。14 / 1