【正文】 前言 在科學(xué)技術(shù)發(fā)展到跨進21世紀(jì)的今天，應(yīng)該交給大學(xué)生什么樣的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)科學(xué)的哲學(xué)和方法論、數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式如何，以及把數(shù)學(xué)作為技術(shù)開發(fā)的工具是怎么樣的等等，這一系列問題已經(jīng)尖銳地擺在工科數(shù)學(xué)教育工作者面前。目前，大家已經(jīng)形成的共識是，講授數(shù)學(xué)知識不能僅僅局限于伴隨牛頓力學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展起來并于一百來年已經(jīng)形成的經(jīng)典理論，而是不僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，還要教給學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，特別是數(shù)學(xué)建模和計算機模擬的本領(lǐng)；數(shù)學(xué)應(yīng)用的思維方式在提倡抽象思維的同時更強調(diào)形象思維或直感思維，使用幾何方法，形象化的描述及計算機圖示，因為圖形對想象力和創(chuàng)造力是強有力的刺激因素；數(shù)學(xué)應(yīng)用要把計算機及其技術(shù)作為不可缺少的工具和手段，使大學(xué)生學(xué)習(xí)計算機同數(shù)學(xué)科學(xué)的學(xué)習(xí)與研究緊密結(jié)合，不但會用計算機，而且能理解計算機給出的答案。這些共識就是數(shù)學(xué)教育改革所追求的方向和目標(biāo)。緒論：如何認識數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是人類最古老同時又是最富生命力的知識領(lǐng)域之一。在近幾百年，幾乎每個世紀(jì)，數(shù)學(xué)都出人意料地獲得驚人的發(fā)展而創(chuàng)造出新的黃金時代。然而，時至今日仍有不少人對學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的目的和意義產(chǎn)生種種疑惑，特別是剛進入高等學(xué)校的接受工程技術(shù)教育的學(xué)生們總是對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一系列的疑問，問的最多的是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對以后所從事的技術(shù)工作有什么用？”。甚至有人認為隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，大量的計算問題可以由計算機軟件處理，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識已不那么重要了。應(yīng)該說這是我們數(shù)學(xué)教育現(xiàn)在必須回答的一個帶有根本性的問題。當(dāng)然，大多數(shù)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)既不想當(dāng)數(shù)學(xué)家，也不想從事數(shù)學(xué)教育工作，只是為了進一步學(xué)習(xí)專業(yè)知識和技術(shù)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而我們面向工程技術(shù)教育的學(xué)生講授數(shù)學(xué)的方式以及學(xué)生的學(xué)習(xí)方法確實有很多地方值得認真反思。一方面，過分的注重“純數(shù)學(xué)”的嚴(yán)密體系、嚴(yán)格的證明和復(fù)雜計算，而不注重它的應(yīng)用性和工具性（科學(xué)語言）；另一方面，只滿足于會作題、應(yīng)付考試的“應(yīng)試學(xué)習(xí)”方式，致使學(xué)生們無法對數(shù)學(xué)知識、思想、方法及其應(yīng)用價值有明晰的認識。為此，我們提出新的嘗試，既傳授基本的數(shù)學(xué)知識，又訓(xùn)練應(yīng)用技能。本章的目的是想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)有一個基本的概括性認識。一、 數(shù)學(xué)無處不在數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形及其關(guān)系的一門科學(xué)。它以研究現(xiàn)時世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要任務(wù)。通俗地講，數(shù)學(xué)是以數(shù)字、符號、形狀和模式來代替文字的一套特殊語言系統(tǒng)。或者說，數(shù)學(xué)是一種能夠描述各種客觀規(guī)律的語言，是任何學(xué)科都要用到的、無比有用、無所不能、神通廣大、全球共通的一種特殊語言。正像已故的著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數(shù)學(xué)，研究量（或形）的關(guān)系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關(guān)系、量（或形）的關(guān)系的變化等問題都離不開數(shù)學(xué)作為語言工具。我們現(xiàn)在無法真正理解為什么毫無智能的動物、植物，甚至低等生物，都會進行奇特的數(shù)學(xué)創(chuàng)造。如某些細菌的繁殖會滿足一些奇妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，植物的花瓣形成精美的幾何圖形，某些貝殼和松果具有螺旋形生長模式等等。自然界充滿著數(shù)學(xué)概念的實例。這就是數(shù)學(xué)之所以成為描述、解釋自然現(xiàn)象的語言的原因。例如，圓形蜘蛛網(wǎng)是一個簡單漂亮的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，要分析這個美麗結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法進行分析時，出現(xiàn)在蜘蛛網(wǎng)中的數(shù)學(xué)概念是驚人的：半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應(yīng)角、對數(shù)螺線、懸鏈線和無理數(shù)e 。我們知道蜜蜂營造的蜂房也是奇妙的數(shù)學(xué)圖形。十八世紀(jì)初，法國學(xué)者馬拉爾奇測量了蜂房，發(fā)現(xiàn)正面看去它是鑲嵌得如此天衣無縫的正六角形，蜂王的底都是由三個全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是109，銳角都是等于70（圖01），這不僅是蜂房 圖01的空間結(jié)構(gòu)呈如此精美的幾何形狀，而且據(jù)巴黎科學(xué)院院士、瑞士數(shù)學(xué)家克尼格與蘇格蘭數(shù)學(xué)家馬克勞林的理論計算，這種結(jié)構(gòu)消耗最少的材料和最少的“工時”，這里竟然符合最優(yōu)化的數(shù)學(xué)原理，真是不可思議！蜜蜂沒有學(xué)過鑲嵌理論、求解最大值和最小值方法、解線性代數(shù)問題和求含約束條件的最優(yōu)解的藝術(shù)，而它卻實實在在進行了奇妙的符合數(shù)學(xué)原理的工程技術(shù)創(chuàng)造，這不正是把自然界與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來的例證嗎？在礦物結(jié)構(gòu)中，同樣可以找到許多更為奇妙的空間圖形，如食鹽礦的晶體呈正方體形狀，明礬的晶體呈正八面體形狀，而礦物質(zhì)中其它更多的晶體呈更為復(fù)雜的幾何形狀，如十字架石晶體呈正交或斜交十字架雙晶形；電氣石晶體色澤美麗可作為寶石，呈拄狀晶形，拄面有明顯的縱條紋，橫斷面呈弧線三角形；如石榴石的晶體結(jié)構(gòu)呈菱形十二面體或四角三八面體的復(fù)雜美妙的幾何形狀，透明色澤的也可作為寶石等（圖02）。 圖02再從宏觀來看，我們所生活的地球與它的衛(wèi)星—月亮之間有著緊密的聯(lián)系，月亮是沿著橢圓形軌道繞地球旋轉(zhuǎn)的。軌道的遠日點距離為406700公里（最大），近日點距離為356400公里（最?。瑑|萬年來，都是如此周而復(fù)始地按此規(guī)律運行。我們所處的宇宙里，天體之間運行規(guī)律無一不是精確的數(shù)學(xué)關(guān)系式。偉大的天文學(xué)家開普勒在《諧和宇宙》一書中進一步研究行星運動規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了著名的開普勒行星運動運動三大定律： （1）行星繞太陽運行的軌道是橢圓形的，而太陽在橢圓的一個焦點上。這個定律說明了行星運動軌道的數(shù)學(xué)形式為： 運動方程為： ， . 離心率為：（2）行星的向徑（行星與太陽的連線）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。這個定律說明了行星的運動速度的數(shù)學(xué)形式為：.（如圖03所示）（3）行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比例。這個定律說明行 圖03星行星運動的周期性。事實上，說明（其中a表示行星到太陽的平均距離，T表示公轉(zhuǎn)周期，G為萬有引力常數(shù)，M為太陽質(zhì)量）。三定律的發(fā)現(xiàn)，不僅使人們準(zhǔn)確地預(yù)先計算出行星的未來的位置，編制成行星的星歷表供航海與大地測量使用，更重要的是人們可以利用數(shù)學(xué)的幫助去發(fā)現(xiàn)新的行星。果然，在開普勒以后的一百年后，德國天文學(xué)家提出在行星的軌道間缺一顆行星，1781年，德國天文學(xué)家威廉?赫歇發(fā)現(xiàn)了這顆新星，這就是著名的天王星。19世紀(jì)中葉，法國天文學(xué)家勒維耶（18111877）和英國天文學(xué)家亞當(dāng)斯（18191892），分別獨立計算出一顆新行星，命名為海王星。這些行星運動的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現(xiàn)，都是數(shù)學(xué)方法的光輝應(yīng)用的結(jié)果。目前已發(fā)現(xiàn)了距太陽約60億公里的最遙遠的一顆大行星冥王星，因此，人們已經(jīng)知道了太陽系有九大行星。而且在火星與木星之間發(fā)現(xiàn)兩千多顆小行星。太陽系所在的星系，成為銀河星系。銀河星系的面目已研究的比較清楚了。它的形狀像個鐵餅，直徑10萬光年，中央厚度約1萬光年。銀河系中的物質(zhì)分布成旋渦狀，狀似螺線，太陽系在銀河系的邊沿。90年4月美國發(fā)射太空的哈伯望遠鏡，觀察到遙遠星系的狀況，并發(fā)現(xiàn)這些星系的運行規(guī)律與人們利用數(shù)學(xué)計算推測的結(jié)果幾乎是一致的。如今，人們利用數(shù)學(xué)不僅能計算出星系的運行規(guī)律，而且還能計算出恒星的壽命，以及太陽系、地球、宇宙的年齡等等，這些研究成果越來越使人類更清晰地了解我們的宇宙過去、現(xiàn)在和未來。至于人類自身的發(fā)明創(chuàng)造，更與數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系。高聳入云的摩天大樓、大跨度的大橋、高性能的電子儀器設(shè)備、人造衛(wèi)星、航天飛機、計算機網(wǎng)絡(luò)與信息通訊設(shè)施等等，這些全是人類數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶。二、數(shù)學(xué)伴隨人的一生從嬰兒出生的第一刻起，父母要記他的出生時間、醫(yī)生要為他量體重和身長，還要檢查各項健康指標(biāo)，定時、定量哺乳、進食，這些都于數(shù)學(xué)有關(guān)，嬰兒一出生就遇到了數(shù)學(xué)，并在以后的時光里，數(shù)學(xué)將幫助嬰兒健康成長。隨著幼兒的成長，越來越離不開數(shù)學(xué)。一旦人開口學(xué)說話，大人開始教數(shù)“1，2，3，…”，“識數(shù)”是人生的第一課。后來逐漸能直觀地識別物體大小、東西的多少，這就有了初步的數(shù)量概念，漫漫地大人教他學(xué)習(xí)畫三角形、正方形和圓等等。當(dāng)你會到商店買東西，就學(xué)會了簡單計算；正是有了這些初步的數(shù)量概念，才會有時間概念，知道什么時候看電視、什么時間睡覺，也會記住一些重要的節(jié)日和自己的生日等；也正是有了這些初步的幾何圖形概念和簡單計算能力，才使幼兒逐漸具有了數(shù)量、運算、空間、形狀等初始的數(shù)學(xué)思想意識。不難想象，如果我們?nèi)祟悰]有這些數(shù)、量、空間、形狀與關(guān)系的思想意識，人類將和其它動物一樣，陷入何等渾噩無知與黑暗之中，那將是非?？膳碌幕煦绲臅r代。事實上，人類的祖先開啟智能的標(biāo)志之一，就是有了數(shù)量和幾何形狀的觀念和意識。當(dāng)我們進入小學(xué)、中學(xué)學(xué)校學(xué)習(xí)，開始正式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，懂得了更為深奧的數(shù)學(xué)語言和圖形語言。知道了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)，明白了相等與不等、方程與函數(shù)、有限與無限、數(shù)列與極限；懂得了圖形的全等與相似、直線、圓、軸對稱和中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)量、矢量、坐標(biāo)、正弦曲線、余弦曲線、拋物線、橢圓、雙曲線，多面體、旋轉(zhuǎn)體，空間曲線和曲面等等。我們也學(xué)會了加、減、乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式、函數(shù)式，等式、不等式，排列、組合、二項式展開的運算，學(xué)會了幾何作圖、等分、等積變形、分割、展開、放大、縮小、平移、旋轉(zhuǎn)、反射以及無限細分與無限積累等數(shù)學(xué)方法。這樣以來我們的大腦里已經(jīng)裝進了人類數(shù)千年長期總結(jié)積累的初等數(shù)學(xué)知識的精粹與思維的模式，使我們的思維方式更科學(xué)化了，也就是說，數(shù)學(xué)訓(xùn)化了我們的大腦，使我們更聰明睿智了。進入高等教育階段，我們要成為某個學(xué)科或技術(shù)領(lǐng)域的專門人才，要學(xué)習(xí)系統(tǒng)的專業(yè)知識和技術(shù)，就需要更多、更深入的數(shù)學(xué)知識。我們要弄懂函數(shù)與極限、函數(shù)與連續(xù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分、曲線積分、曲面積分，拉氏變換和逆變換，級數(shù)、傅立葉級