【正文】 前言 在科學技術發(fā)展到跨進21世紀的今天，應該交給大學生什么樣的數學，數學科學的哲學和方法論、數學應用的思維方式如何，以及把數學作為技術開發(fā)的工具是怎么樣的等等，這一系列問題已經尖銳地擺在工科數學教育工作者面前。目前，大家已經形成的共識是，講授數學知識不能僅僅局限于伴隨牛頓力學產生和發(fā)展起來并于一百來年已經形成的經典理論，而是不僅教給學生數學基礎理論，還要教給學生應用數學的技能，特別是數學建模和計算機模擬的本領；數學應用的思維方式在提倡抽象思維的同時更強調形象思維或直感思維，使用幾何方法，形象化的描述及計算機圖示，因為圖形對想象力和創(chuàng)造力是強有力的刺激因素；數學應用要把計算機及其技術作為不可缺少的工具和手段，使大學生學習計算機同數學科學的學習與研究緊密結合，不但會用計算機，而且能理解計算機給出的答案。這些共識就是數學教育改革所追求的方向和目標。緒論：如何認識數學數學是人類最古老同時又是最富生命力的知識領域之一。在近幾百年，幾乎每個世紀，數學都出人意料地獲得驚人的發(fā)展而創(chuàng)造出新的黃金時代。然而，時至今日仍有不少人對學習、研究數學的目的和意義產生種種疑惑，特別是剛進入高等學校的接受工程技術教育的學生們總是對學習數學產生一系列的疑問，問的最多的是“學習數學對以后所從事的技術工作有什么用？”。甚至有人認為隨著計算機技術的發(fā)展，大量的計算問題可以由計算機軟件處理，學習數學知識已不那么重要了。應該說這是我們數學教育現在必須回答的一個帶有根本性的問題。當然，大多數人學習數學既不想當數學家，也不想從事數學教育工作，只是為了進一步學習專業(yè)知識和技術而學習數學，而我們面向工程技術教育的學生講授數學的方式以及學生的學習方法確實有很多地方值得認真反思。一方面，過分的注重“純數學”的嚴密體系、嚴格的證明和復雜計算，而不注重它的應用性和工具性（科學語言）；另一方面，只滿足于會作題、應付考試的“應試學習”方式，致使學生們無法對數學知識、思想、方法及其應用價值有明晰的認識。為此，我們提出新的嘗試，既傳授基本的數學知識，又訓練應用技能。本章的目的是想讓學生對數學有一個基本的概括性認識。一、 數學無處不在數學是研究數和形及其關系的一門科學。它以研究現時世界中的數量關系和空間形式為主要任務。通俗地講，數學是以數字、符號、形狀和模式來代替文字的一套特殊語言系統(tǒng)?；蛘哒f，數學是一種能夠描述各種客觀規(guī)律的語言，是任何學科都要用到的、無比有用、無所不能、神通廣大、全球共通的一種特殊語言。正像已故的著名數學家華羅庚教授所說，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，華工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用數學，研究量（或形）的關系、量（或形）的變化、量（或形）的變化關系、量（或形）的關系的變化等問題都離不開數學作為語言工具。我們現在無法真正理解為什么毫無智能的動物、植物，甚至低等生物，都會進行奇特的數學創(chuàng)造。如某些細菌的繁殖會滿足一些奇妙的數學規(guī)律，植物的花瓣形成精美的幾何圖形，某些貝殼和松果具有螺旋形生長模式等等。自然界充滿著數學概念的實例。這就是數學之所以成為描述、解釋自然現象的語言的原因。例如，圓形蜘蛛網是一個簡單漂亮的數學創(chuàng)造，要分析這個美麗結構用數學方法進行分析時，出現在蜘蛛網中的數學概念是驚人的：半徑、弦、平行線段、三角形、全等對應角、對數螺線、懸鏈線和無理數e 。我們知道蜜蜂營造的蜂房也是奇妙的數學圖形。十八世紀初，法國學者馬拉爾奇測量了蜂房，發(fā)現正面看去它是鑲嵌得如此天衣無縫的正六角形，蜂王的底都是由三個全等的菱形組成的，菱形的鈍角都是109，銳角都是等于70（圖01），這不僅是蜂房 圖01的空間結構呈如此精美的幾何形狀，而且據巴黎科學院院士、瑞士數學家克尼格與蘇格蘭數學家馬克勞林的理論計算，這種結構消耗最少的材料和最少的“工時”，這里竟然符合最優(yōu)化的數學原理，真是不可思議！蜜蜂沒有學過鑲嵌理論、求解最大值和最小值方法、解線性代數問題和求含約束條件的最優(yōu)解的藝術，而它卻實實在在進行了奇妙的符合數學原理的工程技術創(chuàng)造，這不正是把自然界與數學聯(lián)系起來的例證嗎？在礦物結構中，同樣可以找到許多更為奇妙的空間圖形，如食鹽礦的晶體呈正方體形狀，明礬的晶體呈正八面體形狀，而礦物質中其它更多的晶體呈更為復雜的幾何形狀，如十字架石晶體呈正交或斜交十字架雙晶形；電氣石晶體色澤美麗可作為寶石，呈拄狀晶形，拄面有明顯的縱條紋，橫斷面呈弧線三角形；如石榴石的晶體結構呈菱形十二面體或四角三八面體的復雜美妙的幾何形狀，透明色澤的也可作為寶石等（圖02）。 圖02再從宏觀來看，我們所生活的地球與它的衛(wèi)星—月亮之間有著緊密的聯(lián)系，月亮是沿著橢圓形軌道繞地球旋轉的。軌道的遠日點距離為406700公里（最大），近日點距離為356400公里（最?。?，億萬年來，都是如此周而復始地按此規(guī)律運行。我們所處的宇宙里，天體之間運行規(guī)律無一不是精確的數學關系式。偉大的天文學家開普勒在《諧和宇宙》一書中進一步研究行星運動規(guī)律，發(fā)現了著名的開普勒行星運動運動三大定律： （1）行星繞太陽運行的軌道是橢圓形的，而太陽在橢圓的一個焦點上。這個定律說明了行星運動軌道的數學形式為： 運動方程為： ， . 離心率為：（2）行星的向徑（行星與太陽的連線）在相等的時間內掃過相等的面積。這個定律說明了行星的運動速度的數學形式為：.（如圖03所示）（3）行星繞太陽公轉周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比例。這個定律說明行 圖03星行星運動的周期性。事實上，說明（其中a表示行星到太陽的平均距離，T表示公轉周期，G為萬有引力常數，M為太陽質量）。三定律的發(fā)現，不僅使人們準確地預先計算出行星的未來的位置，編制成行星的星歷表供航海與大地測量使用，更重要的是人們可以利用數學的幫助去發(fā)現新的行星。果然，在開普勒以后的一百年后，德國天文學家提出在行星的軌道間缺一顆行星，1781年，德國天文學家威廉?赫歇發(fā)現了這顆新星，這就是著名的天王星。19世紀中葉，法國天文學家勒維耶（18111877）和英國天文學家亞當斯（18191892），分別獨立計算出一顆新行星，命名為海王星。這些行星運動的規(guī)律、以及新行星的發(fā)現，都是數學方法的光輝應用的結果。目前已發(fā)現了距太陽約60億公里的最遙遠的一顆大行星冥王星，因此，人們已經知道了太陽系有九大行星。而且在火星與木星之間發(fā)現兩千多顆小行星。太陽系所在的星系，成為銀河星系。銀河星系的面目已研究的比較清楚了。它的形狀像個鐵餅，直徑10萬光年，中央厚度約1萬光年。銀河系中的物質分布成旋渦狀，狀似螺線，太陽系在銀河系的邊沿。90年4月美國發(fā)射太空的哈伯望遠鏡，觀察到遙遠星系的狀況，并發(fā)現這些星系的運行規(guī)律與人們利用數學計算推測的結果幾乎是一致的。如今，人們利用數學不僅能計算出星系的運行規(guī)律，而且還能計算出恒星的壽命，以及太陽系、地球、宇宙的年齡等等，這些研究成果越來越使人類更清晰地了解我們的宇宙過去、現在和未來。至于人類自身的發(fā)明創(chuàng)造，更與數學有密切的聯(lián)系。高聳入云的摩天大樓、大跨度的大橋、高性能的電子儀器設備、人造衛(wèi)星、航天飛機、計算機網絡與信息通訊設施等等，這些全是人類數學智慧的結晶。二、數學伴隨人的一生從嬰兒出生的第一刻起，父母要記他的出生時間、醫(yī)生要為他量體重和身長，還要檢查各項健康指標，定時、定量哺乳、進食，這些都于數學有關，嬰兒一出生就遇到了數學，并在以后的時光里，數學將幫助嬰兒健康成長。隨著幼兒的成長，越來越離不開數學。一旦人開口學說話，大人開始教數“1，2，3，…”，“識數”是人生的第一課。后來逐漸能直觀地識別物體大小、東西的多少，這就有了初步的數量概念，漫漫地大人教他學習畫三角形、正方形和圓等等。當你會到商店買東西，就學會了簡單計算；正是有了這些初步的數量概念，才會有時間概念，知道什么時候看電視、什么時間睡覺，也會記住一些重要的節(jié)日和自己的生日等；也正是有了這些初步的幾何圖形概念和簡單計算能力，才使幼兒逐漸具有了數量、運算、空間、形狀等初始的數學思想意識。不難想象，如果我們人類沒有這些數、量、空間、形狀與關系的思想意識，人類將和其它動物一樣，陷入何等渾噩無知與黑暗之中，那將是非?？膳碌幕煦绲臅r代。事實上，人類的祖先開啟智能的標志之一，就是有了數量和幾何形狀的觀念和意識。當我們進入小學、中學學校學習，開始正式學習數學這門學科，懂得了更為深奧的數學語言和圖形語言。知道了整數、小數、分數、正數、負數、有理數、無理數、實數和復數，明白了相等與不等、方程與函數、有限與無限、數列與極限；懂得了圖形的全等與相似、直線、圓、軸對稱和中心對稱、平移、旋轉、標量、矢量、坐標、正弦曲線、余弦曲線、拋物線、橢圓、雙曲線，多面體、旋轉體，空間曲線和曲面等等。我們也學會了加、減、乘、除、乘方、開方，整式、分式、冪式、根式、方程式、函數式，等式、不等式，排列、組合、二項式展開的運算，學會了幾何作圖、等分、等積變形、分割、展開、放大、縮小、平移、旋轉、反射以及無限細分與無限積累等數學方法。這樣以來我們的大腦里已經裝進了人類數千年長期總結積累的初等數學知識的精粹與思維的模式，使我們的思維方式更科學化了，也就是說，數學訓化了我們的大腦，使我們更聰明睿智了。進入高等教育階段，我們要成為某個學科或技術領域的專門人才，要學習系統(tǒng)的專業(yè)知識和技術，就需要更多、更深入的數學知識。我們要弄懂函數與極限、函數與連續(xù)，函數的導數、微分、不定積分、定積分、曲線積分、曲面積分，拉氏變換和逆變換，級數、傅立葉級