【正文】 。以費(fèi)馬大定理的證明為例，由于它綜合運(yùn)用了包括數(shù)論、代數(shù)幾何、李群和分析等眾多數(shù)學(xué)分支的思想與方法而被喻為“后現(xiàn)代藝術(shù)”。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系有時(shí)呈現(xiàn)出曲折性，數(shù)學(xué)理論往往會(huì)領(lǐng)先發(fā)展，但這常常只是重大應(yīng)用的前奏。在這里把數(shù)學(xué)教育的目的定位于應(yīng)用能力培養(yǎng)，是非常正確的，且最重要的目的是抽象思維能力培養(yǎng)，因?yàn)闀?huì)用抽象的方法解決問(wèn)題，是高超智慧的體現(xiàn)?？墒俏覀儧Q不能下結(jié)論對(duì)所有的自然數(shù)x, 是素?cái)?shù)。經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的情況有了根本的改觀。膾炙人口的例子是：拓?fù)鋵W(xué)(特別是其中的扭結(jié)理論)為解開(kāi)DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)之謎提供了一把鑰匙。數(shù)學(xué)正在向社會(huì)科學(xué)和文化藝術(shù)領(lǐng)域廣泛滲透，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用不同于以往時(shí)代的嶄新趨勢(shì)。因此說(shuō)納什的數(shù)學(xué)研究不僅將改變經(jīng)濟(jì)學(xué)的面貌，而且將影響整個(gè)社會(huì)科學(xué)的未來(lái)，大概不會(huì)過(guò)分。F例如，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)家的參與，就不可能有現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)與龐大的計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)。這樣的例子舉不勝舉。“數(shù)學(xué)：科學(xué)的‘王后’和‘仆人’”是已故美國(guó)科學(xué)院院士貝爾于1951年寫(xiě)的一本書(shū)的書(shū)名，該書(shū)主要是為數(shù)學(xué)圈子以外的人寫(xiě)的，介紹純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，更著重在說(shuō)明數(shù)學(xué)科學(xué)的突出重要性。愛(ài)因斯坦自己也不止一次地說(shuō)過(guò)這一點(diǎn)。經(jīng)過(guò)馬克斯威爾之手，電場(chǎng)理論得到了精確的描述，成為以后所有場(chǎng)論的模式。這些成果為后來(lái)馮 首先，正如馬克思認(rèn)為的“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。一旦數(shù)學(xué)用于技術(shù)，它就能產(chǎn)生系統(tǒng)的、可再現(xiàn)的并能傳授的知識(shí)。現(xiàn)在有點(diǎn)象牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分時(shí)的情況，當(dāng)初微積分還很不嚴(yán)密，但用來(lái)描述、研究各種實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生了許許多多的數(shù)學(xué)模型，有的能求解出來(lái)，就能不同程度地解決問(wèn)題。也有人認(rèn)為現(xiàn)在不需要發(fā)展基礎(chǔ)數(shù)學(xué)了，只要通過(guò)數(shù)學(xué)建模和計(jì)算加上物理的直觀就可以解決問(wèn)題了。2002年美國(guó)科學(xué)基金會(huì)專(zhuān)門(mén)在俄亥俄州立大學(xué)成立了一個(gè)“數(shù)學(xué)生物科學(xué)研究所”。這不僅僅是數(shù)學(xué)研究從其他領(lǐng)域獲得了科研經(jīng)費(fèi)，更重要的是獲得了許多重大的數(shù)學(xué)理論選題。對(duì)于很多先進(jìn)的軟件，甚至計(jì)算器來(lái)說(shuō)，如果沒(méi)有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)，是不可能用好的，或者根本就不會(huì)用。十多年來(lái)，“一次參賽，終身受益”是幾乎所有參賽學(xué)生的共同體會(huì)。數(shù)學(xué)建模、專(zhuān)家給它下的定義是：“通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些‘規(guī)律’建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題（也可稱(chēng)為一個(gè)數(shù)學(xué)模型），求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題，解釋驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決問(wèn)題多次循環(huán)、不斷深化的過(guò)程。參賽者不要求預(yù)先掌握深入的專(zhuān)門(mén)知識(shí)，只需要學(xué)過(guò)普通高樣的數(shù)學(xué)課程；更主要的是要靠參賽者自己動(dòng)腦子，自己查找文獻(xiàn)資料，同隊(duì)成員討論研究，齊心協(xié)力完成答卷。在三天時(shí)間內(nèi)，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計(jì)算方法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，結(jié)果的分析和檢驗(yàn)，模型的改進(jìn)等方面的論文。 數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)的橋梁，是各種應(yīng)用問(wèn)題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題和探索新真理的工具。許多提出的問(wèn)題往往不是數(shù)學(xué)化的，這就是需要建模工作者善于從實(shí)際工作提供的原形中抓住其數(shù)學(xué)本質(zhì)； （2）數(shù)學(xué)語(yǔ)言翻譯能力，即把經(jīng)過(guò)一定抽象和簡(jiǎn)化的實(shí)際用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，形成數(shù)學(xué)模型，并對(duì)數(shù)學(xué)的方法和理論推導(dǎo)或計(jì)算得到的結(jié)果，能用大眾化的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，在此基礎(chǔ)上提出解決某一問(wèn)題的方案或建議； （3）綜合應(yīng)用分析能力。在70年代末和80年代初，英國(guó)著名的劍橋大學(xué)專(zhuān)門(mén)為研究生開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，差不多同時(shí)，歐美一些發(fā)達(dá)國(guó)家開(kāi)始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容列入研究生、大學(xué)生以至中學(xué)生的教學(xué)計(jì)劃中去，并于1983年開(kāi)始舉行兩年一度的“數(shù)學(xué)建模教學(xué)和應(yīng)用國(guó)際會(huì)議”進(jìn)行定期交流。當(dāng)你準(zhǔn)備分期貸款購(gòu)買(mǎi)一所新居時(shí)，面對(duì)五花八門(mén)的還款方式（期限、利率不同，按月或按年償還，…），哪一種最有利。解決分期貸款和計(jì)數(shù)器讀數(shù)那兩個(gè)問(wèn)題，就要建立數(shù)學(xué)模型。近十幾年來(lái)許多學(xué)校相繼設(shè)置的數(shù)學(xué)建模課程，和最近幾年蓬勃開(kāi)展的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，是培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”能力的有益嘗試，受到學(xué)生們的熱烈歡迎和教育界的充分肯定。不僅數(shù)學(xué)本科學(xué)生要掌握最先進(jìn)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，理工、農(nóng)醫(yī)、生物乃至社會(huì)科學(xué)的學(xué)生，也都應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)武裝起來(lái)。當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育的改革勢(shì)在必行。對(duì)于將來(lái)要以數(shù)學(xué)為工具解決各種實(shí)際問(wèn)題的學(xué)生來(lái)說(shuō)，當(dāng)然需要準(zhǔn)確、快捷的計(jì)算和嚴(yán)密的邏輯推理，即要學(xué)好“算數(shù)學(xué)”，但是在計(jì)算、推理之前首先要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述那個(gè)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，之后還要進(jìn)行分析、修正，也就是要會(huì)“用數(shù)學(xué)”。你的照片不是反映你容貌的模型嗎，地圖不是用特定的符號(hào)表示山川、道路的模型嗎。但有一點(diǎn)，知識(shí)在經(jīng)濟(jì)或者社會(huì)發(fā)展當(dāng)中所占的比例是越來(lái)越大，甚至?xí)饹Q定性的作用，而知識(shí)思維的方式，不管是定量的或是定性的描述，都離不開(kāi)數(shù)學(xué)。從教材來(lái)看，有的強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法，有的強(qiáng)調(diào)實(shí)際問(wèn)題，有的強(qiáng)調(diào)分析解決問(wèn)題的過(guò)程；從教學(xué)方式來(lái)看，有的以講為主，有的以練為主，有的在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室中讓學(xué)生探索，有的帶領(lǐng)學(xué)生到企事業(yè)中去合作解決真正的實(shí)際問(wèn)題。因此，從某種意義上講，數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)現(xiàn)代化高科技人才的重要途徑。我們用什么辦法才能讓更多的人，更多的學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)事情呢？數(shù)學(xué)建模是一個(gè)很好的方法。 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)化加工而成，大家可以從這個(gè)網(wǎng)頁(yè)上陸續(xù)看到歷年的賽題，它們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要求不深，一般沒(méi)有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。每年還有不少學(xué)生參加美國(guó)大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，成績(jī)優(yōu)秀，在國(guó)際上產(chǎn)生了很大的影響。我們希望所有的大學(xué)生通過(guò)主干數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能初步了解數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)是怎樣去解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法，有興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步選修數(shù)學(xué)建模的課程，甚至參加大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，親自實(shí)踐一下怎樣用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程。五、數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的意義由教育部和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同舉辦的“大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”宗旨是為了從一個(gè)側(cè)面來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，從而進(jìn)一步推動(dòng)數(shù)學(xué)教育改革。誠(chéng)然，有了計(jì)算機(jī)和軟件，確實(shí)是只要輸入數(shù)據(jù)就能得出結(jié)果，過(guò)程似乎無(wú)關(guān)緊要，這也確實(shí)是常見(jiàn)的事實(shí)?；仡?0世紀(jì)后半葉以來(lái)諸如有限元方法、快速富里埃變換、小波分析、分形、混沌等等領(lǐng)域無(wú)一例外地都是在實(shí)際工作者和數(shù)學(xué)家的合作中迅速發(fā)展起來(lái)的，并且顯示了強(qiáng)大的威力。一百多年以前恩格斯沒(méi)有預(yù)料到，科學(xué)發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域正起著越來(lái)越重要的作用，無(wú)論在生態(tài)學(xué)、生理學(xué)、心理學(xué)，以至DNA和生命科學(xué)的研究中，我們都看到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大生命力。人們看到的正是這種數(shù)學(xué)應(yīng)用大發(fā)展的景象，更確切地說(shuō)是美國(guó)科學(xué)基金會(huì)數(shù)學(xué)部主任在評(píng)論數(shù)學(xué)科學(xué)列為五大創(chuàng)新項(xiàng)目之首時(shí)所說(shuō)的，“該重大創(chuàng)新項(xiàng)目背后的推動(dòng)力就是一切科學(xué)和工程領(lǐng)域的數(shù)學(xué)化。我們僅就計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度來(lái)看，1946年公開(kāi)展示的第一臺(tái)計(jì)算機(jī)電子數(shù)學(xué)積分計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度是每秒符點(diǎn)運(yùn)算5，000次，現(xiàn)在已經(jīng)達(dá)到每秒符點(diǎn)運(yùn)算100億次，據(jù)專(zhuān)家估計(jì)到2010年可達(dá)到一萬(wàn)億次。所有這些充分說(shuō)明了“數(shù)學(xué)的思考方式有著根本的重要性。納什是意義重大的，“這意味著在諾貝爾獎(jiǎng)93年的歷史上，第一次授予了純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的工作。經(jīng)過(guò)他們以及圖靈的研究工作，形成了可計(jì)算性這個(gè)數(shù)學(xué)概念。狄拉克甚至說(shuō)，創(chuàng)建物理理論時(shí)，“不要相信所有的物理概念”，但是要“相信數(shù)學(xué)方案，甚至表面上看去，它與物理學(xué)并無(wú)聯(lián)系。 首先，我們來(lái)回顧一下形成我們現(xiàn)在這個(gè)飛速發(fā)展的信息社會(huì)的所有重大科學(xué)理論在發(fā)展和完善過(guò)程中數(shù)學(xué)所起到的不可或缺的作用。正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這兩方面的特征及相互關(guān)系，對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)的健康發(fā)展至關(guān)重要。值得注意的是，“圖靈機(jī)”的提出完全是為了解決與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有關(guān)的一個(gè)純理論問(wèn)題(可判定性問(wèn)題)。 眾所周知，數(shù)學(xué)是歷次產(chǎn)業(yè)革命的重要推動(dòng)因素。數(shù)學(xué)與藝術(shù)相結(jié)合，正在走進(jìn)千家萬(wàn)戶(hù)。其中如不久前曾來(lái)北京參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)并作了公眾講演的美國(guó)數(shù)學(xué)家J事實(shí)上，像超弦理論這樣的物理學(xué)熱門(mén)分支所用到的數(shù)學(xué)，就涉及微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)幾何、微分幾何、群論、無(wú)窮維代數(shù)、復(fù)分析等等。 至于現(xiàn)代化學(xué)，描述化學(xué)過(guò)程少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程。他指出的科學(xué)技術(shù)十大門(mén)類(lèi)為：自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、數(shù)學(xué)科學(xué)、思維科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、人體科學(xué)、軍事科學(xué)、文藝?yán)碚?、行為科學(xué)、地理科學(xué)）中絕大部門(mén)的素養(yǎng)和訓(xùn)練中，數(shù)學(xué)理論是個(gè)終極的目標(biāo)，這是由于在各個(gè)部門(mén)的有關(guān)現(xiàn)象、規(guī)律和結(jié)論只有用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言才能描繪清楚。它的所有不能是例證和個(gè)別驗(yàn)證，如著名的歌德巴赫猜想，有人用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了幾百萬(wàn)個(gè)素?cái)?shù)都是對(duì)的，但這仍不能算證明了歌德巴赫猜想。值得指出的是，數(shù)學(xué)抽象思維包括了演繹證明、歸納推理、算法構(gòu)思等不同的方面，應(yīng)該是一個(gè)整體的、全面的概念。相反，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。此后，300多年無(wú)人能證明這一定理。20世紀(jì)數(shù)學(xué)更高的抽象化趨勢(shì)，最初主要是受了兩大因素的推動(dòng)，即集合論觀點(diǎn)與公理化方法，二者相互結(jié)合孕育了抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析等新的抽象分支，同時(shí)又引發(fā)了一些傳統(tǒng)數(shù)學(xué)分支(特別如概率論)的革新。全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征。毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)將伴隨人的一生。這使你感到通過(guò)數(shù)學(xué)培養(yǎng)出的能力有了用武之地。知道了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，明白了相等與不等、方程與函數(shù)、有限與無(wú)限、數(shù)列與極限；懂得了圖形的全等與相似、直線、圓、軸對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)、標(biāo)量、矢量、坐標(biāo)、正弦曲線、余弦曲線、拋物線、橢圓、雙曲線，多面體、旋轉(zhuǎn)體，空間曲線和曲面等等。二、數(shù)學(xué)伴隨人的一生從嬰兒出生的第一刻起，父母要記他的出生時(shí)間、醫(yī)生要為他量體重和身長(zhǎng)，還要檢查各項(xiàng)健康指標(biāo)，定時(shí)、定量哺乳、進(jìn)食，這些都于數(shù)學(xué)有關(guān)，嬰兒一出生就遇到了數(shù)學(xué)，并在以后的時(shí)光里，數(shù)學(xué)將幫助嬰兒健康