【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P(A0)+P(A1)+P(A2)。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所有樣本點(diǎn)共有)個(gè)。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類(lèi)似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見(jiàn)事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對(duì)立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。　　〔]某足球隊(duì)在未來(lái)一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)比賽中獲勝概率為1/2，在第二場(chǎng)比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊(duì)在這兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”，i=1，2。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)(4)來(lái)求，即:　　這表明在未來(lái)兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱(chēng)為條件概率，記為P(A|B)。條件概率的計(jì)算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無(wú)條件)概率之商來(lái)計(jì)算，在舉例說(shuō)明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式?！　⌒再|(zhì)6:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個(gè)等式成立要求P(B)0，第二個(gè)等式成立要求P(A)0?！　]設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個(gè)條件概率也可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí):當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對(duì)立事件是不會(huì)發(fā)生了。即中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一?？梢?jiàn)事件B的發(fā)生把原來(lái)的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋?！　☆?lèi)似地，利用這個(gè)解釋?zhuān)傻肞(B|A)=5/15=1/3?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?！　　　‖F(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應(yīng)為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類(lèi)似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲?！　∵@里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計(jì)算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的?！　?2)獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率　　設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴(lài)另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱(chēng)事件A與B相互獨(dú)立?！　⌒再|(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無(wú)條件)概率P(A)。這是因?yàn)?　　　　〔]，如今有三個(gè)標(biāo)本獨(dú)立地在實(shí)驗(yàn)室制作，問(wèn)三個(gè)標(biāo)本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個(gè)實(shí)驗(yàn)室標(biāo)本被污染”，i=1，2，3。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個(gè)概率是很小的。第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布　　一、隨機(jī)變量　　用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量。常用大寫(xiě)字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而它們的取值用相應(yīng)的小寫(xiě)字母x，y，z等表示?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量?jī)H取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱(chēng)此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量。　　假如一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱(chēng)此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量，或連續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是∞，b可以是+∞?！　　　，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值?？捎秒S機(jī)變量X的取值來(lái)表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無(wú)瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過(guò)兩個(gè)”等等。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的。類(lèi)似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車(chē)床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量?！　?2)一臺(tái)電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺(tái)電視機(jī)在開(kāi)箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過(guò)10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過(guò)40000小時(shí)”?！　?3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品。設(shè)X表示檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值的隨機(jī)變量?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。類(lèi)似地，檢驗(yàn)10個(gè)產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個(gè)值的離散隨機(jī)變量。更一般的，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量。　　二、隨機(jī)變量的分布　　隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來(lái)描述。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。　　(2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來(lái)敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類(lèi)隨機(jī)變量是最重要的兩類(lèi)隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的?！　?一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。這些可列在一張表上，清楚地表示出來(lái):　　或用一個(gè)簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)式子表示出來(lái):　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1。滿足這兩個(gè)條件的分布稱(chēng)為離散分布，這一組pi也稱(chēng)為分布的概率函數(shù)。　　例[]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”:　　　　這些隨機(jī)變量X，Y都是各從一個(gè)側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個(gè)隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的，但其分布告訴我們每個(gè)隨機(jī)變量取值概率，使人們不僅對(duì)全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最??；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最小；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個(gè)概率都是非負(fù)的，其和均為1?！　　瞉設(shè)在10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)不合格品，若從中隨機(jī)取出4個(gè)，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機(jī)變量，它僅可取0，1，2等三個(gè)值。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見(jiàn)，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大。　　對(duì)同樣問(wèn)題，若用放回抽樣，則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè)，其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個(gè)值。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計(jì)方法整理出如下分布:　　從這個(gè)分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過(guò)5個(gè)不合格品的概率很小，這兩個(gè)事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機(jī)變量的分布　　連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書(shū)上也記為f(x)。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過(guò)根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很多，分組很細(xì)時(shí)，連接直方圖中每個(gè)矩形上邊中點(diǎn)的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。下面再將上述過(guò)程用另一種形式來(lái)進(jìn)行表述?！　〖俣ㄎ覀円粋€(gè)接一個(gè)地測(cè)量產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值X，把測(cè)量得到的x值一個(gè)接一個(gè)地放在數(shù)軸上。當(dāng)累積到很多x值時(shí)，就形成一定的圖形，為了使這個(gè)圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性值x愈多，這個(gè)圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱(chēng)為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。　　　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處?！　　　∵@里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱(chēng)為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。　　　　〔]考試得分是一個(gè)隨機(jī)變量，下面是三個(gè)不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對(duì)每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請(qǐng)讀者在圖上標(biāo)明)?！　?　　　　地區(qū)(a)?！　〉貐^(qū)(b)?！　〉貐^(qū)(c)?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱(chēng)為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時(shí)間，或發(fā)生故障后需要維修的時(shí)間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計(jì)算:　　順便指出，在計(jì)算面積時(shí)，一條直線的面積為零，譬如在這個(gè)例子中P(T=100)=0，即該推土機(jī)完成維修時(shí)間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個(gè)原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)。連續(xù)隨機(jī)變量這一性質(zhì)普遍成立，它給計(jì)算帶來(lái)方便。類(lèi)似地，該推土機(jī)發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機(jī)發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計(jì)算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%?！　∪?、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　隨機(jī)變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　【涤脕?lái)表示分布的中心位置，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。它的計(jì)算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)?！　》讲钣脕?lái)表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中。方差的計(jì)算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對(duì)方差開(kāi)方，記它的正平方根為σ，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差:　　由于σ與X的單位相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差σ來(lái)表示分布散布大小，但它的計(jì)算還是要通過(guò)先計(jì)算方差，然后開(kāi)方來(lái)獲得?！　　瞉現(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算〔]和〔]中兩個(gè)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。　　在〔]中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。類(lèi)似地可以算得“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)X”的均值為1/3?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘。還可證明，指數(shù)分布的均值E(T)與標(biāo)準(zhǔn)差σ(T)相等。由此可知，推土機(jī)維修