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2025-08-09 20:04上一頁面

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【正文】   ()式中的第二項(xiàng)表示的是對其均值E()差的平方的均值,稱為估計(jì)量的方差。例如二項(xiàng)分布b(n;p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p,因此只要對p進(jìn)行了估計(jì),均值的估計(jì)也就完全解決了。當(dāng)自由度超過30以后,兩者區(qū)別已不大。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)。分布愈分散,樣本也很分散;分布愈集中,樣本也相對集中些。  再來討論樣本,一個(gè)樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體,這n個(gè)樣本觀測值x1,x2,…,xn可以看成為隨機(jī)變量X的n次實(shí)現(xiàn)值?!   ?3)最重要的特征是:若隨機(jī)變量X服從對數(shù)正態(tài)分布,則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布,即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布,經(jīng)對數(shù)變換后,成為正態(tài)分布,或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量?,F(xiàn)從現(xiàn)場得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布,其均值μ=,標(biāo)準(zhǔn)差σ=?!   ‖F(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計(jì)算。根據(jù)u的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(附表11)上查得,例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得  P(U≤)=Φ()=  ,()。  解:按題意知,X服從超幾何分布h(n,N,M),其中N=20,M=5,n=8,r=min(n,M)=5,所求的分布為:  當(dāng)X=0時(shí),可算得:  X=1時(shí),可算得:  類似可算得X=2,3,4,5的概率。從此圖上可以看出分布的形態(tài),哪些x上的概率大,哪些x上的概率小。  (從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的?! 》讲钣脕肀硎痉植嫉纳⒉即笮。肰ar(X)表示,方差大意味著分布的散布較寬、較分散,方差小意味著分布的散布較窄、較集中。    這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”,由于頻率的穩(wěn)定性,可用概率代替頻率,從而縱軸就成為“單位長度上的概率”,這是概率密度的概念,故最后形成的曲線稱為概率密度曲線,它一定位于x軸上方(即p(x)≥0),并且與x軸所夾面積恰好為1。滿足這兩個(gè)條件的分布稱為離散分布,這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)。例如:  (1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù),則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量,它可以取0,1,2,…等值?! ☆愃频?,利用這個(gè)解釋,可得P(B|A)=5/15=1/3。再由性質(zhì)1,立即可得:  P(A3)=1P()=11/8=7/8=  []一批產(chǎn)品共100件,其中5件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件,其中最多有2件不合格品的概率是多少?  解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”,于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:  A=A0∪A1 U A2并且A0,A1,A2為三個(gè)互不相容事件,由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。  于是諸Bm發(fā)生的概率為:  P(B0)==  P(B1)=4=    P(B4)==  可見,在放回抽樣中,B0和B1發(fā)生的可能性最大,而B4發(fā)生的可能性很小,B4在1000次中發(fā)生還不到二次?! 〖偃缃o定N=10,M=2和n=4,下面來計(jì)算諸事件Am的概率:    而A3,A4等都是不可能事件。  (5)組合:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個(gè)組合,此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1,因而  =1?! ?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},它含有4個(gè)樣本點(diǎn),故P(B)=4/36=1/9?!   ?4)事件A對B的差,由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差,記為AB。顯然,對任一事件A,有ΩAφ?! ?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生,若記ω1,ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():  當(dāng)ω1發(fā)生,且ω1∈A(表示ω1在A中),則事件A發(fā)生;  當(dāng)ω2發(fā)生,且ω2A(表示ω2不在A中),則事件A不發(fā)生。(三)樣本變異系數(shù)  樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù),有時(shí)也稱之為相對標(biāo)準(zhǔn)差,記為cv:  ,樣本變異系數(shù)cv=。在本例中第5組(,],是所有組中最高的,因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)?! ∪绻悦拷M的累積頻率Fi為高作矩形,所得的直方圖稱為累積頻率直方圖?! ∶恳唤M的區(qū)間長度,稱為組距。通過對樣本的觀測來對總體特性進(jìn)行研究,是統(tǒng)計(jì)的核心。第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識  上述總體、個(gè)體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念,從上面的敘述中,這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。組距可以相等,也可以不相等。  可以從直方圖獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍,以及它們的集中位置和分散程度等信息。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大。  (3)事件A的表示可用集合,也可用語言,但所用語言應(yīng)是明確無誤的?! ?2)互不相容:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A與B沒有相同的樣本點(diǎn),則稱事件A與B互不相容?!   ?四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量  隨機(jī)事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的。  (3)定義事件C=“點(diǎn)數(shù)之和超過9”={(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)},它含有6個(gè)樣本點(diǎn),故P(C)=6/36 =1/6?! ±纾瑥?0個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn),所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù),則不同取法的種數(shù)為:  這是因?yàn)槿〕龅?個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品,而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的?! ?二)統(tǒng)計(jì)定義  用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:  (1)與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的;  (2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中,事件A發(fā)生kn次,則事件A發(fā)生的頻率為:  頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大?。弧 ?3)頻率fn(A)將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定,這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。余下就是用古典方法算得:Ai的概率?!   ],記事件AX=“烏龜活到X歲”,從表中可以讀出P(A20)=,P(A80)=??捎秒S機(jī)變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”,“X=2”表示事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”,“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個(gè)”等等?! ±齕]擲兩顆骰子,其樣本空間為:    考察與這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:  (1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子,6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”,它的分布列為:    (2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子,點(diǎn)數(shù)之和”:    這些隨機(jī)變量X,Y都是各從一個(gè)側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果,每個(gè)隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的,但其分布告訴我們每個(gè)隨機(jī)變量取值概率,使人們不僅對全局做到心中有數(shù),而且還看到X取哪些值的可能性大,X取哪些值的可能性小,譬如:  X取0可能性最大,X取2的可能性最??;  Y取7的可能性最大,Y取2,12的可能性最??;  這些分布中的概率都可用古典方法獲得,每個(gè)概率都是非負(fù)的,其和均為1。而X在區(qū)間(a,b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下,區(qū)間(a,b)上的面積()。方差的計(jì)算公式為:  方差的量綱是X的量綱的平方,為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同,常對方差開方,記它的正平方根為σ,稱為標(biāo)準(zhǔn)差:  由于σ與X的單位相同,在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差σ來表示分布散布大小,但它的計(jì)算還是要通過先計(jì)算方差,然后開方來獲得?! ☆愃频?,對連續(xù)分布也有類似解釋,(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。假如改變成功概率p,其線條圖亦會(huì)改變?,F(xiàn)把結(jié)果列表如下:    這就是X的分布。    由于直線是沒有面積的,即直線的面積為零,故:  P(U≤)=P(U)=Φ()=  綜合上述,可得如下計(jì)算公式:  P(U≤a)=P(Ua)=Φ(a)  類似的計(jì)算公式還有一些,現(xiàn)羅列如下,圖形可幫助我們理解它。正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)。則其低于下規(guī)范限TL=76kΩ的概率和超過上規(guī)范限TU=84kΩ的概率分別為:  故該電阻器的不合格品率p=pL+pU=。  (4)若記正態(tài)分布的均值為μY,方差為σ2Y,則相應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()  (5)尋求對數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率,經(jīng)過對數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率,如:  P(Xa)=P(lnXlna)  =P(Ylna)  (a)(b)上的兩塊陰影面積?! ∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識總體,即從樣本推斷總體?!   〕闃忧屑筛蓴_,特別是人為干擾。事實(shí)上E()=μ  其中μ,σ2分別為總體X的均值和方差。    (二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布,記為χ2(n1),即:  自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布?! ?shù)估計(jì)有兩種基本形式,即點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。對于無偏估計(jì)量,當(dāng)然方差愈小愈好。只要有可能,應(yīng)該盡可能選用無偏估計(jì)量,或近似無偏估計(jì)量。估計(jì)也可以擴(kuò)展成對分布類型、分布的某些特征數(shù),例如均值、方差甚至對某個(gè)特定事件概率的估計(jì),但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù),因此任何一個(gè)估計(jì)問題都可以化成參數(shù)估計(jì)問題。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的概率密度曲線。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量,因此有時(shí)也記為,也有自己的分布規(guī)律,也可以計(jì)算它的均值、方差等。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣,則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多;而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小),被抽出的樣品就少。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對應(yīng)的,通常用統(tǒng)一的記號,例如X,Y,…等來記。如機(jī)床維修中,大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好,只有少量機(jī)床需要長時(shí)間維修,個(gè)別機(jī)床可能需要更長的修理時(shí)間。4kΩ?!   ?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13?!   ?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,它可用來計(jì)算形如“U≤u”的隨機(jī)事件發(fā)生的概率?! 〕瑤缀畏植糷(n,N,M)的均值、方差分別為:    []一貨船的甲板上放著20個(gè)裝有化學(xué)原料的圓桶,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了,若從中隨機(jī)抽出8桶,并記X為其中被污染的桶數(shù),現(xiàn)要求X的分布。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值,縱軸為其相應(yīng)概率?! 》粗?,若要方差大,則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大,也就是說,有若干個(gè)大偏差xiE(X)發(fā)生的概率大,或者說,遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大,(a)所示。它的計(jì)算公式是:  其中諸xi,pi和p(x)與上一小段中符號含義相同,這里不再重復(fù)。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別,這種差別正是管理層特別關(guān)注之處。這些可列在一張表上,清楚地表示出來:  或用一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式子表示出來:  P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0,p1+p2+…pn=1?!   ,產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性,所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量。這與公式計(jì)算結(jié)果一致,這不是偶然的,任一條件概率都可這樣解釋。A3中所含這樣的樣本點(diǎn)較多,但其對立事件=“拋三枚硬幣,全是反面”={(反,反,反)},只含一個(gè)樣本點(diǎn),從等可能性可知P()=1/8。先計(jì)算:  這是在一次抽樣中,抽出不合格品的概率;  這是在一次抽樣中,抽出合格品的概率。綜合這兩個(gè)不等式,可知m≤min(n,M)=r。假如上述抽取不允許放回,列所得排列數(shù)為10987=5040。  (1)定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1,1)},它只含一個(gè)樣本點(diǎn),故P(A)=1/36?! ∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個(gè)事件上去()。如擲一顆骰子,事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生,故AB。在概率論中常用一個(gè)長方形示意樣本空間Ω,用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A,這類圖形稱為維恩(Venn)圖。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來計(jì)算,特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器,都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大,而且對大的n,也很難確定,有時(shí)也不惟一,此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)。以累積頻率直方圖為例,首先要計(jì)算累積頻率Fi,F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加,也即第1組的F1=f1,第2組的F2=f1+f2,一般的,F(xiàn)i=fj?!   ∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律,組數(shù)不能過多,但也不能太少。抽出來的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本,樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本量。但有時(shí)為了表達(dá)的方便,當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí),也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體,而把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體,把從總體中抽出的由n個(gè)產(chǎn)品的特性值x1,x2,…,xn看做為一個(gè)樣本。組距相等的情況用得比較多,不過也有不少情形在對應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組,使用與其他組不相等的組距。      應(yīng)當(dāng)引起注意的是,如果我們觀測的數(shù)據(jù)量(即樣本量)n很大,而分組又很細(xì),那么從頻率直方圖及累積頻率直方圖可以分別得到一根光滑曲線,關(guān)于這一點(diǎn)我們將在本章第三節(jié)詳細(xì)討論?! ∷?、數(shù)據(jù)分散程度的度量  一組數(shù)據(jù)總是有差別的,對一組質(zhì)量特性數(shù)據(jù),大小的差異反映質(zhì)量的波動(dòng)。第二節(jié)概率基礎(chǔ)知識  (4)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集,這個(gè)最大子集就是Ω,它對應(yīng)的事件稱為必然事件,仍用Ω表示。這時(shí)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,如在電視機(jī)壽命試驗(yàn)里,“電視機(jī)壽命小于1萬小時(shí)”與“電視機(jī)壽命超過4萬小時(shí)”是兩個(gè)互不相容事件,因?yàn)樗鼈儫o相同的樣本點(diǎn),或者說,它們不可能同時(shí)發(fā)生。但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性還是有
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