【正文】 　　矩法估計簡單而實用，所獲得的估計量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。由于均值與方差在統(tǒng)計學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。有效性是判定估計量優(yōu)良性的另一個標(biāo)準(zhǔn)。對于無偏估計量，當(dāng)然方差愈小愈好。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計量，或近似無偏估計量。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時，稱估計量是無偏的。這個量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。當(dāng)然這種平均不能直接進行，因為θ有正有負(fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差。　　對于一個特定的樣本，估計量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。在本教材中，除討論統(tǒng)計量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計量及具體估計值，通稱為估計。根據(jù)這個樣本，構(gòu)造一個統(tǒng)計量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進行估計，稱為θ的估計量?！　?shù)估計有兩種基本形式，即點估計與區(qū)間估計。估計也可以擴展成對分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對某個特定事件概率的估計，但由于這些待估計的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個估計問題都可以化成參數(shù)估計問題。在統(tǒng)計中，估計就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。在質(zhì)量活動和管理實際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。本節(jié)著重討論參數(shù)估計問題。第五節(jié)參數(shù)估計F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個樣本，這兩個樣本相互獨立。　　　　(二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線?！　‘?dāng)σ已知時，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時統(tǒng)計量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計、假設(shè)檢驗和方差分析中將起重要作用。當(dāng)X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴(yán)格正態(tài)的。　　至于的分布，根據(jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。這表明當(dāng)用估計μ時，n愈大，精度就愈高。事實上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差。因此本身也是一個隨機變量，因此有時也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計算它的均值、方差等。　　(二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機抽取的，因此與表示總體的隨機變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計量?！　]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對樣本進行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征。有時為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量?！　　　〕闃忧屑筛蓴_，特別是人為干擾。若是按隨機性和獨立性要求進行抽樣，則機會大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機會少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實際總體。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機樣本。從總體中抽取的每個樣品對其他樣本的抽取無任何影響，假如總體是無限的，獨立性容易實現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時即使總體是有限的，此種抽樣獨立性也可得到基本保證。這只要隨機抽樣就可保證此點實施。總體中每個個體都有相同的機會入樣。　　滿足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識總體，即從樣本推斷總體。因此統(tǒng)計中的總體與概率中的隨機變量是對應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號，例如X，Y，…等來記。　　總體是人們研究對象的全體，它由個體所組成，當(dāng)從總體中隨機抽取一個個體進行觀測時，所得的觀測值隨個體而異，因此總體對應(yīng)于一個隨機變量。　　一、隨機樣本與統(tǒng)計量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個重要的統(tǒng)計概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機變量及其分布的概念。　　這里相互獨立的隨機變量是指一個變量的取值不影響其他變量的取值。它告訴人們:在一定條件下，多個相互獨立隨機變量的平均值(仍然是一個隨機變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時，104小時，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時間的7倍多，可見對數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。　　(4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應(yīng)的對數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率，經(jīng)過對數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積。如機床維修中，大量機床在短時間內(nèi)都可修理好，只有少量機床需要長時間維修，個別機床可能需要更長的修理時間。它們有如下共同特點:　　(1)這些隨機變量都在正半軸(0，∞)上取值。這里“均勻”是指隨機點落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點的機會是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等?！　　　?三)其他連續(xù)分布　　正態(tài)分布是實際中最常用的分布，在質(zhì)量管理中也使用最頻繁，但在實際中還有很多非正態(tài)的連續(xù)分布也很有用，在質(zhì)量管理中最常用的是均勻分布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個分布將在下面介紹。　　[]在正態(tài)分布中心μ與規(guī)范中心(M=(TL+TU)/2)重合時，若規(guī)范限取為μ177?？估瓘姸仁峭筇匦?愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm。則其低于下規(guī)范限TL=76kΩ的概率和超過上規(guī)范限TU=84kΩ的概率分別為:　　故該電阻器的不合格品率p=pL+pU=。4kΩ。　　為了具體說明不合格品率的計算，可看下面的例子?！　∶鞔_了這兩點后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(你記住了嗎?　　〔]產(chǎn)品某個質(zhì)量特性X的不合格品率的計算要知道下列兩件事:　　(1)質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ，σ2)，這是穩(wěn)定過程的概括?！　]設(shè)X～N(10，22)和Y～N(2，)，概率P(8X14)和P(Y)各為多少?　　首先對每個正態(tài)變量經(jīng)過各自的標(biāo)準(zhǔn)化變換得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對任意實數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差。正態(tài)分布計算是基于下面的重要性質(zhì)?！　　　?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13?！　‘?dāng)α，譬如α=，=。用概率的語言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=。　　后一種說法有新意，(u)下的面積分為左右兩塊。對概率等式P(U≤)=，有兩種不同說法:　　(1)?！　　　?5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()。　　(3)Φ(a)=1Φ(a)()。　　　　由于直線是沒有面積的，即直線的面積為零，故:　　P(U≤)=P(U)=Φ()=　　綜合上述，可得如下計算公式:　　P(U≤a)=P(Ua)=Φ(a)　　類似的計算公式還有一些，現(xiàn)羅列如下，圖形可幫助我們理解它?！　　　?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來計算形如“U≤u”的隨機事件發(fā)生的概率。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)。固定均值μ時，不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如σ1σ2，對應(yīng)的正態(tài)曲線的位置相同，但形狀(高低與胖瘦)不同，(b)。質(zhì)量特性X在μ附近取值的機會最大，σ2是正態(tài)分布的方差，0是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機取值的統(tǒng)計規(guī)律性。現(xiàn)把結(jié)果列表如下:　　　　這就是X的分布?！　〕瑤缀畏植糷(n，N，M)的均值、方差分別為:　　　　[]一貨船的甲板上放著20個裝有化學(xué)原料的圓桶，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)有5桶被海水污染了，若從中隨機抽出8桶，并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布?！　≡O(shè)有N個產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個不合格品。　　　　(2)在一個月內(nèi)發(fā)生重大事故超過2起的概率為:　　P(X2)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)　　=1〔P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]　　=1(++)= 這表明。由于取這些值的概率的前三位小數(shù)皆為零，甚至更小，已無多大實際意義，故可不列出，當(dāng)作不可能事件處理?！　倪@些例子可以看出，泊松分布總與計點過程相關(guān)聯(lián)，并且計點是在一定時間內(nèi)、或一定區(qū)域內(nèi)、或一特定單位內(nèi)的前提下進行的，若λ表示某特定單位內(nèi)的平均點數(shù)(λ0)，又令X表示某特定單位內(nèi)出現(xiàn)的點數(shù)，則X取x值的概率為:　　　　這個分布就稱為泊松分布，記為P(λ)，其中e=…　　泊松分布的均值與方差相等，且均為λ，于是有:　　E(X)=λ，Var(X)=λ，σ(X)=　　()　　〔]某大公司一個月內(nèi)發(fā)生重大事故數(shù)X是服從泊松分布的隨機變量，根據(jù)過去事故的記錄，這表明:X服從λ=，現(xiàn)考察如下事件的概率?！　≡趯嶋H中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機變量的概率分布。通過計算可畫出其線條圖((b))，此圖是對稱的，如P(X=2)=P(X=4)=。假如改變成功概率p，其線條圖亦會改變。圖上的橫坐標(biāo)為X的取值，縱軸為其相應(yīng)概率。類似可計算X=0，X=1，…，X=6的概率，計算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　≡谏鲜鏊膫€條件下，設(shè)X表示n次獨立重復(fù)試驗中成功出現(xiàn)的次數(shù)，顯然X是可以取0，1，…，n等n+1個值的離散隨機變量，且它的概率函數(shù)為:　　　　　　二項分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np　　Var(X)=np(1p)　　　　[]在一個制造過程中，如今從成品中隨機取出6個，記X為6個成品中的不合格品數(shù)，則X服從二項分布b(6，)，簡記為X～b(6，)?！　?3)每次試驗僅有兩個可能結(jié)果，例如，正面與反面、合格與不合格、命中與不命中、具有某特性與不具有某特性，以下統(tǒng)稱為“成功”與“失敗”。例如，把一枚硬幣連拋n次，檢驗n個產(chǎn)品的質(zhì)量，對一個目標(biāo)連續(xù)射擊n次等。　　注意:方差的這個性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場合，即對任意兩個相互獨立的隨機變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說，對相互獨立隨機變量來說，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個常用的離散分布，它們是二項分布、泊松分布與超幾何分布?！　?3)設(shè)隨機變量X1與X2獨立(即X1取什么值不影響另一個隨機變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個試驗的獨立性)，則有:　　Var(X1177。　　類似地，對連續(xù)分布也有類似解釋，(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的?！　》粗?，若要方差大，則和式中必有某些乘積項較大，也就是說，有若干個大偏差xiE(X)發(fā)生的概率