【正文】 一顧客在超市中購(gòu)買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一臺(tái)電視機(jī)從開(kāi)始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間”的樣本空間Ω={t:t≥0}；　　“測(cè)量某物理量的誤差”的樣本空間Ω={x:∞x∞}?！　　　碾S機(jī)事件的定義可見(jiàn)，事件有如下幾個(gè)特征:　　(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集?！　?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　?4)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對(duì)應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用Ω表示?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。　　　　[]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”。　　Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋。　　A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；　　B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；　　Ω=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；　　φ=“有三件不合格品”。　　Ω={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示?！　?1)包含:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時(shí)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生。顯然，對(duì)任一事件A，有ΩAφ。這時(shí)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，如在電視機(jī)壽命試驗(yàn)里，“電視機(jī)壽命小于1萬(wàn)小時(shí)”與“電視機(jī)壽命超過(guò)4萬(wàn)小時(shí)”是兩個(gè)互不相容事件，因?yàn)樗鼈儫o(wú)相同的樣本點(diǎn)，或者說(shuō)，它們不可能同時(shí)發(fā)生?！　　　?3)相等:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記為A=B?！　?三)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算有下列四種。可見(jiàn)就是“A不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個(gè)疵點(diǎn)”的對(duì)立事件是“沒(méi)有疵點(diǎn)”。特別，必然事件Ω與不可能事件φ互為對(duì)立事件，即=φ，=Ω。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個(gè)發(fā)生”。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”。　　　　(4)事件A對(duì)B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對(duì)B的差，記為AB。但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性還是有大小之別，是可以設(shè)法度量的。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2?！　?2)某廠試制成功一種新止痛片在未來(lái)市場(chǎng)的占有率是多少呢?市場(chǎng)占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲得更多利潤(rùn)；市場(chǎng)占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會(huì)造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢去貯存與保管。　　上述正面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常見(jiàn)的廢品率、命中率等都是用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義　　確定一個(gè)事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應(yīng)于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計(jì)定義。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同?！　?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9?！　?4)定義事件D=“點(diǎn)數(shù)之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。現(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理。　　例如，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個(gè)班次，火車有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。按乘法原理，此種排列共有n(n1)…(nr+1)個(gè)，記為P＇n。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有n＇個(gè)?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為104?！　?5)組合:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個(gè)組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。這24種排列在組合中只算一種。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這　　個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個(gè)合格品中抽取，這有　　種取法。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有　　種取法；第二步從NM個(gè)合格品中隨機(jī)取出n1個(gè)，共有　　種取法。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從NM個(gè)合格品中隨機(jī)抽取nm個(gè)。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過(guò)取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過(guò)不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來(lái)計(jì)算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件?！　](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣。因此可不論其次序。這時(shí)要講究先后次序，現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問(wèn)題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)。這樣就有M(NM)n1種取法。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個(gè)樣本點(diǎn)?！　〖偃缃o定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場(chǎng)合來(lái)計(jì)算諸Bm的概率。　　于是諸Bm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見(jiàn)，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次。在實(shí)際中人們無(wú)法把一個(gè)試驗(yàn)無(wú)限次地重復(fù)下去、只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似概率。歷史上有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)。也是正面出現(xiàn)的概率?！　?2)在英語(yǔ)中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定?！　　　　　　　∪?、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負(fù)的，其數(shù)值介于0與1之間，即對(duì)任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對(duì)立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個(gè)性質(zhì)稱為概率的加法法則?！　　瞉拋三枚硬幣，至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點(diǎn)共有8個(gè)。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個(gè)互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所有樣本點(diǎn)共有)個(gè)?！　　瞉某足球隊(duì)在未來(lái)一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)比賽中獲勝概率為1/2，在第二場(chǎng)比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊(duì)在這兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”，i=1，2。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)(4)來(lái)求，即:　　這表明在未來(lái)兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。條件概率的計(jì)算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無(wú)條件)概率之商來(lái)計(jì)算，在舉例說(shuō)明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式?！　]設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)。即中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7?！　☆愃频?，利用這個(gè)解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3。　　　　現(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應(yīng)為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?！　∵@里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計(jì)算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的。　　性質(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無(wú)條件)概率P(A)。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個(gè)概率是很小的。第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而它們的取值用相應(yīng)的小寫字母x，y，z等表示?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量，或連續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是∞，b可以是+∞。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量?！　?3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。更一般的，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值?！　?一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。滿足這兩個(gè)條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)。　　〔]設(shè)在10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)不合格品，若從中隨機(jī)取出4個(gè)，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機(jī)變量，它僅可取0，1，2等三個(gè)值?！　?duì)同樣問(wèn)題，若用放回抽樣，則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè)，其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個(gè)值。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過(guò)根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。下面再將上述過(guò)程用另一種形式來(lái)進(jìn)行表述。當(dāng)累積到很多x值時(shí)，就形成一定的圖形，為了使這個(gè)圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性值x愈多，這個(gè)圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線?！　　　「怕拭芏群瘮?shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同?！　　　∵@里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1?！　　　　瞉考試得分是一個(gè)隨機(jī)變量，下面是三個(gè)不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()?！　?　　　　地區(qū)(a)?！　〉貐^(qū)(c)。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時(shí)間，或發(fā)生故障后需要維修的時(shí)間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)。連續(xù)隨機(jī)變量這一性質(zhì)普遍成立，它給計(jì)算帶來(lái)方便。　　三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　隨機(jī)變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小。對(duì)于絕大多數(shù)的