6投資組合有效邊界計算(編輯修改稿)
2025-07-25 10:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 評估可行集中的所有投資組合，只分析任意給定風險水平有最大的預期回報或任意給定預期回報有最小風險的投資組合，滿足這兩個條件的投資組合集合叫做投資組合的有效邊界(集合)[efficient frontier(set)]。給定一個證券投資組合X，它的預期收益率和標準差確定了一個點對，當這個證券組合的權(quán)重發(fā)生變化時，我們得到一條曲線我們將其稱為組合線。組合線上的每一點，表示一個權(quán)數(shù)不同的證券組合。因此組合線告訴我們的預期收益率與風險怎樣隨著證券組合權(quán)重的變化而變化。在上一章里，我們給出了單個證券或證券組合的預期收益率和投資組合風險的度量。上面我們又分析了在給定證券的條件下，如何決定其證券投資組合。然而當投資者用一定資本進行證券投資時，他追求的投資目標是高收益低風險，那么如何在眾多的證券中建立起一個高收益低風險的證券組合呢？下面我們討論這個問題。給定一組不同的單個證券，我們可以用它們構(gòu)造不同的證券組合，這樣，每個證券或證券組合我們稱為一個投資機會，全部投資機會的集合，稱為機會集合。對機會集合中的每一個元素X，我們用它的預期收益率和風險來描述它的實績，因此每一個機會X都對應了數(shù)組（，）或（，），這樣機會集合可以用預期收益率標準差（方差）二維空間的一個集合表示。對于一個聰明理智的投資者來說，如果給定風險水平或者說標準差，他喜歡預期收益率高的投資機會；如果給定預期收益率水平，他喜歡風險低的投資機會。于是我們定義如下的最小方差集合：機會集合中的一個證券投資組合，如果具有沒有其他的證券組合在與之相同的預期收益率水平下能達到更小的風險（標準差）的性質(zhì)，則我們稱它為最小方差證券組合。最小方差證券組合的全體，我們稱為最小方差集合。顯然，最小方差集合是機會集合的子集，是由證券組合的組合線上具有最小風險的證券組合的包絡線組成。由于投資者所面臨的投資條件不同，受到的投資約束不同，最小方差集合的形狀也不同，因此最小方差集合的確定依賴于不同的約束條件。下面我們來尋求最小方差集合，為此考慮一個組合X，它由n個證券組成，每個證券的預期收益率為，方差記為，證券之間的協(xié)方差記為，i、j=1，2，…，n。于是證券組合的收益率和風險可以表示成在給定預期收益率之下，如何選擇證券組合的權(quán)重，使證券組合X具有最小方差呢？記，為確定最小方差集合，我們考慮如下優(yōu)化模型，即一般的馬柯維茨模型，引入拉格朗日乘子來解決這一規(guī)劃問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下：上式左右對進行求導，即一階條件為0。首先討論兩個變量的情況，然后推廣到n個變量的情況。因此令上兩式等于0，考慮到以上兩等式與兩個約束條件的等式聯(lián)立，可以解出。一般地，對于均值為的有效投資組合（允許賣空），其n個投資組合權(quán)數(shù)與兩個拉格朗日乘數(shù)滿足： （1） （2） （3）（1）有n個方程，加上（2）與（3），一共得到n+2個方程組成的方差組，相應地有n+2個未知量。注意到所有n+2個方程都是線性的，因此可以通過線性代數(shù)方法加以解決。例：假設有三項不相關(guān)的資產(chǎn)。每一資產(chǎn)的均值分別為1，2，3。方差都為1。根據(jù)（1）、（2）、（3），我們有：由上面三個方程解出，并將其代入下面兩個方程，得到：解得，將其代入上面三式，得到：將代入標準差，有：當時，我們有上述分析假設允許資產(chǎn)賣空，如果不允許賣空，則可行集將縮小。，這是一個等式約束的極值問題，我們可以構(gòu)造Lagrange函數(shù)：1）其中，1是分量均為1的列向量，為Lagrange乘數(shù)。根據(jù)Lagrange乘數(shù)法應有使在X0處有1=0 （317）=0 （318）1=0 （319）（317）式左乘XT得 （320）又由（317）得1 （321）（321）分別左乘1T和eT得1=1TV1e+1T V11 （322）E（rX）=
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