趙樹(shù)源線性代數(shù)習(xí)題四(b)題目和答案(編輯修改稿)
2025-07-25 06:36 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 但由上面4題知，與不相似。與有相同的特征多項(xiàng)式，是與相似的充分但不必要條件。如與矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，但由上面4題知，與不相似。矩陣與相似的充分必要條件是“階矩陣與有相同的特征值且個(gè)特征值互不相同”。6．設(shè)，為階矩陣，且與相似，則[ ]。與有相同的特征值和特征向量與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣對(duì)任意常數(shù)，與相似【解】應(yīng)選擇答案。因?yàn)椋骸珪r(shí)，不一定有。如～，但，對(duì)比可見(jiàn)。與相似，有可逆陣，使，亦即，與相似則有相同的特征值。于是可設(shè)與有相同的特征值，并設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量為，即應(yīng)有，于是在等號(hào)兩端左乘，得，由于本小題的第一步所得的，上式因此變化為，這說(shuō)明對(duì)應(yīng)于的特征向量為，而與未必相等，即說(shuō)明與對(duì)應(yīng)于相同的特征值未必有相同的特征向量。由課本P183頁(yè)末知，與約當(dāng)矩陣相似，而由課本P180頁(yè)末又知，不存在相似的對(duì)角矩陣，因此，與相似，則與都相似于一個(gè)對(duì)角矩陣的判斷未必正確。綜上知，正確。事實(shí)上：由于與相似，有可逆陣，使，于是，對(duì)任意常數(shù)，亦即為 ，這說(shuō)明與相似。7．設(shè)三階矩陣有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則[ ]。
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