【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。 我們知道，圖像增強(qiáng)的拉普拉斯算子,它具有突出邊緣的作用，則恢復(fù)了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復(fù)時(shí)可將其作為約束?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何將其表示成的形式，以便使用式(253)。在離散情況下，拉普拉斯算子可用式（253）的差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)： （253）利用與式（254）的模板算子進(jìn)行卷積可實(shí)現(xiàn)式（253）的運(yùn)算： (254)在離散卷積的過(guò)程中，可利用延伸和來(lái)避免交疊誤差。延伸后的函數(shù)為。建立分塊循環(huán)矩陣，將平滑準(zhǔn)則表示為矩陣形式（255）： (255)式(255)中每個(gè)子矩陣 是的第行組成的循環(huán)矩陣。即如式（256）表示： (256)根據(jù)循環(huán)矩陣的對(duì)角化可知，可利用前述的矩陣進(jìn)行對(duì)角化，即 （257） (257)式中，為對(duì)角矩陣，其元素為（258） (258)則，兩邊同乘以，得 （259） (259)式中，為的共軛矩陣。所以有（260）： (260)式中，而且。本濾波器也稱(chēng)為最小平方濾波器。維納濾波法是由Wiener首先提出的，應(yīng)用于一維信號(hào)處理，取得了很好的效果。之后，維納濾波法被用于二維信號(hào)處理，也取得了不錯(cuò)的效果，尤其在圖像復(fù)原領(lǐng)域，由于維納濾波計(jì)算量小，復(fù)原效果好，從而得到了廣泛的應(yīng)用和發(fā)展[8]。維納濾波器尋找一個(gè)使統(tǒng)計(jì)誤差函數(shù)達(dá)到最小的準(zhǔn)則函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像復(fù)原的。 (261)式（261）中，E表示數(shù)學(xué)期望。設(shè)和分別是f和n的自相關(guān)矩陣，定義如（262）：= (262)= (263)根據(jù)上述定義可知，和均為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。在大多數(shù)實(shí)際圖像中，相近像素點(diǎn)是高度相關(guān)的，而距離教遠(yuǎn)的像素點(diǎn)的相關(guān)性則相對(duì)較弱。通常情況下，無(wú)論是f還是n，其元素之間的相關(guān)不會(huì)延伸到2030個(gè)像素的距離之外，因此。一般來(lái)說(shuō)，自相關(guān)矩陣和在主對(duì)角線附近有一個(gè)非零元素區(qū)域，而矩陣的右上角和左上角的區(qū)域內(nèi)將接近零值。如果像素之間的相關(guān)是像素距離的函數(shù)，而不是像素位置的函數(shù)，則可將和近似分為線循環(huán)矩陣。因而，用循環(huán)矩陣的對(duì)角化，可寫(xiě)成如（264）形式： (264) (265)W為MNMN矩陣，包含MM個(gè)NN子矩陣。以W(i，m)表示W(wǎng)的i和m列分塊矩陣，則（266） (266)其中， i，m=0，1,2，M—1， 是NN矩陣，以W（k，n）表示k行n列元素，則有 k，n=0,1,2，M—1 (267)矩陣A，B的元素分別為矩陣和中的自相關(guān)元素的傅里葉變換，這些自相關(guān)的傅里葉變換分別定義為和的譜密度和。則（268） (268)第3章 維納濾波實(shí)現(xiàn)退化圖像的復(fù)原 維納濾波的基本原理維納(Wiener)濾波是用來(lái)解決從噪聲中提取信號(hào)問(wèn)題的一種濾波的方法。實(shí)際上這種線性濾波問(wèn)題，可以看成是一種估計(jì)問(wèn)題或一種線性估計(jì)問(wèn)題。一個(gè)線性系統(tǒng)，如果它的單位樣本響應(yīng)為，當(dāng)輸入一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，且（31） (31) 其中表示信號(hào)，表示噪聲，則輸出為（32） (32) 我們希望通過(guò)線性系統(tǒng)后得到的盡量接近于,因此稱(chēng)為的估計(jì)值，用表示，即（33） (33)h（n）=+ 維納濾波器的輸入一輸出關(guān)系。這個(gè)線性系統(tǒng)稱(chēng)為對(duì)于的一種估計(jì)器。實(shí)際上，式(33)的卷積形式可以理解為從當(dāng)前和過(guò)去的觀察值來(lái)估計(jì)信號(hào)的當(dāng)前值。因此，用進(jìn)行過(guò)濾的問(wèn)題可以看成是一個(gè)估計(jì)問(wèn)題。由于我們現(xiàn)在涉及的信號(hào)是隨機(jī)信號(hào)，所以這樣一種過(guò)濾問(wèn)題實(shí)際上是一種統(tǒng)計(jì)估計(jì)問(wèn)題。一般，從當(dāng)前的和過(guò)去的觀察值估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值稱(chēng)為過(guò)濾或?yàn)V波。從過(guò)去的觀察值，估計(jì)當(dāng)前的或?qū)?lái)的信號(hào)值 稱(chēng)為預(yù)測(cè)或外推。從過(guò)去的觀察值，估計(jì)過(guò)去的信號(hào)值稱(chēng)為平滑或內(nèi)插。因此維納過(guò)濾又常常被稱(chēng)為最佳線性過(guò)濾與預(yù)測(cè)或線性最優(yōu)估計(jì)。這里所謂最佳與最優(yōu)是以最小均方誤差為準(zhǔn)則的。這里只討論過(guò)濾與預(yù)測(cè)問(wèn)題。如果我們以:與分別表示信號(hào)的真值與估計(jì)值，而用表示它們之間的誤差，即（34） (34)顯然，可能是正的，也可能是負(fù)的，并且它是一個(gè)隨機(jī)變量。因此，用它的均方值來(lái)表達(dá)誤差是合理的，所謂均方誤差最小即它的平方的統(tǒng)計(jì)平均值最小如（35）: (35)采用最小均方誤差準(zhǔn)則作為最佳過(guò)濾準(zhǔn)則的原因還在于它的理論分析比較簡(jiǎn)單，不要求對(duì)概率的描述。并且在這種準(zhǔn)則下導(dǎo)出的最佳線性系統(tǒng)對(duì)其它很廣泛一類(lèi)準(zhǔn)則而言也是最佳的。 運(yùn)動(dòng)模糊參數(shù)的確定1. 算法理論分析假設(shè)快門(mén)的開(kāi)啟和關(guān)閉所用時(shí)間非常短，那么光學(xué)成像過(guò)程不會(huì)受到運(yùn)動(dòng)的干擾，圖像也不會(huì)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)模糊退化現(xiàn)象。如果設(shè)T為曝光時(shí)間，則運(yùn)動(dòng)模糊退化模型為（36） （36）式（36）中：g（x，y）表示模糊退化圖像，f（x，y）表示原始圖像。n（x，y）表示噪聲。首先考慮沒(méi)有噪聲的情況，對(duì)式(36)進(jìn)行傅里葉變換得（37） （37） （38）式（38）中： H(u，v)表示退化圖像的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(PSF)[10]。假設(shè)當(dāng)前圖像做勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)模糊退化函數(shù)由式(38)變換為（39）： （39）由于圖像在PC機(jī)上存儲(chǔ)為離散形式，需要將上述傳遞函數(shù)表示為離散表達(dá)式，設(shè)圖像尺寸為MN，由二維離散傅里葉變換的公式得（310）: （310）其中，u取值為0到M1，（311） （311）當(dāng)n為其它整數(shù)值時(shí)，H（u，v）=0，從而G（u，v）=，G（u，v）的圖像在非零整數(shù)的線上顯示為黑色條紋(黑色表示最小灰度，白色表示最大灰度)。如果 M，N為素?cái)?shù)，雖然u，v在各自取值范圍內(nèi)無(wú)法為非零正整數(shù)，但對(duì)于一般圖像其頻譜圖依然會(huì)呈現(xiàn)規(guī)則的明暗條紋狀[12]。這是由于sinπ為周期函數(shù)，它在自己的前后兩個(gè)半周期內(nèi)呈現(xiàn)明顯的遞減和遞增特性，從而也形成規(guī)則的明暗條紋。容易證明，退化圖像頻譜中條紋傾斜角度即為直線斜率所對(duì)應(yīng)角度，可用公式表示為（312）: (312) (313)默認(rèn)圖像頻譜暗條紋方向與運(yùn)動(dòng)模糊的方向相垂直，由式(313)可以看出，僅當(dāng)N =M 時(shí)，條紋角度與模糊角度是垂直的，但當(dāng)所處理圖片長(zhǎng)和寬不相等時(shí)，簡(jiǎn)單認(rèn)為模糊角度和條紋傾斜角度垂直是不準(zhǔn)確的。而如果對(duì)圖片進(jìn)行不當(dāng)?shù)牟眉魰?huì)破壞原始圖像信息，尤其對(duì)于抓拍到的高速車(chē)輛圖像，其背景靜止而只有車(chē)輛運(yùn)動(dòng)，原始像素信息會(huì)的到較好的保留，如強(qiáng)行將圖片修剪為正方形會(huì)對(duì)模糊參數(shù)的檢測(cè)帶來(lái)不利影響。而根據(jù)式(313)，對(duì)任意尺寸的圖像，一旦檢測(cè)出退化圖像頻譜條紋角度，就可以有效的確定運(yùn)動(dòng)模糊角度[12]。 對(duì)圖像頻譜處理過(guò)程中，通常將圖像通過(guò)循環(huán)移位方式把u=0，v=0 移到中心位置，由點(diǎn)到直線的距離公式，中心點(diǎn)(0,0)到直線的距離d為（314） (314)由對(duì)稱(chēng)性，圖像中心兩個(gè)暗條紋之間的間距D=2d，設(shè)圖像的模糊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則。令M=N，得（315） （315）由式(316)可得模糊長(zhǎng)度為（317） （316）（316）僅考慮了x 軸方向運(yùn)動(dòng)模糊的情況，并得出，其中N為圖像寬度d為非中心兩個(gè)暗條紋間距。公式 無(wú)法簡(jiǎn)單的推廣到任意運(yùn)動(dòng)方向模糊的情況中去?？梢缘贸觯?dāng)被處理圖片為長(zhǎng)寬相等時(shí)，=1，模糊長(zhǎng)度和中心暗條紋間距為簡(jiǎn)單的反比關(guān)系，但當(dāng)所處理圖片長(zhǎng)寬不相等時(shí)，只能用式（316）來(lái)確定模糊長(zhǎng)度[1]。2 .算法實(shí)現(xiàn)對(duì)于二維函數(shù) f（x，y），Radon 變換計(jì)算它在某一指定角度射線方向的投影變換，即它在確定方向上的線積分。首先對(duì)得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化預(yù)處理，理論上當(dāng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)到與條紋方向相垂直時(shí)，Radon 變換的最大值為各角度Radon變換最大值中的極大值，這樣通過(guò)尋找這個(gè)極大值就可以確定暗條紋傾斜角度。而在這個(gè)角度進(jìn)行Radon變換得到的二維變換圖像中的主瓣寬度則對(duì)應(yīng)頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋寬度，其旁瓣對(duì)應(yīng)相應(yīng)位置相鄰暗條紋間距[2]。 像素的圖像頻譜二值化后在垂直于其暗條紋方向的軸得到的Radon變換投影圖像，其縱軸為像素灰度累加和，橫軸為圖像寬度單位為像素。圖中主瓣寬度即為頻譜圖像中的中心相鄰暗條紋間距D。圖 退化圖像 Radon 變換投影由于電腦所處理圖像為數(shù)字圖像，這樣對(duì)相鄰暗條紋間距的進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，會(huì)存在最大1個(gè)像素的絕對(duì)誤差。由公式知，當(dāng)出現(xiàn)這種最?lèi)毫忧闆r時(shí)，檢測(cè)長(zhǎng)度產(chǎn)生的絕對(duì)誤差為1/D，可以通過(guò)檢測(cè)多個(gè)暗條紋之間的總的間距，然后取條紋間距的平均值來(lái)減少絕對(duì)誤差。但是由于因子的衰減作用，對(duì)于不是特別高清晰度的普通分辨率小圖片，即使當(dāng)較小的噪聲作用與圖像時(shí)，其頻譜圖像中，除中心暗條紋依然清晰可見(jiàn)外，其它暗條紋已經(jīng)模糊不清。即檢測(cè)多個(gè)暗條紋間距，并取平均值的方法缺乏對(duì)噪聲的抵抗性。因此本算法只檢測(cè)頻譜圖像中心暗條紋間距來(lái)進(jìn)行模糊長(zhǎng)度的檢測(cè)?；谏鲜隼碚摲治?設(shè)計(jì)出檢測(cè)運(yùn)動(dòng)模糊角度和長(zhǎng)度的方法，并實(shí)現(xiàn)對(duì)退化圖像的自動(dòng)恢復(fù)；(1) 計(jì)算|G（u，v）|，轉(zhuǎn)化為log(|G（u，v）|)，并且移位使u =0，v=0 位于中心位置；(2) 對(duì)得到的頻譜圖像進(jìn)行二值化處理；(3) 對(duì)移位后的log(|G（u，v）|)進(jìn)行Radon變換，找出變換最大值對(duì)應(yīng)的角度a，在尋找a 的過(guò)程中可以使用二分法提高檢測(cè)效率；(4) 由式(312)求出模糊角度檢測(cè)值；(5) 根據(jù)在方向的 Radon 變換值檢測(cè)頻譜中心暗條紋間距；(6) 根據(jù)式(316)得出模糊長(zhǎng)度 L檢測(cè)值；(7) 用檢測(cè)出的模糊角度和模糊長(zhǎng)度構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)；(8) 運(yùn)用維納濾波法對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)；(9) 對(duì)恢復(fù)圖像進(jìn)行處理，去除振鈴效應(yīng)。3 .實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析。這對(duì)使用Radon算法檢測(cè)模糊角度產(chǎn)生了較大影響，進(jìn)而影響了模糊長(zhǎng)度的檢測(cè)。在這種情況下，可以在檢測(cè)出的角度周?chē)》秶鷥?nèi)，對(duì)各個(gè)角度Radon變換投影主瓣進(jìn)行積分，并采用積分值為最大時(shí)的角度為模糊角度。經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)驗(yàn)證，此方法可以將暗條紋角度檢測(cè)的誤差控制在1176。以內(nèi)，進(jìn)而可以比較精確地檢測(cè)出中心暗條紋間距。這樣，使用本文方法檢測(cè)出的模糊參數(shù)構(gòu)造點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，來(lái)恢復(fù)退化圖像可以取得很好的效果。圖 退化圖像二值化后頻譜（WienerHopf）方程設(shè)計(jì)維納濾波器的過(guò)程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位脈沖響應(yīng)或傳遞函數(shù)的表達(dá)式，其實(shí)質(zhì)就是解維納霍夫（WienerHopf）方程。我們從時(shí)域入手求最小均方誤差下的,用表示最佳線性濾波器。這里只討論因果可實(shí)現(xiàn)濾波器的設(shè)計(jì)。因果的維納濾波器,設(shè)是物理可實(shí)現(xiàn)的，也即是因果序列：, 當(dāng)，因此，可推導(dǎo)出（317）： (317) (318)要使得均方誤差最小，則將式（318）對(duì)各,求偏導(dǎo)，并且等于零，得（319） (319)即（320） (320)用相關(guān)函數(shù)來(lái)表達(dá)上式，則得到維納霍夫方程的離散形式（321）： (321)由式(321)進(jìn)一步化簡(jiǎn)得（322）： (322)有限脈沖響應(yīng)法求解維納—霍夫方程。 如何去求解維納—霍夫方程，即式(322)中解的問(wèn)題，設(shè)是一個(gè)因果序列且可以用有限長(zhǎng)（點(diǎn)長(zhǎng)）的序列去逼進(jìn)它，則(321)～(322)分別發(fā)生變化： (323) (324) (325) (326) (327)其中。于是得到個(gè)線性方程,寫(xiě)成矩陣形式有（328）： (328) (329) (330)用有限長(zhǎng)的來(lái)實(shí)現(xiàn)維納濾波時(shí)，當(dāng)已知觀測(cè)值的自相關(guān)和信號(hào)的互相關(guān)時(shí)就可以按照式(330)在時(shí)域里求解。但是當(dāng)N比較大時(shí)，計(jì)算量很大，并且涉及到求自相關(guān)矩陣的逆矩陣問(wèn)題。 維納濾波仿真實(shí)現(xiàn) K參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)模糊圖像復(fù)原的影響眾所周知，維娜濾波器是給出與原圖像的平均二乘誤差為最小的圖像的恢復(fù)作用因子。因此，確定K參數(shù)公式推導(dǎo)如下：因?yàn)榕c原圖像f和噪聲z無(wú)關(guān)，所以無(wú)論f或者z中的哪一個(gè)的平均值為零時(shí)，式（331）成立：