【文章內(nèi)容簡介】 電的本身屬性導(dǎo)致的。如電流的形成，它是自由電子的定向運(yùn)動的產(chǎn)物。因?yàn)檫@些電子的運(yùn)動方向是不同的，所以產(chǎn)生隨機(jī)顆粒噪聲，還有熱噪聲、光量子噪聲等。如各類插頭的抖動，從而導(dǎo)致電流發(fā)生改變引起的噪聲等；磁盤、磁頭、磁帶等抖動或是它們同時抖動等。如光學(xué)器件的正、負(fù)片的表面微粒本身特性和轉(zhuǎn)盤表面的不平滑所引起的噪聲等。這一些噪聲有希望不間斷的降低干擾，但對于現(xiàn)在的科技來說，仍然避免不了的。如輸入交流電流時產(chǎn)生的噪聲等。從噪聲的分類可以看出，噪聲是多種多樣的。但以統(tǒng)計學(xué)的角度來看，只要噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)不因時間的變化而變化就叫做平穩(wěn)噪聲，相反，就叫做非平穩(wěn)噪聲。一開始的噪聲導(dǎo)致圖像的幅運(yùn)動模糊以及它的恢復(fù)，然后到展示它的分布，從它們的統(tǒng)計性質(zhì)可以得出，它的密度函數(shù)有高斯分布的，也有瑞利分布的，分別叫做高斯噪聲和瑞利噪聲。高斯噪聲的概率密度函數(shù)的定義為[14]： （31）其中：代表灰度級，代表的期望，代表的標(biāo)準(zhǔn)差。代表的方差。當(dāng)服從上式的概率分布時，它的值有百分之七十落在的范圍內(nèi)，且有百分之九十五落在的范圍內(nèi)[14]。瑞利噪聲的概率密度函數(shù)的定義如下[14]： （32）均值為:,方差為:根據(jù)對信號的干擾程度又可分為加性噪聲和乘性兩種模型[14]。設(shè)為輸入信號，為干擾噪聲信號，影響信號后的輸出信號為。 （33）該波形的形狀是噪聲和信號的疊加的結(jié)果，其顯著的特點(diǎn)是噪聲和輸出信號無關(guān)，如常用的電子線性濾波放大器，不管輸入是大信號還是小信號，輸出總是與噪聲進(jìn)行疊加。[14] （34）它的輸出信號是兩種不同信號項(xiàng)的疊加，第二項(xiàng)的信號項(xiàng)大小由的值決定。的值越大，那么第二項(xiàng)的值越大，也就是噪聲項(xiàng)受到輸入信號的調(diào)制。如光電子產(chǎn)生的噪聲、光學(xué)底片的顆粒噪聲等，都伴隨著信號增大而增大。乘性噪聲模型以及其剖析運(yùn)算過程相當(dāng)?shù)凝嫶?，常用的解決辦法是當(dāng)變化的幅度不是很大時，第二項(xiàng)把它看作是不改變的，這時能采用加性噪聲模型進(jìn)行處理。并且我們假定信號與噪聲之間是彼此不相關(guān)的。要想使圖形復(fù)原，一定得了解與退化現(xiàn)象相關(guān)的一些知識(不管是先檢驗(yàn)的還是后檢驗(yàn)的)，接著用相反的過程去除它，這就需要了解并分析產(chǎn)生圖形退化的原理，建立出退化圖像的數(shù)學(xué)模型。有些因素單單影響圖形中一些特殊點(diǎn)的灰度值，而有些因素則是可以讓圖形的空間范疇變得不清晰。前一種退化稱為點(diǎn)退化，后一種退化則稱為空間退化[14]。在一個圖像系統(tǒng)中有著許多的退化因素，而且它們的機(jī)理也很復(fù)雜，所以建立一個完善的數(shù)學(xué)模型是比較復(fù)雜和艱巨的。但是在我們接觸到的許多實(shí)例里，我們把退化因子看作是線性體系退化的一個因素，繼而建立出退化的數(shù)學(xué)模型近似的把圖形函數(shù)的退化狀態(tài)表示出來。，這是簡易的一個圖像退化模型，在這種模式中，把退化模型轉(zhuǎn)化為在輸入圖像的一個作用函數(shù),它是一個系統(tǒng)函數(shù)，與一個噪聲項(xiàng)的共同作用使圖像發(fā)生退化，該函數(shù)記為[1]。我們可以把它們用下面的形式來表示[14]。 （35）式中為退化系統(tǒng) 圖像退化模型如果我們不想把的因素放進(jìn)去，則，那么有[14] （36）假設(shè)，為常數(shù)，則有，則退化統(tǒng)具有以下幾個性質(zhì)[14]:(l)齊次性 （37）也就是系統(tǒng)函數(shù)對常數(shù)和圖像之積所作的響應(yīng)與常數(shù)與這個圖像所作的響應(yīng)之積相等。(2)疊加性 （38） 即是系統(tǒng)函數(shù)對兩幅圖像之和作出的響應(yīng)與它對兩個圖像作出響應(yīng)的和相等。(3)線性同時擁有上面兩種性質(zhì)的系統(tǒng)就叫做線性系統(tǒng)。則有[14] （39）不滿足齊次性或者疊加性條件的系統(tǒng)就是非線性系統(tǒng)?？梢钥闯?，這種系統(tǒng)在很多激勵狀態(tài)下為響應(yīng)的解答提供了有利條件。(4)空間(位置)不變性 （310）上式中的和b分別代表空間位置的偏移量。這很好的解釋了圖像上的任意一點(diǎn)通過這種體系作出的響應(yīng)僅僅由該點(diǎn)的灰度值大小決定，并且跟它所在的地方不相關(guān)[14]。由以上的幾個基本定義可知，若一個系統(tǒng)具有滿足(310)的關(guān)系式，那么這個系統(tǒng)就是線性空間不變的系統(tǒng)。在圖像恢復(fù)的過程中，非線性以及空間域的數(shù)學(xué)模型都有普遍性、準(zhǔn)確性，但它仍然使圖像處理工作帶來巨大的麻煩，一般是無解或者很難運(yùn)用計算機(jī)進(jìn)行處理。所以在恢復(fù)處理的過程中，通常采用線性和位置不變性這兩種模型對圖像近似的加以恢復(fù)。這樣做的好處是可以直接利用線性體系中的諸多原理和方法解決掉圖像復(fù)原所碰到的題。因此，復(fù)原處理中常用的技術(shù)是線性或者位置不變性技術(shù)。連續(xù)圖像，即所處的方位和畫面顯現(xiàn)的質(zhì)量皆為均勻且持續(xù)變化的圖像[14]。在用線性運(yùn)算對圖像進(jìn)行分析的過程中，經(jīng)常用到點(diǎn)源這一概念。事實(shí)上，圖像我們能夠把它看作是無限個微小像素的一個集合，并且這些像素都能看成是點(diǎn)源。在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，點(diǎn)源可以用狄拉克斯函數(shù)進(jìn)行表示，可以得到二維狄拉克斯函數(shù)的定義為[14] (311)假如這種函數(shù)的單位沖激信號在軸和軸上有偏移量和，那么式（311）變成[14] (312)由于擁有取樣的性質(zhì)。把兩面的兩個式子進(jìn)行分析，很容易得到[14] （313）另外，任意的二維信號和卷積的結(jié)果等于該二維信號本身，即 （314）而和的卷積也應(yīng)該等于二維信號發(fā)生對應(yīng)的位移后的結(jié)果，即[14] (315)根據(jù)二維卷積的定義，有 (316) 把該模型中的當(dāng)作是是線性位置不變來考慮，因此，通過線性系統(tǒng)的有關(guān)原理知識，的作用可用單它的單位沖激響應(yīng)進(jìn)行表征，即[14] (317)然而，線性位置不變系統(tǒng)對任意的響應(yīng)跟該信號與單位沖激響應(yīng)的卷積相等。即[14] (318)假使不考慮加性噪聲存在的情況，上述退化模型的響應(yīng)的表達(dá)式為[14] (319)由于系統(tǒng)是位置不變系統(tǒng)，那么它對移位信號的響應(yīng)可以表示為 (320)如果加性噪聲存在的狀態(tài)下，上述的模型變?yōu)閇14] (321)簡化后得 (322) 在以上的情形中，我們假定噪聲跟圖像所處的方位不相關(guān)。式(319)以及式(321)皆是連續(xù)函數(shù)退化模型。因此可以看出，假如把降質(zhì)的進(jìn)程看作是位置不變性，則排除噪聲影響的前提下， 即是與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的卷積。也就是說，該函數(shù)的輸出是由它的輸入函數(shù)與點(diǎn)擴(kuò)函數(shù)惟一決定的。由分析可知，系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是描述任意圖像系統(tǒng)特性的重要函數(shù)之一。我們想要更好的運(yùn)用數(shù)字設(shè)備對圖像進(jìn)行加工，要做的工作是對連續(xù)函數(shù)的空間域以及幅值做離散化處理。在空間域上對坐標(biāo)做離散化的過程，就叫做采祥，對幅值做離散化的過程，就叫做灰度級的整量[14]。把這兩種離散進(jìn)行融合，則稱為圖像的數(shù)字化。一幅完整的圖像通過離散化處理以后轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字設(shè)備可以辨認(rèn)的點(diǎn)陣圖像，稱之為數(shù)字圖像。 離散退化模型 數(shù)字圖像可以由以下三種方式得到[14]： (1)把可見光圖像運(yùn)用數(shù)字化進(jìn)行加工，然后得到數(shù)字圖像。比如把圖像經(jīng)過儀器的掃描載入到計算機(jī)中，掃描這一進(jìn)程實(shí)質(zhì)上是進(jìn)行數(shù)字化。(2)直接利用各類光電儀器而獲得數(shù)字圖像。譬如宇宙飛船裝載的多種掃描儀能夠直接獲得行星表面的圖像并及時的進(jìn)行儲存。(3)直接由二維離散數(shù)學(xué)函數(shù)生成數(shù)字圖像.無論采用哪種方式，最終獲得的數(shù)字圖像都是一個二維矩陣。關(guān)于隨意連續(xù)函數(shù)，如果沿著，軸進(jìn)行等區(qū)間的取樣，把它們記為、(通常是），都取個點(diǎn)，那么數(shù)字圖像。可以用下面的矩陣來表示[14] (323)像素矩陣的誕生，使圖像處理另辟了一條嶄新的途徑，使得我們對于諸多圖像處理的問題都能把它變?yōu)閷仃嚨男问?，對其加以剖析，使圖像處理問題變得精準(zhǔn)、簡易、方便。這種處理辦法事實(shí)上就是處理二維矩陣的過程，是把圖像轉(zhuǎn)化為另一個已被加工的圖像，即是把二維矩陣變換成嶄新的二維矩陣的進(jìn)程。首先來討論一維矩陣的情況，接著再把它推廣至二維矩陣的情況[14]。假使我們對兩個函數(shù)和都進(jìn)行均勻的采樣，把這兩個函數(shù)的結(jié)果放到大小分別為和的兩個數(shù)組中，對于函數(shù)，其的取值范圍是0,1,2,..,；對于函數(shù)，其的取值范圍是0,1,2,..,。我們可以運(yùn)用離散卷積的方法來求出所需的。卷積的每個周期時有重疊現(xiàn)象(假設(shè)這些周期均為)發(fā)生，為了阻止這類現(xiàn)象，設(shè)定，然后把它運(yùn)用零擴(kuò)展的方式進(jìn)行彌補(bǔ)空缺。用和來代表擴(kuò)展后的函數(shù)，那么有[14] (324) (325)則可以它們的卷積的表達(dá)式為[14] (326)由于函數(shù)和的周期均為，的周期也為。采用矩陣的形式來表示，則上式可改寫為[14] (327)其中 (328) (329) (330)從的周期性可以看出，所以上式又可以改成 (331)其中是一個循環(huán)矩陣，也就是各行的末尾項(xiàng)與下一行的初始項(xiàng)相等，最后一行的末尾項(xiàng)與第一行的初始項(xiàng)相等。把上述結(jié)論擴(kuò)展到二維的狀態(tài)下，首先我們能夠做出一個大小是的周期拓展圖像，也就是[14] (332) (333)經(jīng)過這樣的延拓以后，和分別變成了二維周期函數(shù)。它們在、方向上的周期分別為、。所以我們會發(fā)現(xiàn)這個退化模型是以二維卷積的方式表示的，即[14] (334)若考慮噪聲的存在，把M x N的噪聲項(xiàng)加上去，則上式可以寫成 (335)同樣如此，也可以用矩陣的形式來表示[14]+ (336)其中，式中這些都通過拓展函數(shù)的第行得來的，所以[14] (337)這里的也是一個循環(huán)矩陣。由于中的每個小塊都是循環(huán)注明的，所以是一塊循環(huán)矩陣。 循環(huán)矩陣對角化上面所述的這些模型都是建立線性位置（空間）不變的基礎(chǔ)上而獲得的，它的意圖在于的值固定，并且在已知和的狀態(tài)下，得到相當(dāng)良好的[14]。這里有值得我們注意的問題，即如果想要從式(336)獲得原始的，跟比較貼近實(shí)際的圖像相比，是非常難以處理的。舉個例子，一般精度的圖像的周期為，可以得到的大小為 。所以，要想直接獲得，那么我們需要求解個聯(lián)立方程組，它的計算量是非常大的。因此，針對這個問題我們可以通過對的簡化而解決掉。上一節(jié)中的式(331)的矩陣，它的特征向量和特征值可以表示成[14]: (338) (339)把循環(huán)矩陣的個特征向量組成一個的矩陣，即[14] (340)這里的每個的正交性質(zhì)使的逆矩陣存在得以保證，以及的存在也保證了矩陣的每一列（的特征向量)都是線性獨(dú)立的。因此，我們可以把改寫為[14] (341)其中，是一個對角矩陣，它的元素全是的特征值，即是。而式 (336)的矩陣，我們假定它為一個 (包含個塊)的矩陣W，其每個塊元素表示為 (342)其中，為的矩陣，它的元素可以表示為 (343)通過以上對循環(huán)矩陣的討論可以類似得到這一結(jié)論[14]: (344)以外還有，的轉(zhuǎn)置可用的復(fù)數(shù)共軛來表示，即: (345)首先來討論一下一維的狀態(tài)，把式(341)放入式(327)中化簡，然后它們兩邊乘上同一個，可以得到[14] (346)式中的乘積項(xiàng)和都是的維列向量，把它們的第項(xiàng)分別記作和,則有[14] (347) (348)二者分別是擴(kuò)展序列和的Fourier變換。又因?yàn)槭?346)中的主對角線元素是矩陣的特征值，由式(337)可得 (349)其中，是擴(kuò)展序列的Fourier變換。由式(347)和(349)的對比，可以得到[14] (350)其中，式子的右部