【文章內(nèi)容簡介】 有重要的理論意義，而且有廣闊的應(yīng)用前景。Wiener 濾 波是最早提出的一種濾波方法，當(dāng)信號混有白噪聲時，可以在最小均方誤差條件下得到信號的最佳估計。 但是，由于求解 WienerHoff 方程的復(fù)雜性，使得 Wiener 濾波實際應(yīng)用起來很困難，不過 Wiener 濾波在理論上的意義是非常重要的，利用 Wiener 濾波的純一步預(yù)測，可以求解信號的模型參數(shù)，進而獲得著名的 Levinson 算法。 Kalman 濾波是 20 世紀(jì) 60 年代初提出的一種濾波方法。與 Wiener 濾波相似，它同樣可以在最小均方誤差條件下給出信號的最佳估計。所不同的是，這種濾波技術(shù)在時域中采用遞推方式進行，因此速 度快，便于實時處理，從而得到了廣泛的應(yīng)用。 Kalman 濾波推廣到二維，可以用于圖像的去噪。當(dāng)假設(shè) Wiener 濾波器的單位脈沖響應(yīng)為有限長時，可以采用自適應(yīng)濾波的方法得到濾波器的最佳響應(yīng)。由于它避開了求解 WienerHoff 方程，為某些問題的解決帶來了極大的方便。小波濾波就是利用信號和噪聲的目的。同態(tài)濾波主要用于解決信號和噪聲之間不是相加而是相乘關(guān)系時濾波問題。另外，當(dāng)信號和噪聲之間為卷積關(guān)系的時候，在一定條件下可以利用同態(tài)濾波把信號有效地分離開來，由同態(tài)濾波理論引申出的復(fù)時譜也成為現(xiàn)代信號處理中極為重要 的概念。Wiener 濾波、 Kalman 濾波和自適應(yīng)濾波都是線性濾波，線性濾波的最大缺點就是在消除噪聲的同時，會造成信號邊緣的模糊。中值濾波是 20 世紀(jì) 70 年代提出的一種非線性濾波方法，它可以在最小絕對誤差條件下，給出信號的最佳估計。 這種濾波方法的優(yōu)點，就是能夠保持信號的邊緣不模糊。另外它對脈沖噪聲也有良好的清除作用。形態(tài)濾波是建立在集合運算上的一種非線性濾波方法，它除了用于濾除信號中的噪聲外，還在圖象分析中發(fā)揮了重要的作用。 數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟 數(shù)字濾波器的設(shè)計大致有以下三個步驟： 首先，根據(jù) 實際需要確定數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)。這個性能指標(biāo)通常是頻域特性，例如數(shù)字濾波器的通、阻帶截頻、衰耗等。此外，還必須確定取樣間隔 T，從而確定出折疊頻率 ?~ ，因為這個折疊頻率限制了要設(shè)計的數(shù)字濾波器的頻率范圍。 其次，是逼近問題。逼近問題就是根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的指標(biāo)，設(shè)計一個因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器的輸入 /輸出特性，通常是系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 最后，選擇數(shù)字濾波器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。由于同一個數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù) H(z)可以有很多結(jié)構(gòu)形式，因而就需要對有限字長效應(yīng)按優(yōu)化原則從中選取最 好的結(jié)構(gòu)。假如數(shù)字濾波器在通用計算機上用軟件實現(xiàn)，這個結(jié)構(gòu)問題的重要性并不突出。但是，如果用硬件做成專用設(shè)備時，結(jié)構(gòu)和字長效應(yīng)是不能不考慮的問題。 數(shù)字濾波器的實現(xiàn) 數(shù)字濾波器一般可以用兩種方法實現(xiàn)：一種是根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號流圖，用數(shù)字化硬件組成專用信號處理機，這就是所謂的硬件實現(xiàn)；另一種是利用通用計算機，通過編制程序來完成運算，這也就是所謂的軟件實現(xiàn) [3]。它們各有優(yōu)缺點。軟件實現(xiàn)具有靈活性但速度較慢，一般不能實時處理。專用硬件速度快，能進行高速實時處理，但與軟件相比，當(dāng)濾波器 特性或頻率改變時則缺乏靈活性。因此，隨著大規(guī)模集成電路的發(fā)展，采用軟件和硬件相結(jié)合，既能使功能軟件化又能充分發(fā)揮硬件潛力的方法得到了廣泛的應(yīng)用。 FIR 和 IIR 型數(shù)字濾波器的對比 FIR和 IIR型數(shù)字濾波器在提取數(shù)字微分信號時由于自身特性使其具有不同的特點，下面將其各自優(yōu)缺點做一簡單對比。 FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是多項的，是非遞歸結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它只在原點出有一個 N階極點，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 FIR濾波器由于有限字長效應(yīng)而造成的誤差也較小。此外 FIR濾波器可以采用快速傅立葉變換（ FFT）來實現(xiàn)，在階數(shù)相 等時運算速度比 IIR濾波器快的多。 5 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是有理分式其分母多項式對應(yīng)于反饋支路，因而這種濾波器是遞歸結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，只有當(dāng)所有極點都在單位圓內(nèi)時濾波器才是穩(wěn)定的。但實際中由于存在有限字長效應(yīng)，濾波器有可能變的不穩(wěn)定。 FIR 濾波器必須用比 IIR 濾波器多的階數(shù)來滿足相同的技術(shù)指標(biāo)，因此 FIR 濾波器所用的存儲單元和所需的運算次數(shù)都比 IIR 濾波器多。例如，用頻率取樣法設(shè)計阻帶衰減為 20dB 的 FIR 濾波器，其階數(shù)是 33 階才能達到要求，但如果使用雙線性變換法設(shè)計一個切比雪夫 IIR 濾波器，則只要 4 到 5 階就可以 達到同樣的指標(biāo)，這里 FIR 濾波器的階數(shù)比 IIR 濾波器要高 5 到 10 倍。另外， FIR 濾波器可得到嚴(yán)格的線性相位，而 IIR 濾波器則不能做到。事實上 IIR 濾波器的選頻特性越好，它的相位的非線性就越嚴(yán)重。如果要求 IIR 濾波器具有線性相位，同時又要求他滿足幅度響應(yīng)要求，那么就必須用一個全通網(wǎng)絡(luò)進行相位矯正，這必然會大大增加濾波器的節(jié)數(shù)和復(fù)雜性。因此在嚴(yán)格要求線性相位的情況下應(yīng)該選擇 FIR 濾波器。 從設(shè)計工具看，濾波器可以借助于模擬濾波器的成果，因此一般都有高效的封閉形式的設(shè)計公式可供準(zhǔn)確計算，計算工作量比較小，對計算工 具的要求不高。 FIR 濾波器設(shè)計則一般沒有封閉式的計算公式。窗口法雖然僅僅對窗口函數(shù)可以給出計算公式，但計算通帶阻帶衰減等仍無顯示表達式。一般 FIR 濾波器的設(shè)計只有計算程序可循，因此對計算工具要求較高。雖然 IIR 濾波器設(shè)計簡單，但主要用于設(shè)計具有片段常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通及帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器的格局。而 FIR 濾波器則要靈活的多，尤其它能易于適應(yīng)某些特殊的應(yīng)用，如構(gòu)成微分器和積分器，或用于巴特沃斯，切比雪夫等逼近不可能達到的預(yù)定指標(biāo)的情況。 從以上各方面的比較可以看出， FIR 和 IIR 型濾 波器各有特點，在實際應(yīng)用中究竟選擇那種類型的濾波器，應(yīng)從實際情況的需要選擇合適的濾波器 。 如對相位要求不敏感的場合，可以選擇 IIR 型較為合適；而對于圖像信號處理，數(shù)據(jù)傳輸?shù)纫圆ㄐ螖y帶信息的系統(tǒng)，則針對線性要求較高，采用 FIR 型效果較好 。 因此在選擇時要考慮經(jīng)濟上的要求以及計算工具的條件等多方面的因素 。 FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計 由高斯在十九世紀(jì)初期提出的最小二乘法（ LS）也許是最古老的一種估計方法。它的生命力和重要價值早已由它在廣泛范圍內(nèi)應(yīng)用的成功經(jīng)驗所證實。和最大似然法不同，最 小二乘法主要應(yīng)用于所謂線性回歸模型。在這種情形下，它可以導(dǎo)出一些十分簡單的算法，從而使在計算機上實現(xiàn)實時估計成為可能。這一點對于信號處理具有重要的意義；在信號處理的一些重要的應(yīng)用場合諸如信號檢測、語音辨識、實時譜估計和自適應(yīng)處理等，算法實時實現(xiàn)的可能性是一個基本的條件。最小二乘法在信號處理中的各種形式的應(yīng)用迄今為止，仍是一個十分活躍的研究領(lǐng)域。這種研究旨在追求算法在計算效率和數(shù)值穩(wěn)定性上的統(tǒng)一。 古典回歸模型定義為 [4]： ??? ???? pp XXY ?11 （ 21） 式中pXX ,1 ?是 p 個獨立地已知變量，p?? ,1 ?是 p 個參數(shù)， ? 為具有零均值地隨機變量。對此模型可作如下地理解： Y 是測量值，其中包括測量噪聲（誤差） ? 。由于 ? 具有零均值即 0][ ??E 的特性。故有： pp XXYE ?? ??? ?11][ （ 22） 假定有幾個值，每一個對應(yīng)于一組不同的 }{iX 值。那么可以利用這些數(shù)據(jù)來估計模型參數(shù)p?? ,1 ?之值。用下標(biāo)表示第 t 個 Y 和 iX 的數(shù)據(jù)和相應(yīng)的誤差，有： ttpptt XXY ??? ??? ,11 ? （ 23） 各次測量誤差 n?? ,1 ? 互不相關(guān)但具有同一方差 2? ，令 ?~ 為 ? 的一個估計。則基于此估計以及已知的 }{ itX 值， tY 的估計為： ntxY tt ,1,~~ 39。 ??? ? （ 24） 那么有誤差： ttttt xYYYe 39。~~ ????? （ 25） 誤差 te 常稱作“殘差”。最小二乘法的基本思想就是選擇 ?~ 使得各次估計誤差的平方和為最小如公式 (26)： 7 239。112 )~( tnt tnt t XYeQ ???? ?? ?? （ 26） 換而言之， Q 函數(shù)的最小二乘估計 ?? 就是使誤差函數(shù) Q 為最小的那一個 ?~ ， ? 這個量可以理解為誤差能量。因此，最小二乘估計 ?? ，使誤差能量為最小。 設(shè)計思想 由高斯在十九世紀(jì)提出的最小二乘法是最古老的一種估計方法。其基本思想就是選擇 ?~ 使得各次估計誤差的平方和為最小如式（ 27）。換而言之， Q函 數(shù)的最小二乘估計 ?? 就是使誤差函數(shù) Q為最小的那一個 ?~ ， ? 這個量可以理解為誤差能量。因此，最小二乘估計 ?? ，使誤差能量為最小 [5]。 239。112 )~( tnt tnt t XYeQ ???? ?? ?? （ 27） 結(jié)合最小二乘法對 FIR 數(shù)字濾波器進行優(yōu)化設(shè)計，在頻域進行計算。用 )( ?jeH表示實際得到的濾波器頻率響應(yīng)，用 )( ?jd eH 表示要求的頻率響應(yīng)，以 )( ?jeE 表示頻率響應(yīng)誤差，即 )()()( ??? jjdj eHeHeE ?? （ 28） 則誤差能量為： 22 )()()( ??? jjdj eHeHeE ?? （ 29） 那么均 方誤差為： ???? ?? ???? ? deHeHdeEe jjdj 222 )()(2 1)(2 1 ?? ?? ??? （ 210） 設(shè)計的目的就是選擇一組 )]([)( 1 ?jeHFnh ?? 使得 2e 最小。先將（ 210）中的)( ?jd eH 和 )( ?jeH 分別用它們的沖擊響應(yīng)表示： njdjd enheH ?? ?????? )()( （ 211） ??? ?? 10 )()( Nn njj enheH ?? （ 212） 由于用 FIR 濾波器來逼近，故 h（ n） 長度是有限的。將它們代入（ 29）式可得： njdnjNn djjdj enhenhnheHeHeE ????? ???? ?? ????? )()]()([)()()( n10 其他 （ 213） 按照帕塞瓦公式有： 2n 21022 )()()()(2 1 ??? ???? ??? 其他 nhnhnhdeEe dNn dj ?? ?? ? （ 214） 由此式可以看出，等式右邊第二個求和項只取決于給定的特性 )(nhd ，它和設(shè)計值 )(nh 無關(guān)，故是一個常數(shù)，要使 2e 最小，就必須使第一項求和式最小，即希望： 10,0)()( ????? Nnnhnh d 在這一條件下，就有： )min( 22 ee ? 也就是說要滿足： ??? ???? n Nnnhnh d 其他0 10)()( （ 215） 這個式子恰好是矩形窗的結(jié)果。 通常我們選取的窗函數(shù)為： 9 ????? ??????nNnNnwR 其他0 21211)( （ 216） 而這樣得到的 )(nhN （ )()()( nwnhnh RdN ? ）為非因果序列，為了把 )(nhN 變成因果序列 h（ n） ,其辦法是將有限長序列 )(nhN 通過 21?N 的時延，將其變成因果序列，從而真正的如式（ 215）的 h（ n）序列。 推導(dǎo)低通、高通、帶通、帶阻 h（ n） 表達式 1．低通 h（ n） 表達式如下 [6]： 假設(shè)????????????????ccjd eH 001)( ，窗函數(shù) )(?Rw 如式（ 216）則 ???? ??????? dedeeHnhccNnjNnjjd ?? ?????? ??)2 1()2 1( 2 1)(2 1)( )2 1(])2 1s in [(????? NnNnc?? （ 217） 其中 N值由矩形窗的過渡帶寬決定， ????4N =f?2 2．高通 h（ n） 表達式為： ????????????????????21)21()21(s i n [211)(NnNnNnNnnhcc???? （ 218） 其中 N 值為fN ???? 24??， ?? 為過渡帶寬。 3．帶通 h（ n） 表達式為： ???? ?? ??? ? dedenh NnjNnj ?? ?? ???? ?? 1221 )2 1()2 1( 2 12 1)( )2 1()]2 1(s i n[)2 1()]2 1(s i n[ 12?????????? NnNnNnNn???? （ 219） 其中 N 值仍由過渡帶寬決定。 4．帶阻 h（ n） 表達式為： ???????????????????????21)21()]21(s i n [)]21(s i n [211)(2121NnNnNnNnNnnh?????? （ 220） 優(yōu)化設(shè)計的意義 所謂優(yōu)化，是指在給定的設(shè)計指標(biāo)和元件、參數(shù)的允許取值范圍條件下，確定一組獨立的設(shè)計參數(shù)，使系統(tǒng)達到最佳技術(shù)經(jīng)濟性能。系統(tǒng)性能的優(yōu)劣通常用一個關(guān)于設(shè)計參數(shù)的函數(shù)來描述，該函數(shù)即稱為“目標(biāo)函數(shù)”，待定的設(shè)計參數(shù)稱為“優(yōu)化變量”，而參數(shù)范圍和未包含在目標(biāo)函數(shù)中的一些 設(shè)計指標(biāo)即構(gòu)成優(yōu)化變量的“約束條件”尋求系統(tǒng)的最佳性能，在數(shù)學(xué)上通常就是最小化或最大化目標(biāo)函數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計是指 從多種方案中選擇最佳方案的設(shè)計方法。它以數(shù)學(xué)中的最優(yōu)化理論為基礎(chǔ)，以計算機為手段，根據(jù)設(shè)計所追求的性能目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，在滿足給定的各種約束條件下，尋求最優(yōu)的設(shè)計方案。第二次世界大戰(zhàn)期間，在軍事上首先應(yīng)用了優(yōu)化技術(shù)。 1967 年，美國的 機構(gòu) 最優(yōu)化論 文。 1970 年， 特勒等用幾何規(guī)劃解決了液體動壓 軸承 的優(yōu)化設(shè)計問題后，優(yōu)化設(shè)計在 機械設(shè)計 中得到應(yīng)用和發(fā)展 [7]。隨著數(shù)學(xué)理論和電子計算機技術(shù)的進一步發(fā)展，優(yōu)化設(shè)計已逐步形成為一門新興的獨立的工程學(xué)科，并在生產(chǎn)實踐中得 到了廣泛的應(yīng)用。通常設(shè)計方案可以用一組參數(shù)來表示，這些參數(shù)有些已經(jīng)給定，有些沒有給定，需要在設(shè)計中優(yōu)選，稱為設(shè)計變量。如何找到一組最合適的設(shè)計變量，在允許的范圍內(nèi)，能使所設(shè)計的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)最合理、性能最好、質(zhì)量最高、成本最低（即技術(shù)經(jīng)濟指標(biāo)最佳），有市場競爭能力，同時設(shè)計的時間又不要太長，這就是優(yōu)化設(shè)計所要解決的問題。一般來說，優(yōu)化設(shè)計有以下幾個步驟： 。 。 。 。 11 算機自動篩選最優(yōu)設(shè)計方案等。通常采用的最優(yōu)化算法是逐步逼近法，有線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃。 FIR 數(shù)字濾波器采用的優(yōu)化設(shè)計，其意義為：根據(jù)濾波器的設(shè)計指標(biāo)，導(dǎo)出一組條件，要求在此條件下，在整個逼近的頻帶范圍內(nèi)，逼近誤差絕對值的最大值的平方和為最小，從而得到唯一的最佳解答。 FIR 數(shù)字濾波器幅度特性推導(dǎo)及簡介 由于 )()()( nwnhnh d? ，所