【正文】 未包含在目標(biāo)函數(shù)中的一些 設(shè)計(jì)指標(biāo)即構(gòu)成優(yōu)化變量的“約束條件”尋求系統(tǒng)的最佳性能，在數(shù)學(xué)上通常就是最小化或最大化目標(biāo)函數(shù)。 1967 年，美國的 機(jī)構(gòu) 最優(yōu)化論 文。如何找到一組最合適的設(shè)計(jì)變量，在允許的范圍內(nèi)，能使所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)最合理、性能最好、質(zhì)量最高、成本最低（即技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)最佳），有市場競爭能力，同時(shí)設(shè)計(jì)的時(shí)間又不要太長，這就是優(yōu)化設(shè)計(jì)所要解決的問題。 。 FIR 數(shù)字濾波器幅度特性推導(dǎo)及簡介 由于 )()()( nwnhnh d? ，所以根據(jù)傅立葉變換性質(zhì)，時(shí)域乘積，在頻域應(yīng)等于相應(yīng)頻譜卷積。 圖 21 矩形窗卷積過程 當(dāng) Nc ??? 2??時(shí)，響應(yīng)值 )2( NHc ?? ?，整個(gè) )( ???RW 主瓣在 )(?dH 通帶以內(nèi)，因此卷積得到最大值 m a x)2( ?? NHc ??，頻率響應(yīng)出現(xiàn) 正肩峰（或者說上沖）。 FIR 線性相位特點(diǎn) 設(shè) FIR 濾波器單位沖擊響應(yīng)是 )(nh ， 10 ??? Nn ，則 FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)為： ??? ?? 10 )()( Nn nznhzH （ 222） 相應(yīng)的濾波器頻率響應(yīng)為 [9]： )(10 )()()(????? jjNnnjj eeHenheH ?? ???? （ 223） 其中， )( ?jeH 與 )(?? 分別表示幅度和相位特性。 用類似的方法還可以證明僅具有恒定群時(shí)延的濾波器滿足下列關(guān)系： 2 1??N? （ 230） 20 ?? ?? （ 231） )1()( nNhnh ???? （ 232） 說明此時(shí)相位特性仍是一條直線，信號通過濾波器不僅有 21?N 個(gè)抽樣周期的群時(shí)延，而且有 2? 的時(shí)延 。這個(gè)特點(diǎn)在圖像信號處理和數(shù)據(jù)傳輸?shù)炔ㄐ蝹鬟f系統(tǒng)中是非常重要的。 15 第 3章 FIR 數(shù)字濾波器的 MATLAB設(shè)計(jì) MATLAB的簡介 MATLAB 的功能 MATLAB 是矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory）之意。工具包又可以分為功能性工具包和學(xué)科工具包。除內(nèi)部函數(shù)外，所有 MATLAB 主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件，用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構(gòu)造新的專用工具包。 利用 M 語言還開發(fā)了相應(yīng)的 MATLAB 專業(yè)工具箱函數(shù)供用戶直接使用，這些工具箱應(yīng)用的算法是開放的、可擴(kuò)展的，用戶不僅可以察看其中的算法，還可以針對一些算法進(jìn)行修改，甚至允許開發(fā)自己的算法以便擴(kuò)充工具箱的功能。MATLAB 用更直觀的，符合人們思維習(xí)慣的代碼，代替了 C 和 FORTRAN 語言的冗長代碼。 MATLAB 程序書寫形式自由，利用起豐富的庫函數(shù)避開繁雜的 子程序編程任務(wù)，壓縮了一切不必要的編程工作。例如，如果用戶想求解一個(gè)線性代數(shù)方程，就得編寫一個(gè)程序塊讀入數(shù)據(jù)，然后再使用一種求解線性方程的算法（例如追趕法）編寫一個(gè)程序塊來求解方程，最后再輸出計(jì)算結(jié)果。解線性方程的程序用 FORTRAN 和 C 這樣的高級語言編寫，至少需要四百多行，調(diào)試這種幾百行的計(jì)算程序可以說很困難。 17 可見， MATLAB 的程序極其簡短。 3． MATLAB既具有結(jié)構(gòu)化的控制語句（如 for 循環(huán)， while 循環(huán)， break 語句和 if 語句），又有面向?qū)ο缶幊痰奶匦浴? 6． MATLAB 的圖形功能強(qiáng)大。由于MATLAB 的程序不用編譯等預(yù)處理，也不生成可執(zhí) 行文件，程序?yàn)榻忉寛?zhí)行，所以速度較慢。其工具箱又分為兩類：功能性工具箱和學(xué)科性工具箱。這些工具箱都是由該領(lǐng)域內(nèi)學(xué) 術(shù)水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學(xué)科范圍內(nèi)的基礎(chǔ)程序，而直接進(jìn)行高、精、尖的研究。 工具函數(shù)的功能說明 本次設(shè)計(jì)采用最小二乘法對有限長沖擊響應(yīng) FIR 濾波器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，從設(shè)計(jì)方面來說， 為我們提供了很好的仿真設(shè)計(jì)平臺。 另外， MATLAB 信號處理工具箱提供更為通用的工具函數(shù) firls， fircls 和 fircls1，采用不同的優(yōu)化方法可以設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器和多頻帶濾波器。 firls 其調(diào)用格式為： b=firls（ n， f， a） b=firls（ n， f， a， w） b=firls（ n， f， a， ftype） b=firls（ n， f， aw， ftype） 該函數(shù)用于設(shè)計(jì) n 階 FIR 濾波器，其幅頻特性由 f 和 a 向量確定，調(diào)用后返回長度為 n+1 的濾波器系數(shù)向量 b，且這些系數(shù)遵循以下偶對稱關(guān)系： b（ k） =b（ n+2k）， k=1， 2， ? ， n+1 b=firls（ n， f， a， w） 則使用權(quán)系數(shù) w 給誤差加權(quán)。 fircls1 函數(shù) fircls1 該函數(shù)采用約束最小二乘法設(shè)計(jì)基本的線性相位高通和低通濾波器，其調(diào)用格式為： b=fircls1（ n， wo， dp， ds） b=fircls1（ n， wo， dp， ds， high） b=fircls1（ n， wo， dp， ds， wt） 19 b=fircls1（ n， wo， dp， ds， wt， high） b=fircls1（ n， wo， dp， ds， wp， ws， k， high） b=fircls1（ n,， wo， dp， ds， wp， ws， k） b=fircls1（ n， wo， dp， ds， ? ， design_flag） b=fircls1（ n， wo， dp， ds）函數(shù)返回長度為 n+1 的線性相位低通 FIR 濾波器，截止頻率為 wo，取值 01 之間。 wp 為通帶邊緣頻率， ws為阻帶邊緣頻率，其中 wpwows；如果要設(shè)計(jì)高通濾波器，則必須使 wswowp。通帶幅度偏離 的最大值為 dp，阻帶偏離 0 的最大值為ds， n 為濾波器的階數(shù)。其圖如 31。 圖 32 調(diào)試窗口 21 圖 33 幅頻響應(yīng)圖 濾波器分析設(shè)計(jì)工具 FDATool的應(yīng)用 FDATool 的簡介 FDATool（ Filter Design and Analysis Tool） 是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)字濾波器分析設(shè)計(jì)工具，它涵蓋了信號處理工具箱中所有的濾波器設(shè)計(jì)方法。FDATool 可以設(shè)計(jì)幾乎所有的基本的常規(guī)濾波器，包括 FIR 和 IIR 的各種設(shè)計(jì)方法。 Design Method（設(shè)計(jì)方法）選項(xiàng)，包括 IIR 濾波器的 Butterworth（巴特沃思）法、Chebyshev Type I（切比雪夫 I 型）法、 Chebyshev Type II（切比雪夫 II型） 法、 Elliptic（橢圓濾波器）法和 FIR 濾波器的 Equiripple 法、 LeastSquares（最小乘方）法、 Window（窗函數(shù)）法。它的具體選項(xiàng)由 Filter Type選項(xiàng)和 Design Method選項(xiàng)決定，例如 Bandpass（帶通）濾波器 需要定義 Fstop1（下阻帶截止頻率）、 Fpass1（通帶下限截止頻率）、Fpass2（通帶上限截止頻率）、 Fstop2（上阻帶截止頻率），而 Lowpass（低通）濾波器只需要定義 Fstop Fpass1。當(dāng)采用窗函數(shù)設(shè)計(jì)時(shí)，通帶截止頻率處的幅值衰減固定為 6db，所以不必定義。下面按照濾波器的一般設(shè)計(jì)步驟對 FDATool 加以直觀的介紹。例如選擇 FIR窗函數(shù) 設(shè)計(jì)法時(shí)的 Options 如圖 35 所示。 例如選擇了 FIR 等波紋低通最小階數(shù)設(shè)計(jì)后的 FDATool 如圖 34 所示，其中 Filter Specifications 顯示了采用該設(shè)計(jì)時(shí)需指定的設(shè)計(jì)指標(biāo)。例如選擇了多帶 FIR 等波紋設(shè)計(jì)時(shí)相應(yīng)的界面如圖 36 所示，參照 Filter Specifications 中的圖示，可以很直觀地看出這些參數(shù)的含義。 圖 37 FDATool 的工具條 25 第 4章 仿真結(jié)果及結(jié)果分析 低通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果 1．沖擊響應(yīng)如圖 41 所示： 圖 41 低通數(shù)字濾波器沖擊響應(yīng) 2．幅頻響應(yīng)如圖 42 所示： 圖 42 低通數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng) 3．濾波前后結(jié)果如圖 43 所示： 圖 43 濾波前后的波形 27 高通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果 1．沖擊響應(yīng)如圖 44 所示： 圖 44 高通數(shù)字濾波器沖擊響應(yīng) 2．幅頻響應(yīng)如圖 45 所示： 圖 45 高通數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng) 3．濾波前后結(jié)果如圖 46 所示： 圖 46 濾波前后的波形 29 帶通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)結(jié)果 1．沖擊響應(yīng)如圖 47 所示： 圖 47 帶通數(shù)字濾波器的沖擊響應(yīng) 2．幅頻響應(yīng)如圖 48 所示： 圖 48 帶通數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng) 3． 濾波前后結(jié)果如圖 49 所示： 圖 49 濾波前后的波形 31 帶阻數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果 1．沖擊響應(yīng)如圖 410 所示： 圖 410 帶阻數(shù)字濾波器 的沖擊響應(yīng) 2．幅頻響應(yīng)如圖 411所示： 圖 411 帶阻數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng) 412 所示： 圖 412 濾波前后的波形 33 FIR濾波器的性能分析 從上面的設(shè)計(jì)結(jié)果可以看出，通過利用最小二乘法所設(shè)計(jì)的 FIR 數(shù)字濾波器可以分析出 FIR 數(shù)字濾波器的性能特點(diǎn) : 1．從濾波器的頻率響應(yīng)圖可以看出 ,濾波器的階數(shù)越高 ,濾波器的實(shí)際頻率響應(yīng)越接近期望的頻率響應(yīng)。 另外， FIR 濾波器的幅度特性 )(?H 由于加了窗口函數(shù)， )(?H 相對于理想特性發(fā)生了如下變化： ，形成了一個(gè)過渡帶，過渡帶寬取決于窗口函數(shù)主瓣寬度。造成肩峰的根本原因是截短導(dǎo)致的吉布斯效應(yīng)（ Gibbc）。在設(shè)計(jì)過程中可以對比濾波器特性，隨時(shí)更改參數(shù)，以達(dá)到濾波器設(shè)計(jì)的最優(yōu)化。 IIR 濾波器具有非線性相位，而 FIR濾波器具有精確的線性相位，即 FIR 濾波器的系數(shù)具有奇對稱或偶對稱的規(guī)律，經(jīng)過 FIR濾波器濾波后的信號只是被簡單地延遲了個(gè)時(shí)間步長，也就是沒有相位失真。 參考文獻(xiàn) [1] and Bede Liu. 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