【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 自適應(yīng)的壓縮采樣和重建算法。例如，基于圖像多成分性的特點(diǎn)能夠提高重建圖像的峰值信噪比和視覺(jué)效果。壓縮感知理論的大部分文獻(xiàn)中，測(cè)量矩陣都是線性的且設(shè)計(jì)好的，不需根據(jù)觀測(cè)信號(hào)自適應(yīng)地變化。對(duì)于自然圖像，假如能夠?qū)崿F(xiàn)非線性自適應(yīng)的壓縮測(cè)量，壓縮感知的壓縮性能勢(shì)必會(huì)獲得大幅度的提高。目前，自然圖像的自適應(yīng)壓縮感知信號(hào)重建理論基本空白。這項(xiàng)工作對(duì)壓縮感知的理論推廣和實(shí)際應(yīng)用都具有重要意義。216。 實(shí)現(xiàn)方法層面：（1）基于學(xué)習(xí)的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)。目前，基于構(gòu)造方法的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)具有很好的理論支撐，正則化幾何方法、幾何多尺度分析、基于信息論的“有效編碼假設(shè)”為其奠定了堅(jiān)實(shí)廣闊的理論基礎(chǔ)。但是，從國(guó)際上關(guān)于過(guò)完備字典設(shè)計(jì)的整體情況看，基于學(xué)習(xí)的自然圖像過(guò)完備字典設(shè)計(jì)的工作非常少，主要在于：設(shè)計(jì)難度大、性能要求高，同時(shí)缺乏嚴(yán)格的理論支撐。這項(xiàng)工作對(duì)于稀疏字典和壓縮感知都將是重要的理論完善。(2)硬件易實(shí)現(xiàn)的確定性測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)。在等距約束性準(zhǔn)則驅(qū)動(dòng)的可壓縮信號(hào)壓縮感知定理中，要求稀疏字典Ψ和測(cè)量矩陣Φ的乘積Θ=ΦΨ滿足RIP。其中，稀疏字典Ψ可以是正交的也可以是非正交的，測(cè)量矩陣Φ可以是隨機(jī)的也可以是確定的。但是，面向應(yīng)用且硬件易實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣應(yīng)該具有以下基本特點(diǎn)：滿足等距約束性、壓縮測(cè)量個(gè)數(shù)少、采樣計(jì)算成本低、存儲(chǔ)矩陣的空間小、以及測(cè)量矩陣最好是確定性的。設(shè)計(jì)出硬件容易實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣和快速穩(wěn)定的重建算法是將壓縮感知理論推向?qū)嵱玫年P(guān)鍵。（3）噪聲情形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重建算法[15]設(shè)計(jì)?？焖俜€(wěn)定的信號(hào)重建算法是將壓縮感知理論推向?qū)嵱玫年P(guān)鍵技術(shù)之一，特別適用于糾錯(cuò)編碼、核磁共振成像、NMR波譜研究等大尺度問(wèn)題。通常，基于最小化松弛算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)較高。因而，在最小化驅(qū)動(dòng)的壓縮感知理論完善工作的基礎(chǔ)上，希望能夠基于稀疏性自適應(yīng)的貪婪迭代和基于多層超先驗(yàn)建模的非凸迭代思想設(shè)計(jì)適于噪聲情形大尺度問(wèn)題的快速魯棒重建算法。第三章 正交匹配追蹤重建算法從數(shù)學(xué)意義上講，基于壓縮感知理論的信號(hào)重建問(wèn)題就是尋找欠定方程組(程的數(shù)量少于待解的未知數(shù))的最簡(jiǎn)單解的問(wèn)題，L0范數(shù)刻畫(huà)的就是信號(hào)中非零元素的個(gè)數(shù)，因而能夠使得結(jié)果盡可能地稀疏。通常我們采用下式描述最小L0范數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題： . ()實(shí)際中，允許一定程度的誤差存在，因此將原始的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)較簡(jiǎn)單的近似形式求解，其中是一個(gè)極小的常量： . ()但是這類(lèi)問(wèn)題的求解數(shù)值計(jì)算極不穩(wěn)定，很難直接求解。匹配追蹤類(lèi)稀疏重建算法解決的是最小L0范數(shù)問(wèn)題，最早提出的有匹配追蹤(MP)算法和正交匹配追蹤(OMP)算法。匹配追蹤算法的基本思想是在每一次的迭代過(guò)程中，從過(guò)完備原子庫(kù)里(即感知矩陣)選擇與信號(hào)最匹配的原子來(lái)進(jìn)行稀疏逼近并求出余量，然后繼續(xù)選出與信號(hào)余量最為匹配的原子。經(jīng)過(guò)數(shù)次迭代，該信號(hào)便可以由一些原子線性表示。但是由于信號(hào)在已選定原子(感知矩陣的列向量)集合上的投影的非正交性使得每次迭代的結(jié)果可能是次最優(yōu)的，因此為獲得較好的收斂效果往往需要經(jīng)過(guò)較多的迭代次數(shù)。匹配追蹤類(lèi)算法通過(guò)求余量r與感知矩陣中各個(gè)原子之間內(nèi)積的絕對(duì)值，來(lái)計(jì)算相關(guān)系數(shù)u： （）并采用最小二乘法進(jìn)行信號(hào)逼近以及余量更新: （） （）(OMP)正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit,OMP），是最早的貪婪迭代算法之一，是壓縮感知信號(hào)檢測(cè)的一種算法。本文后面的仿真就是采用基于壓縮感知的正交匹配追蹤算法來(lái)重建圖像的。本節(jié)將著重介紹此算法的原理、實(shí)現(xiàn)步驟以及Matlab的語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)。 OMP算法原理OMP算法實(shí)質(zhì)上還是沿用了匹配追蹤算法中的原子選擇準(zhǔn)則，只是將所選原子利用GramSchmidt正交化方法進(jìn)行正交處理，再將信號(hào)在這些正交原子構(gòu)成的空間上投影，得到信號(hào)在各個(gè)已選原子上的分量和余量，然后用相同方法分解余量。在每一步分解中，所選原子均滿足一定條件，因此余量隨著分解過(guò)程迅速減小。通過(guò)遞歸地對(duì)已選擇原子集合進(jìn)行正交化保證了迭代的最優(yōu)性，從而有效克服了匹配追蹤算法為獲得較好的收斂效果往往需要經(jīng)過(guò)較多的迭代次數(shù)的問(wèn)題。OMP的重建算法是在給定迭代次數(shù)的條件下重建，這種強(qiáng)制迭代過(guò)程停止的方法使得OMP需要非常多的線性測(cè)量來(lái)保證精確重建?？傊?，它以貪婪迭代的方法選擇的列，使得在每次迭代中所選擇的列與當(dāng)前的冗余向量最大程度地相關(guān)，從測(cè)量向量中減去相關(guān)部分并反復(fù)迭代，直到迭代次數(shù)達(dá)到稀疏度，強(qiáng)制迭代停止。 OMP算法實(shí)現(xiàn)步驟OMP算法的具體步驟如下：(1)初始余量，迭代次數(shù)，索引值集合，；(2)計(jì)算相關(guān)系數(shù)u,并將u中最大值對(duì)應(yīng)的索引值存入中；(3)更新支撐集，其中；(4)應(yīng)用()得到，同時(shí)用()對(duì)余量進(jìn)行更新；(5)若，令，轉(zhuǎn)步驟(2)；否則，停止迭代。 OMP算法的Matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)因?yàn)镺MP算法只能對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行精確重構(gòu)，所以為了實(shí)現(xiàn)對(duì)OMP的仿真，首先需要將圖片轉(zhuǎn)換為稀疏信號(hào)，如FFT、DCT、小波變換等，在本文中采取小波變換，然后將得到的稀疏信號(hào)與測(cè)量矩陣相乘得到測(cè)量值Y，然后通過(guò)OMP算法，根據(jù)Y精確重建出原始信號(hào)最后經(jīng)過(guò)小波反變換得到原始圖像。由于在Matlab平臺(tái)上對(duì)圖像的處理、小波變換、矩陣的求逆合并等運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)較為方便，因此本文首先選擇在Matlab上實(shí)現(xiàn)OMP算法并對(duì)其進(jìn)行仿真。：讀入圖片文件x獲取圖片的大小a*b對(duì)圖片進(jìn)行小波變換得到稀疏信號(hào)x1產(chǎn)生隨機(jī)測(cè)量矩陣，并與x1相乘得到測(cè)量值Y對(duì)Y按列處理i=1ib?NY對(duì)第i列用OMP算法得到恢復(fù)值x’i=i+1對(duì)得到的x’進(jìn)行小波反變換恢復(fù)原始圖像x結(jié)束 第四章 基于MATLAB的壓縮感知圖像重建仿真實(shí)驗(yàn)均是采用Matlab編寫(xiě)正交匹配追蹤（OMP）算法程序來(lái)進(jìn)行仿真的。首先，我們選取一組一維的正弦信號(hào)，即。：這個(gè)原始信號(hào)x是f1=50，f2=100，f3=200，f4=400的混頻和采樣間隔fs=800的256長(zhǎng)度的序列，它的稀釋度為7。接下來(lái)，取觀測(cè)向量M的長(zhǎng)度為64，即采樣率M/N=。： M=64時(shí)，原始信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖，當(dāng)M=64時(shí)，能夠較好的恢復(fù)出原始信號(hào)。由于測(cè)量值M必須滿足，當(dāng)M值取最小值即M=40時(shí)，： M=40時(shí)，原始信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)對(duì)比圖從上述仿真可知OMP算法對(duì)一維信號(hào)的重構(gòu)效果較好，在采樣值較低的情況下也能精確恢復(fù)原始信號(hào)，而且具有很好的收斂性。為了進(jìn)一步說(shuō)明OMP算法的重構(gòu)效果，本文將用二維圖像繼續(xù)進(jìn)行仿真。由第三章OMP算法的Matlab語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)知識(shí)可知，在處理圖像時(shí)，我們需將圖像進(jìn)行變換，如FFT、DCT、小波變換等，通過(guò)變換將圖像轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)基下的稀疏系數(shù)，然后對(duì)系數(shù)矩陣按列進(jìn)行處理，最后將處理過(guò)的系數(shù)反變換回來(lái)，就能得到稀疏重構(gòu)的圖像。這里用的重構(gòu)算法還是正交匹配追蹤算法。：： OMP二維原始、恢復(fù)圖像對(duì)比圖為了讓圖像更稀疏，首先對(duì)原圖像進(jìn)行了小波變換，之后又做了一個(gè)N*N的正交矩陣，為什么要用正交矩陣呢？說(shuō)實(shí)話以前我也一直在考慮這個(gè)問(wèn)題，原因是正交基矩陣與原圖像不相關(guān)，重構(gòu)時(shí)可以減少迭代次數(shù)。原始信號(hào)進(jìn)行了小波變換后，變得更加稀疏，高頻段的信息基本沒(méi)了，這樣圖像縮小了很多，便于保存與傳輸。接下來(lái)就要對(duì)這個(gè)小波變換的信號(hào)進(jìn)行測(cè)量和重構(gòu)，當(dāng)它們重構(gòu)信號(hào)后，經(jīng)過(guò)小波逆變換后得到恢復(fù)的圖像（此過(guò)程中測(cè)量數(shù)選取的是M=190）。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可得出。正交匹配算法（OMP）對(duì)二維信號(hào)的重建效果還算清楚。接下來(lái)，我對(duì)Lena256*256圖像在采樣率（M/N），，，：恢復(fù)的圖像,采樣率=恢復(fù)的圖像,采樣率=恢復(fù)的圖像,采樣率=恢復(fù)的圖像，采樣率=恢復(fù)的圖像,采樣率= OMP在不同采樣率下恢復(fù)圖像對(duì)比圖為了更直觀的對(duì)比OMP算法在不同采樣率下的恢復(fù)效果，，，如表41所示：表41 不同M/N與PSNR實(shí)驗(yàn)結(jié)果值比較M/NPSNR由以上表格可以看出，隨著采樣率M/N值的逐漸增大，PSNR值也逐漸增大。（OMP）算法與多種壓縮感知算法的仿真比較在圖像重建過(guò)程中，我還選用了基追蹤重構(gòu)算法(BP)、正交匹配追蹤算法(OMP)和分段正交匹配追蹤FDR閥值算法(STOMP_FDR)同時(shí)進(jìn)行了仿真，并對(duì)仿真結(jié)果做以對(duì)比?；粉櫵惴?BP),在壓縮感知理論中，觀測(cè)數(shù)遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度，因此信號(hào)重構(gòu)時(shí)不得不面對(duì)求解欠定方程組的問(wèn)題。從常理來(lái)看，求解欠定方程組是不可能的，但是，由于信號(hào)是可壓縮的或者說(shuō)稀疏的，使得問(wèn)題可解，而觀測(cè)矩陣具有有限等距性(RIP)，也為從觀測(cè)值中精確恢復(fù)信號(hào)提供了理論支持?；粉櫵惴ň褪腔谝陨显韽亩_(dá)到重構(gòu)和對(duì)白噪聲去噪的目的。它主要的目的是運(yùn)作此定方程的解。正交匹配追蹤算法（OMP）在重構(gòu)時(shí)每次迭代得到的支撐集的一個(gè)原子，只是通過(guò)遞推對(duì)已經(jīng)選擇原子幾何進(jìn)行正交化以保障迭代的最優(yōu)性，從而減少迭代次數(shù)。分段正交匹配追蹤FDR閥值算法(STOMP_FDR) 相對(duì)于前兩種算法而言，迭代次數(shù)就更少了，它是對(duì)OMP算法進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化，以逼近精度為代價(jià)進(jìn)一步提高了計(jì)算速度，因此在整個(gè)恢復(fù)原圖像的過(guò)程中會(huì)節(jié)省大量的時(shí)間。首先先選擇一張圖片，：選擇好原始圖片后，我們要對(duì)圖片進(jìn)行讀取數(shù)據(jù)x=imread(39。39。)；[m,n]=size(x)。這里采用的方法是對(duì)數(shù)據(jù)的每一列進(jìn)行小波變換后再對(duì)每列進(jìn)行壓縮感知，同時(shí)對(duì)BP，OMP，STOMP_FDR算法進(jìn)行仿真。：、OMP、STOMP_FDR恢復(fù)對(duì)比圖，OMP的重建效果次于BP算法但優(yōu)于STOMP_FDR算法。但從重建時(shí)間來(lái)看，OMP算法次于STOMP_FDR但明顯優(yōu)于BP算法。由此表明：OMP算法能夠兼顧重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實(shí)用的重建算法。從上面一維信號(hào)到二維圖像的壓縮感知重建仿真可以得出以下結(jié)論：（1）正交匹配算法對(duì)一維信號(hào)有很優(yōu)秀的還原恢復(fù)。（2）對(duì)于二維圖像信號(hào)，正交匹配算法（OMP）的重構(gòu)不是最好，但它的重建時(shí)間比較短，雖然基追蹤（BP）的還原圖像是最清晰的，但它的重建時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其它兩種算法。而分段正交匹配追蹤FDR閾值算法（STOMP_FDR）雖然時(shí)間短，但恢復(fù)圖像效果是其中最差的一個(gè)。（3）OMP算法能夠兼顧重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)質(zhì)量，是一種比較實(shí)用的重建算法。所以，正交匹配追蹤算法對(duì)于圖像重建要求不是特別高的場(chǎng)合還是比較通用的。結(jié)束語(yǔ)近年來(lái)，信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)了一種新的信息采樣理論——壓縮感知。它利用原始圖像或信號(hào)的稀疏性先驗(yàn)知識(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法，可以由少量的觀測(cè)值或采樣值對(duì)信號(hào)進(jìn)行精確重建。該理論突破了傳統(tǒng)的以Nyquist定理為基準(zhǔn)的信號(hào)處理方法，實(shí)現(xiàn)了在獲取數(shù)據(jù)的同時(shí)對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)膲嚎s，進(jìn)一步降低了信號(hào)處理的時(shí)間和器件成本。目前該領(lǐng)域有很多方面的問(wèn)題值得研究，其中一個(gè)關(guān)鍵部分是重構(gòu)算法，它直接決定著重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量及重構(gòu)速度、應(yīng)用效果。尋求有效的重構(gòu)方法也是研究者一直在進(jìn)行的工作。本文深入了解了壓縮感知理論及國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有的重建算法之后，著重對(duì)其中的正交匹配追蹤重建算法展開(kāi)了工作，主要工作總結(jié)如下：在總結(jié)現(xiàn)有的幾種算法及模型如最小L0范數(shù)模型，OMP算法，MP算法的基礎(chǔ)之上，分別從一維信號(hào)和二維可壓縮信號(hào)的角度考察OMP算法的重建效果及運(yùn)行時(shí)間。利用Matlab語(yǔ)言搭建了仿真平臺(tái)，對(duì)OMP算法重建圖像進(jìn)行了仿真研究。作為壓縮感知理論的核心，重建算法還有很多問(wèn)題亟待解決，目前重構(gòu)算法有以下幾個(gè)問(wèn)題：1）雖然最小L1范數(shù)法的重構(gòu)效果很好，但是它的重構(gòu)時(shí)間較長(zhǎng)，不能應(yīng)用于大規(guī)模的實(shí)際問(wèn)題中。因此需要研究基于最小L1范數(shù)算法的快速算法，做到重構(gòu)效果與時(shí)間發(fā)的統(tǒng)一。2）貪婪系列算法雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便，重建效果也較好，但是它不能直接求解原始的優(yōu)化問(wèn)題，在重構(gòu)質(zhì)量上還次于基于最小L1范數(shù)的算法。OMP算法在原子的選取方面就存在缺陷，因此，在貪婪算法方面還需要繼續(xù)研究。3）測(cè)量矩陣的選取與重構(gòu)算法也密切相關(guān)，測(cè)量矩陣的好壞直接影響到重構(gòu)信號(hào)的質(zhì)量。我們通常采用高斯隨機(jī)矩陣，但是很難硬件實(shí)現(xiàn)，不具有實(shí)際應(yīng)用的意義。以此尋求好的測(cè)量矩陣也是需要進(jìn)一步研究的方面。4）該理論只針對(duì)可壓縮或者稀疏的信號(hào)才有效果，但是大多數(shù)自然信號(hào)不具有稀疏性，由正交變換性質(zhì)可知，我們首先需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行正交變換，然后才能對(duì)信號(hào)進(jìn)行下一步的處理。因此正交變換也是壓縮感知中的一個(gè)重要方面。正交變換選取的合適與否直接關(guān)系到信號(hào)是否滿足稀疏度的要求，從而會(huì)影響到信號(hào)是否能被精確重建，因此選取合適的正交變換基也是重建算法需要考慮的一個(gè)重要部分。致謝時(shí)間如梭，轉(zhuǎn)眼畢業(yè)在即?；叵朐诖髮W(xué)求學(xué)的四年，心中充滿無(wú)限感激和留戀之情。感謝母校為我們提供的良好學(xué)習(xí)環(huán)境，使我們能夠在此專(zhuān)心學(xué)習(xí)，陶冶情操。值此本科學(xué)位論文完成之際，謹(jǐn)向我的論文指導(dǎo)老師致以最誠(chéng)摯的謝意！感謝她在忙碌的教學(xué)工作中擠出時(shí)間來(lái)審查、修改我的論文。本文的寫(xiě)作是在她的悉心指點(diǎn)下，從論文的選題到體系的安排，從觀點(diǎn)推敲到字句斟酌，都凝聚著她的心血。再者，感謝教過(guò)我的所有老師們，他們嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作、學(xué)習(xí)中的榜樣；他們循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪。滴水之恩，當(dāng)以涌泉相報(bào)，師恩重于山，師恩難報(bào)。我只有在今后的學(xué)習(xí)、工作中，以鍥而不舍的精神，努力做出點(diǎn)成績(jī)，以不負(fù)恩師的厚望。另外，我必須感謝我的父母。言樹(shù)之背，養(yǎng)育之恩，無(wú)以回報(bào)。作為他們的孩子，我秉承了他們樸實(shí)、堅(jiān)韌的性格，也因此我有足夠的信心和能力戰(zhàn)勝前進(jìn)路上的艱難險(xiǎn)阻；也因?yàn)樗麄兊娜找剐羷?，我才有機(jī)會(huì)如愿完成自己的大學(xué)學(xué)業(yè)，進(jìn)而取得進(jìn)一步發(fā)展的機(jī)會(huì)。最后，我必須感謝我的朋友，正是因?yàn)樗麄兊臒o(wú)私幫助，我才得以順利完成該論文。西安文理學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論