【文章內(nèi)容簡介】 。計(jì)及測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為： （） 其中是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。設(shè) （） 為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。則第m個陣元的輸出信號為： （）其中是第k個信號源在陣元上的信號強(qiáng)度。運(yùn)用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達(dá)式： X=AS+N （ ）式中 （） （） = （） （） （） 對進(jìn)行N點(diǎn)采樣，要處理的問題就變成了通過輸出信號的采樣估計(jì)出信號源的波達(dá)方向角。由此，可以很自然的將陣列信號看作是噪聲干擾的若干空間諧波的疊加，從而將波達(dá)方向估計(jì)問題與譜估計(jì)聯(lián)系起來。對陣列輸出x作相關(guān)處理，得到其協(xié)方差矩陣： （） 其中，H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。前面已假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān)、且噪聲為零均值白噪聲，因此將式()代入式()，可以得到： = = （）式中 （） 稱為信號的相關(guān)矩陣。 （） 是噪聲的相關(guān)矩陣，是噪聲功率，I是M*M階的單位矩陣。實(shí)際應(yīng)用中，通常無法直接得到，能使用的只有樣本的協(xié)方差矩陣： （）是的最大似然估計(jì)，當(dāng)采樣數(shù)時，它們是一致的，但實(shí)際情況中將由于樣本數(shù)有限而造成誤差。根據(jù)矩陣特征分解的理論，可以對陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解。首先考慮理想情況，即無噪聲的情況： （） 對于均勻線陣，矩陣A是由式()所定義的范德蒙德矩陣，只要滿足： （） 則，它的各列相互獨(dú)立，這樣，若為非奇異矩陣（，各信號源兩兩不相干），且MD，則有： （） 由于，所以有： （） 即是Hermite矩陣，它的特征值都是實(shí)數(shù)。又由于是正定的，因此矩陣是半正定的，它有D個正特征值和MD個零特征值。再考慮有噪聲存在的情況 （） 由于0，為滿秩陣，所以有M個正實(shí)特征值，分別對應(yīng)于M個特征向量。又由于是Hermite矩陣，所以各特征向量是相互正交的，即： （） 與信號有關(guān)的特征值只有D個，分別等于矩陣的各特征值與之和，其余的MD個特征值為，也就是說，是R的最小特征值，它是MD維的。對應(yīng)的特征向量，i=1,2，…，M中，也有D個是與信號有關(guān)的，另外MD個是與噪聲有關(guān)的，在下一節(jié)里，將利用以上這些特征分解的性質(zhì)求出信號源的波達(dá)方向。 MUSIC算法的原理及實(shí)現(xiàn)通過對陣列協(xié)方差矩陣的特征分解，可以得到如下結(jié)論：將矩陣的特征值進(jìn)行從小到大的排序，即 （） 其中D個較大的特征值對應(yīng)于信號，MD個較小的特征值對應(yīng)于噪聲。矩陣的屬于這些特征值的特征向量也分別對應(yīng)于信號和噪聲，因此，可以把的特征值(特征向量)劃分為信號特征值(特征向量)與噪聲特征值(特征向量)。設(shè)是矩陣的第i個特征值，是與個相對應(yīng)的特征向量，則有： （） 再設(shè)是的最小特征值 i=D+1，D+2，…M （） 將 （）代入上式，可得： （） 將上式右邊展開與左邊比較，可得： （） 因是D*D維的滿秩矩陣，存在；而同樣存在，則上式兩邊同乘以后變成： （） 于是有 i=D+1，D+2，…，M （） 上式表明：噪聲特征值所對應(yīng)的特征向量(稱噪聲特征向量)，與矩陣A的列向量正交，而A的各列是與信號源的方向相對應(yīng)的。這就是利用噪聲特征向量求解信號源方向的出發(fā)點(diǎn)。用各噪聲特征向量為列，構(gòu)造一個噪聲矩陣： （） 定義空間譜： = （） 該式中分母是信號向量和噪聲矩陣的內(nèi)積，當(dāng)和的各列正交時，該分母為零，但由于噪聲的存在，它實(shí)際上為一最小值，因此有一尖峰。由該式，使變化，通過尋找波峰來估計(jì)到達(dá)角。MUSIC算法的實(shí)現(xiàn)步驟：(1)根據(jù)N個接收信號矢量得到下面協(xié)方差矩陣的估計(jì)值： （） 對上面得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解 （） (2)按特征值的大小順序，把與信號個數(shù)D相等的特征值和對應(yīng)的特征向量看作信號部分空間，把剩下的MD個特征值和特征向量看作噪聲部分空間。得到噪聲矩陣： i=D+1，D+2，…，M （） （） (3)使變化，按照式 （）來計(jì)算譜函數(shù)，通過尋求峰值來得到波達(dá)方向的估計(jì)值。 MUSIC算法的改進(jìn)在模型準(zhǔn)確的前提下，MUSIC算法對DOA的估計(jì)理論上可以達(dá)到任意高的分辨率。但是，MUSIC算法研究的信號僅僅限于非相關(guān)的信號，當(dāng)信號源是相關(guān)信號或者相隔比較近的小信噪比信號時，MUSIC算法的估計(jì)性能惡化，甚至完全失效。本節(jié)簡單介紹一下通過對MUSIC算法數(shù)據(jù)陣的共軛重構(gòu)提出的一種改進(jìn)的MUSIC算法。做一變換矩陣J,J是M階反單位矩陣，稱為轉(zhuǎn)換矩陣，即 （）令Y=JX*,其中X*是X的復(fù)共軛，則數(shù)據(jù)矩陣Y的協(xié)方差矩陣為 （）由Rx和Ry之和得到共軛重構(gòu)后的矩陣 （）根據(jù)矩陣?yán)碚?，矩陣Rx，Ry和R具有相同的噪聲子空間。對R進(jìn)行特征分解求出其特征值及對應(yīng)的特征向量，根據(jù)估計(jì)的信號源數(shù)可以從特征向量中分出噪聲子空間，用新的噪聲子空間構(gòu)造空間譜，通過尋求峰值來得到波達(dá)方向的估計(jì)值。第四章 MUSIC算法的DOA估計(jì)仿真 MUSIC算法的基本仿真模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，陣元數(shù)為10，采樣快拍次數(shù)為200。其仿真結(jié)果如圖41所示：圖41 MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖41可以看出在符合假設(shè)的前提下，采用MUSIC算法能構(gòu)造出針狀的譜峰，可以很好的估計(jì)出入射信號的個數(shù)和方向，能有效的估計(jì)出獨(dú)立信號源的DOA,并且在模型準(zhǔn)確的前提下，對DOA的估計(jì)可以達(dá)到任意精度，克服了傳統(tǒng)測向定位方法精度低的缺點(diǎn) ,可以有效解決密集信號環(huán)境中多個輻射源的高分辨率、高精度測向定位問題?？梢钥闯龀直媛实?MUSIC算法具有測向準(zhǔn)確度、靈敏度高的特點(diǎn)且具有潛在分辨多信號的能力，具有較好的性能和較高的效率，能提供高分辨率及漸近無偏的到達(dá)角估計(jì)，這對實(shí)際中的應(yīng)用具有十分重要的意義。 MUSIC算法DOA估計(jì)與陣元數(shù)的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，快拍數(shù)為200，信噪比為20dB，陣元數(shù)分別為10，50，100。其仿真結(jié)果如圖42所示：圖42陣元數(shù)不同時MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖42可以看出，其他條件不變的情況下，隨著陣元數(shù)的增加，DOA估計(jì)譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，也就是說陣列分辨空間信號的能力增強(qiáng)。由此可以看出，要得到更加精確的DOA估計(jì)譜，可以增加陣元數(shù)量，但陣元數(shù)量越多，需要處理的數(shù)據(jù)越多，運(yùn)算量越大，運(yùn)行速度越慢。由上圖可以看出陣元數(shù)為50和100的波束寬度相差不多。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)具體條件適當(dāng)選取陣元數(shù)量，在確保估計(jì)譜準(zhǔn)確的前提下，盡量減少資源浪費(fèi)，加快運(yùn)行的速度，提高工作效率。 MUSIC算法DOA估計(jì)與陣元間距的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，快拍數(shù)為200，信噪比為20dB，陣元間距分別為//其仿真結(jié)果如圖43所示：圖43 陣元間距不同時MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖43可以看出，在其他條件不變的前提下，當(dāng)陣元間距不大于半波長時，隨著陣元間距的增加，DOA估計(jì)譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，也就是說MUSIC算法的分辨力隨著陣元間距的加大相應(yīng)提高，但當(dāng)陣元間距大于半波長時，估計(jì)譜除了信號源方向外在其他方向出現(xiàn)了虛假譜峰，也就失去了估計(jì)的準(zhǔn)確性?？梢?，在實(shí)際應(yīng)用中，要十分注意陣元間的距離，可以適當(dāng)增加陣元間距但絕不能超過半波長，這一點(diǎn)非常重要，最好是將陣元間距設(shè)為半波長。 MUSIC算法DOA估計(jì)與快拍數(shù)的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，快拍數(shù)分別為5，50，200。其仿真結(jié)果如圖44所示：圖44 快拍數(shù)不同時MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖44可以看出，在其他條件不變的情況下，隨著快拍數(shù)的增加，DOA估計(jì)譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，陣列分辨空間信號的能力增強(qiáng)，MUSIC算法的估計(jì)精度增加。由此可見，可通過增加采樣快拍數(shù)來增加DOA估計(jì)的精確度，但是采樣快拍數(shù)越多，需要處理的數(shù)據(jù)就越多，MUSIC算法的運(yùn)算量就越大，速度就越慢，所以在實(shí)際應(yīng)用中要合理的選取采樣快拍數(shù)，在確定DOA估計(jì)譜準(zhǔn)確的前提下，盡量減少運(yùn)算量，加快工作速度，節(jié)省人力物力，節(jié)約資源。 MUSIC算法DOA估計(jì)與信噪比的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，陣元間距為入射信號波長的1／2，快拍數(shù)為200，信噪比分別為20dB，0dB，20dB。其仿真結(jié)果如圖45所示：圖45 信噪比不同時MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖45可以看出，在其他條件不變的情況下，隨著信噪比的增加，DOA估計(jì)譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，MUSIC算法的分辨力增加，信噪比的高低直接影響著超分辨方位估計(jì)算法的性能。在低信噪比時，MUSIC算法的性能會急劇下降，因而提高算法在低信噪比條件下的估計(jì)性能是超分辨DOA算法的研究重點(diǎn)。有學(xué)者提出了一種基于多級維納濾波器(MSWF：Multistage Weiner Filtering)的信號波達(dá)方向(DOA)估計(jì)算法，該算法在信號可能入射方向用MSWF 估計(jì)信號子空間，并在 MSWF 分解后互相關(guān)函數(shù)最小以及信號子空間估值與噪聲子空間正交時判定估計(jì)有效，進(jìn)而構(gòu)造空間譜來實(shí)現(xiàn)信號 DOA 估計(jì)。已證明在低信噪比條件下，該算法比子空間類算法有更好的分辨率和誤差性能。低信噪比條件下對DOA的精確估計(jì)還有很大的發(fā)展改進(jìn)空間，有待進(jìn)一步研究。 MUSIC算法DOA估計(jì)與信號入射角度差的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣列的陣元數(shù)為10，快拍數(shù)為200。陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，信號入射角度差分別為5176。，10176。，201