【文章內(nèi)容簡介】 。計及測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為： （） 其中是測量噪聲，所有標號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標號為k表示該量屬于第k個信號源。設(shè) （） 為第m個陣元對第k個信號源的響應函數(shù)。則第m個陣元的輸出信號為： （）其中是第k個信號源在陣元上的信號強度。運用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達式： X=AS+N （ ）式中 （） （） = （） （） （） 對進行N點采樣，要處理的問題就變成了通過輸出信號的采樣估計出信號源的波達方向角。由此，可以很自然的將陣列信號看作是噪聲干擾的若干空間諧波的疊加，從而將波達方向估計問題與譜估計聯(lián)系起來。對陣列輸出x作相關(guān)處理，得到其協(xié)方差矩陣： （） 其中，H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。前面已假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān)、且噪聲為零均值白噪聲，因此將式()代入式()，可以得到： = = （）式中 （） 稱為信號的相關(guān)矩陣。 （） 是噪聲的相關(guān)矩陣，是噪聲功率，I是M*M階的單位矩陣。實際應用中，通常無法直接得到，能使用的只有樣本的協(xié)方差矩陣： （）是的最大似然估計，當采樣數(shù)時，它們是一致的，但實際情況中將由于樣本數(shù)有限而造成誤差。根據(jù)矩陣特征分解的理論，可以對陣列協(xié)方差矩陣進行特征分解。首先考慮理想情況，即無噪聲的情況： （） 對于均勻線陣，矩陣A是由式()所定義的范德蒙德矩陣，只要滿足： （） 則，它的各列相互獨立，這樣，若為非奇異矩陣（，各信號源兩兩不相干），且MD，則有： （） 由于，所以有： （） 即是Hermite矩陣，它的特征值都是實數(shù)。又由于是正定的，因此矩陣是半正定的，它有D個正特征值和MD個零特征值。再考慮有噪聲存在的情況 （） 由于0，為滿秩陣，所以有M個正實特征值，分別對應于M個特征向量。又由于是Hermite矩陣，所以各特征向量是相互正交的，即： （） 與信號有關(guān)的特征值只有D個，分別等于矩陣的各特征值與之和，其余的MD個特征值為，也就是說，是R的最小特征值，它是MD維的。對應的特征向量，i=1,2，…，M中，也有D個是與信號有關(guān)的，另外MD個是與噪聲有關(guān)的，在下一節(jié)里，將利用以上這些特征分解的性質(zhì)求出信號源的波達方向。 MUSIC算法的原理及實現(xiàn)通過對陣列協(xié)方差矩陣的特征分解，可以得到如下結(jié)論：將矩陣的特征值進行從小到大的排序，即 （） 其中D個較大的特征值對應于信號，MD個較小的特征值對應于噪聲。矩陣的屬于這些特征值的特征向量也分別對應于信號和噪聲，因此，可以把的特征值(特征向量)劃分為信號特征值(特征向量)與噪聲特征值(特征向量)。設(shè)是矩陣的第i個特征值，是與個相對應的特征向量，則有： （） 再設(shè)是的最小特征值 i=D+1，D+2，…M （） 將 （）代入上式，可得： （） 將上式右邊展開與左邊比較，可得： （） 因是D*D維的滿秩矩陣，存在；而同樣存在，則上式兩邊同乘以后變成： （） 于是有 i=D+1，D+2，…，M （） 上式表明：噪聲特征值所對應的特征向量(稱噪聲特征向量)，與矩陣A的列向量正交，而A的各列是與信號源的方向相對應的。這就是利用噪聲特征向量求解信號源方向的出發(fā)點。用各噪聲特征向量為列，構(gòu)造一個噪聲矩陣： （） 定義空間譜： = （） 該式中分母是信號向量和噪聲矩陣的內(nèi)積，當和的各列正交時，該分母為零，但由于噪聲的存在，它實際上為一最小值，因此有一尖峰。由該式，使變化，通過尋找波峰來估計到達角。MUSIC算法的實現(xiàn)步驟：(1)根據(jù)N個接收信號矢量得到下面協(xié)方差矩陣的估計值： （） 對上面得到的協(xié)方差矩陣進行特征值分解 （） (2)按特征值的大小順序，把與信號個數(shù)D相等的特征值和對應的特征向量看作信號部分空間，把剩下的MD個特征值和特征向量看作噪聲部分空間。得到噪聲矩陣： i=D+1，D+2，…，M （） （） (3)使變化，按照式 （）來計算譜函數(shù)，通過尋求峰值來得到波達方向的估計值。 MUSIC算法的改進在模型準確的前提下，MUSIC算法對DOA的估計理論上可以達到任意高的分辨率。但是，MUSIC算法研究的信號僅僅限于非相關(guān)的信號，當信號源是相關(guān)信號或者相隔比較近的小信噪比信號時，MUSIC算法的估計性能惡化，甚至完全失效。本節(jié)簡單介紹一下通過對MUSIC算法數(shù)據(jù)陣的共軛重構(gòu)提出的一種改進的MUSIC算法。做一變換矩陣J,J是M階反單位矩陣，稱為轉(zhuǎn)換矩陣，即 （）令Y=JX*,其中X*是X的復共軛，則數(shù)據(jù)矩陣Y的協(xié)方差矩陣為 （）由Rx和Ry之和得到共軛重構(gòu)后的矩陣 （）根據(jù)矩陣理論，矩陣Rx，Ry和R具有相同的噪聲子空間。對R進行特征分解求出其特征值及對應的特征向量，根據(jù)估計的信號源數(shù)可以從特征向量中分出噪聲子空間，用新的噪聲子空間構(gòu)造空間譜，通過尋求峰值來得到波達方向的估計值。第四章 MUSIC算法的DOA估計仿真 MUSIC算法的基本仿真模擬2個獨立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，陣元數(shù)為10，采樣快拍次數(shù)為200。其仿真結(jié)果如圖41所示：圖41 MUSIC算法的DOA估計譜由圖41可以看出在符合假設(shè)的前提下，采用MUSIC算法能構(gòu)造出針狀的譜峰，可以很好的估計出入射信號的個數(shù)和方向，能有效的估計出獨立信號源的DOA,并且在模型準確的前提下，對DOA的估計可以達到任意精度，克服了傳統(tǒng)測向定位方法精度低的缺點 ,可以有效解決密集信號環(huán)境中多個輻射源的高分辨率、高精度測向定位問題?？梢钥闯龀直媛实?MUSIC算法具有測向準確度、靈敏度高的特點且具有潛在分辨多信號的能力，具有較好的性能和較高的效率，能提供高分辨率及漸近無偏的到達角估計，這對實際中的應用具有十分重要的意義。 MUSIC算法DOA估計與陣元數(shù)的關(guān)系模擬2個獨立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，快拍數(shù)為200，信噪比為20dB，陣元數(shù)分別為10，50，100。其仿真結(jié)果如圖42所示：圖42陣元數(shù)不同時MUSIC算法的DOA估計譜由圖42可以看出，其他條件不變的情況下，隨著陣元數(shù)的增加，DOA估計譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，也就是說陣列分辨空間信號的能力增強。由此可以看出，要得到更加精確的DOA估計譜，可以增加陣元數(shù)量，但陣元數(shù)量越多，需要處理的數(shù)據(jù)越多，運算量越大，運行速度越慢。由上圖可以看出陣元數(shù)為50和100的波束寬度相差不多。因此，在實際應用中，可根據(jù)具體條件適當選取陣元數(shù)量，在確保估計譜準確的前提下，盡量減少資源浪費，加快運行的速度，提高工作效率。 MUSIC算法DOA估計與陣元間距的關(guān)系模擬2個獨立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，快拍數(shù)為200，信噪比為20dB，陣元間距分別為//其仿真結(jié)果如圖43所示：圖43 陣元間距不同時MUSIC算法的DOA估計譜由圖43可以看出，在其他條件不變的前提下，當陣元間距不大于半波長時，隨著陣元間距的增加，DOA估計譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，也就是說MUSIC算法的分辨力隨著陣元間距的加大相應提高，但當陣元間距大于半波長時，估計譜除了信號源方向外在其他方向出現(xiàn)了虛假譜峰，也就失去了估計的準確性?？梢?，在實際應用中，要十分注意陣元間的距離，可以適當增加陣元間距但絕不能超過半波長，這一點非常重要，最好是將陣元間距設(shè)為半波長。 MUSIC算法DOA估計與快拍數(shù)的關(guān)系模擬2個獨立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，快拍數(shù)分別為5，50，200。其仿真結(jié)果如圖44所示：圖44 快拍數(shù)不同時MUSIC算法的DOA估計譜由圖44可以看出，在其他條件不變的情況下，隨著快拍數(shù)的增加，DOA估計譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，陣列分辨空間信號的能力增強，MUSIC算法的估計精度增加。由此可見，可通過增加采樣快拍數(shù)來增加DOA估計的精確度，但是采樣快拍數(shù)越多，需要處理的數(shù)據(jù)就越多，MUSIC算法的運算量就越大，速度就越慢，所以在實際應用中要合理的選取采樣快拍數(shù)，在確定DOA估計譜準確的前提下，盡量減少運算量，加快工作速度，節(jié)省人力物力，節(jié)約資源。 MUSIC算法DOA估計與信噪比的關(guān)系模擬2個獨立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元數(shù)為10，陣元間距為入射信號波長的1／2，快拍數(shù)為200，信噪比分別為20dB，0dB，20dB。其仿真結(jié)果如圖45所示：圖45 信噪比不同時MUSIC算法的DOA估計譜由圖45可以看出，在其他條件不變的情況下，隨著信噪比的增加，DOA估計譜的波束寬度變窄，陣列的指向性變好，MUSIC算法的分辨力增加，信噪比的高低直接影響著超分辨方位估計算法的性能。在低信噪比時，MUSIC算法的性能會急劇下降，因而提高算法在低信噪比條件下的估計性能是超分辨DOA算法的研究重點。有學者提出了一種基于多級維納濾波器(MSWF：Multistage Weiner Filtering)的信號波達方向(DOA)估計算法，該算法在信號可能入射方向用MSWF 估計信號子空間，并在 MSWF 分解后互相關(guān)函數(shù)最小以及信號子空間估值與噪聲子空間正交時判定估計有效，進而構(gòu)造空間譜來實現(xiàn)信號 DOA 估計。已證明在低信噪比條件下，該算法比子空間類算法有更好的分辨率和誤差性能。低信噪比條件下對DOA的精確估計還有很大的發(fā)展改進空間，有待進一步研究。 MUSIC算法DOA估計與信號入射角度差的關(guān)系模擬2個獨立窄帶信號入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣列的陣元數(shù)為10，快拍數(shù)為200。陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，信號入射角度差分別為5176。，10176。，201