【文章內容簡介】 并能在偏差值變得太大之前，在系統(tǒng)中能引入一個有效地早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調節(jié)時間[16]。數字PID控制由于數字處理器只能計算數字量，無法進行連續(xù)PID運算，所以若使用數字處理器來實現PID算法，則必須對PID算法進行離散化。數字PID調節(jié)器的設計可以通過首先用經典控制理論設計出性能比較滿意的模擬調節(jié)器，然后通過離散化方法得到[17]。PID算法的離散化有位置式和增量式兩種常用實現方式[18]。按模擬PID控制算法，一系列的采樣時刻點kT代替連續(xù)時間t，以矩形法數值積分近似代替積分，以一階向后差分近似代替微分，即可得位置式離散PID表達式為： ()式中。T為采樣周期，k為采樣序號，k＝1，2，……，e（k－1）和e（k）分別為第（k－1）和k時刻所得的偏差信號。當執(zhí)行機構需要的是控制量的增量時，采用增量式PID控制算法。增量式PID控制算法表達式為： ()PID控制是在經典控制理論的基礎上，通過長期的工程實踐總結形成的一種控制方法。由于目前混合磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)特性還不能完全被人們掌握，很難得到系統(tǒng)精確的數學模型，難以滿足應用控制理論進行分析和綜合的各種要求。而PID控制方案由于它的靈活性和適應性很強，在工程上更加易于實現。而且，它在自動調節(jié)控制的基礎上還保留人工參與管理和參數便于調整的特點，所以PID控制仍然是首選的控制策略之一。 在本設計中，由于是利用MATLAB來是實現PID控制，故直接調用MATLAB中自帶的PID模塊，僅需要確定PID控制器的參數就可以設計數字PID控制器。二、PID控制參數整定 PID控制算法參數的整定就是選擇Kp、Kd、Ki幾個參數，使相應計算機控制系統(tǒng)輸出的動態(tài)響應滿足幾個性能指示。PID參數整定一般有兩種方法，理論設計法和實驗確定法。用理論設計法確定PID控制參數的前提是要有被控對象準確的數學模型，并且理論設計法都要求系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，這些是一般工業(yè)很難做到的。磁懸浮系統(tǒng)是強非線性系統(tǒng)，在實際過程中存在很多非線性因素干擾并且在平衡點線性化得到的系統(tǒng)模型是忽慮了很多非線性因素后得的方法[19]。工程試驗法簡介 工程試驗法是通過仿真和實際運行，觀察系統(tǒng)對典型輸入作用的響應曲線，根據各控制參數對系統(tǒng)的影響，反復調節(jié)實驗，直到滿意為止，從而確定PID參數。根據理論可知： 從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應速度、超調量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來考慮，各參數的作用如下： ?比例系數Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應速度，提高系統(tǒng)的調節(jié)精度。Kp越大，系統(tǒng)的響應速度越快，系統(tǒng)的調節(jié)精度越高，但是容易產生超調，甚至會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kp的值過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調節(jié)精度。 ?積分作用系數Ki的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。Ki 越大，及積分時間越短，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差消除的越快，但是Ki過大，在響應過程的初期會產生積分飽和現象，從而引起響應過程的較大超調；若Ki過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調節(jié)精度。?微分作用系數Kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，其作用主要是在系統(tǒng)過程中抑制偏差向任何方向的變化，對偏差變化進行響應。Kd過大，會使響應過程提前制動，從而影響調節(jié)時間，同時Kd對于噪聲還有放大作用，會降低系統(tǒng)的抗干擾性能。工程實驗法步驟 在工程實驗時，參考各參數對控制過程的響應趨勢，實行先比例，后積分，在微分的反復調整。其具體整定步驟如下： ?整定比例系數 先將PID 控制器其中的Kd 為0，Ki為無窮，使之成為比例控制器，再將比例系數由小變大觀察相應的響應，使系統(tǒng)的過渡過程達到4：1衰減的響應曲線，最優(yōu)比例系數由此確定。 ?加入積分環(huán)節(jié) 如果只用比例控制，系統(tǒng)的靜差不能滿足要求，則只需加入積分環(huán)節(jié)整定時，先將比例系數減小10％—20％，以補償加入積分環(huán)節(jié)作用而引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，然后由大到小調節(jié)Ki ，在保持系統(tǒng)良好動態(tài)性能的情況下消除靜差。這一步可以反復進行，直到達到滿意的控制效果。 ?加入微分環(huán)節(jié) 經上兩步調整后，若系統(tǒng)動態(tài)性能不能讓人滿意，可以加入積分環(huán)節(jié)，構成PID控制器。整定時，先置Kd為0，然后，在第二步的基礎上在加大Kd，同時相應的改變比例系數和積分系數，最終達到滿意的控制效果。三、磁懸浮系統(tǒng)中的PID控制對于磁懸浮試驗系統(tǒng)輸出量為小球的位置x，其平衡位置為x0（在被控范圍內可任意設定）。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數G（s）為 ()式中： ——傳感器的傳遞函數 ——PID控制器傳遞函數 ——受控對象的傳遞函數 ——功率放大器的傳遞函數 被控對象傳遞函數是： () PID控制器的傳遞函數是： () 傳感器和功率放大器的傳遞函數分別是： () ()。運用工程試驗法對PID控制器的三個參數進行調節(jié)。如上章內容所講，圖中階躍響應圖表現出穩(wěn)定性、超調量和響應速度都不很理想，需進行調節(jié)。 ?調節(jié)比例系數Kd，使增快系統(tǒng)響應速度，減小系統(tǒng)調節(jié)時間Kp=（Ki=,Kd=） Kp=（Ki=,Kd=） Kp改變的階躍響應圖?調節(jié)參數Ki，使更快的消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差Ki=（Kp=,Kd=） Ki=（Kp=,Kd=） Ki改變的階躍響應圖?調節(jié)參數Kd，以保證系統(tǒng)的動態(tài)性能Kd=（Kp=,Ki= Kd=（Kp=,Ki=） Kd改變的階躍響應圖、圖4和圖5可知，Kp越大，系統(tǒng)響應速度越快，可減少系統(tǒng)調節(jié)時間；Ki越大，系統(tǒng)靜差消除越快；Kd能有效地減少超調。結合以上規(guī)律多次試驗，進一步調節(jié)PID參數，當Kp、此時系統(tǒng)的上升時間，超調量和調節(jié)時間等動態(tài)性能綜合相對較好。 閉環(huán)階躍響應曲線第二節(jié) 根軌跡控制器的設計和調試一、根軌跡法的基本概念和原理一個控制系統(tǒng)的全部性質，取決與系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數，因此，可以根據閉環(huán)傳遞函數的極、零點間接地研究控制系統(tǒng)的性能。但對于高價系統(tǒng)，采用解析法求取系統(tǒng)的閉環(huán)極點通常是比較困難的。1948年，并且在控制系統(tǒng)的分析與設計中得到廣泛的應用[20]。這一方法不直接求解特征方程，用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)某一參數的全部數值關系，當這一參數取特定值時，對應的特征根可在上述關系圖中找到。這種方法叫根軌跡法。根軌跡法具有直觀的特點，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結構和參數已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應特性，還可分析參數變化對系統(tǒng)性能的影響。在設計線性控制系統(tǒng)時，可以根據對系統(tǒng)性能指標的要求確定可調整參數以及系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析和綜合。任何一個系統(tǒng)，可用傳遞函數模型描述。傳遞函數模型表示為： () 將傳遞函數的分子和分母多項式分解，其特征根分別是系統(tǒng)的零點和極點，系統(tǒng)的增益是。 設 () ()則得到零點模型： ()根軌跡分析方法是分析開環(huán)系統(tǒng)的零極點位置與某一參數變化時，該參數變化的軌跡與組成的閉環(huán)系統(tǒng)零極點之間的關系，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他性能指標的方法。根軌跡法較正是基于根軌跡分析法，通過增加新的（或者消去原有的）開環(huán)零點或者開環(huán)極點來改正原根軌跡走向，得到新的閉環(huán)極點從而使系統(tǒng)可以實現給定的性能指標來達到系統(tǒng)設計要求的。①增加開環(huán)極點對系統(tǒng)的影響首先，增加了新的開環(huán)極點，根據根軌跡實軸分布法則，可以改變原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。其結果是系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞，這與系統(tǒng)的階數增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差的結果是一致的。②增加開環(huán)零點對系統(tǒng)的影響增加了新的開環(huán)零點，根據根軌跡實軸分布法則，也改變了原有根軌跡的實軸分布情況；另外可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移。其結果是系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善，系統(tǒng)的動態(tài)性能變好，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到滿足。③增加偶極子對系統(tǒng)的影響實軸上有一對距離很近的開環(huán)零點和極點，則把他們稱為偶極子。增加偶極子可以做到：（1）基本不改變原有根軌跡；（2）改變開環(huán)增益Ko，改善穩(wěn)態(tài)性能。二、磁懸浮系統(tǒng)的根軌跡校正 由上節(jié)內容已經得到，開環(huán)傳遞函數，即控制對象的傳遞函數為: ()將其轉換為零極點形式為： () 用MATLAB可以繪制其根軌跡圖。其中，三個開環(huán)極點分別為：P1=，P2=，P3=。 開環(huán)根軌跡圖，磁懸浮控制系統(tǒng)有一個極點位于右半平面，同時，也有一根軌跡始終在右面，因此，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，要實現對磁懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，設計的控制器必須對根軌跡進行校正。由理論知識可知，增加開環(huán)極點，可以改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以改變原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。增加開環(huán)零點，可以也改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移，增加系統(tǒng)的平穩(wěn)性。結合上面所畫圖形，需要使得每條根軌跡都要存在于s左半平面，因此，首先添加一新零點將根軌跡往左移動：那么，可以增加一補償裝置。 補償裝置電路圖該裝置的傳遞函數為： ()式中，那么，只要將此零點的大小設為（,0）區(qū)間的任一數值，只要去適當的增益則有可能達到要求。假設取零點為20，則新的開環(huán)函數變?yōu)椋? ()。此時，我們發(fā)現只要取適當的Kgc，有可能得到較好的效果，通過多次用試驗驗證后，發(fā)現將零點取為=10時響應速度和穩(wěn)態(tài)性能較好些。那么，校正裝置的傳遞函數為： ()其中，為待定補償增益值。 這樣，帶有微分校正裝置的新的開環(huán)傳遞函數成為 ()。 較正后根軌跡圖 經過多次試驗，當取時，系統(tǒng)性能相對更好一些。 補償后階躍響應圖 ，經校正后系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，反應速度也較快，但存在較大的振蕩，可以再設計一阻尼系數比較大的校正裝置使系統(tǒng)性能更好。第三節(jié) 頻率響應控制器的設計和調試一、頻率響應法的基本概念和分析當輸入信號是階躍信號或脈沖信號時，常采用響應曲線分析方法對控制系統(tǒng)進行分析。當輸入時正弦周期函數信號時，改變輸入信號的頻率，可得到系統(tǒng)輸出與輸入振幅之比和頻率的關系和輸出與輸入相位差和頻率的關系，這兩種關系稱為系統(tǒng)的頻率特性。前者稱為幅頻特性，后者稱為相頻特性。在頻率分析法中，以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數學模型，以伯德圖或者其他圖表作為分析工具，來研究、分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。頻率分析法也適應于線性定常系統(tǒng)，由于時間信號在變換域中為無窮多頻譜成分的線性組合，而線性定常系統(tǒng)滿足疊加原理，所以，分析、研究線性系統(tǒng)對于時間信號的所有頻譜成分的響應特性，就是頻率分析的應用目的。以傳遞函數作為線性定常系統(tǒng)的數學模型，表示為 ()這是一個復自變量的復變函數。由于，令s的實部為零時，就可以得到另一個復變函數表示為 ()復變函數的自變量為頻率，因此將其稱為頻率特性。 由于的實部和虛部分別都是的函數，所以可以表示為： ()式中，為的實部； 為的虛部。另外，還可以用的模和幅值來表示為 ()式中，為的幅值； ，為的相位。 線性系統(tǒng)在輸入一個正弦信號時，它的穩(wěn)態(tài)輸出響應也是一個同頻率的正弦信號，但是幅值與相位不同。在式()中，幅值是頻率的函數，隨頻率的變化而變化，因此稱為的幅頻特性。幅角也是的函數，隨頻率的不同有不同的相位角，因此稱為的相頻特特性。這樣，一復變函數來表示的頻率特性常常以和來表示。從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號的復數符號與輸入正弦信號的復數符號之比，但是，為了研究頻率特性更為廣泛的內涵，必須從信號與系統(tǒng)的關系出發(fā)，研究其更為深刻的實質涵義。因此，可以用時間信號在變換域中的表示來確定頻率特性的定義。頻率法分析是基于頻率特性，借助于各種作圖法來進行系統(tǒng)的分析與綜合的。因此，頻率特性有以下兩種作圖表示方法：極坐標圖，又稱為幅相圖、奈奎斯特圖；對數坐標圖，又稱為波德圖。其中，由于波德圖由于方便使用，被廣泛地應用于控制系統(tǒng)分析時的作圖。二、磁懸浮系統(tǒng)中的頻率響應 由第一節(jié)內容已經得到，開環(huán)傳遞函數，即控制對象的傳遞函數為: ()即是 () 。 未補償頻率響應圖，該系統(tǒng)明顯不穩(wěn)定。且由式()看出，系統(tǒng)在s右半平面有一極點，所以，此系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。，系統(tǒng)此時變成最小相位系統(tǒng)。那么，可以根據頻率校正法對系統(tǒng)進行校正。 bode圖,穩(wěn)態(tài)性能明顯不滿足，需要將開環(huán)增益大小向上提升。那么，給系統(tǒng)增加一超前滯后校正控制器，根據要求，控制器選擇如下： ()。 超前－滯后網絡圖假設需要的，調節(jié)時間不超過2s。觀察未校正系統(tǒng)的對數幅頻特性，可以選擇作為校正網絡超前部分的轉折頻率。根據響應速度要求，選擇校正后系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率。 ()又根據公式 ()推出 ()此時，超前滯后校正網絡的傳遞函數可寫為：