正向思維與逆向思維(編輯修改稿)
2025-07-23 19:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 斷；這是初中幾何核心定理的逆命題；這是類(lèi)型相同而結(jié)論不同的“題組題”，題（1）為真，可以證明，題（2）為假，可以舉反例。同時(shí)，舉反例訓(xùn)練也是培養(yǎng)逆向思維的重要手段。 習(xí)題講評(píng)，應(yīng)該給學(xué)生展示思維的過(guò)程。在此，重點(diǎn)向?qū)W生講清楚分析與綜合的兩種思維過(guò)程。所謂綜合，是從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因?qū)Ч?，是正向思維；所謂分析，是從“未知”看“須知”，逐步靠近“已知”，即執(zhí)果索因，是逆向思維。 圖2案例5：如圖2，△ABC中，∠B=2∠A，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，求證：b2=a2+ac。點(diǎn)評(píng)：已知中只有角的關(guān)系，沒(méi)有任何邊的關(guān)系，如何由“角”推向“邊”？感覺(jué)很困難，正向的綜合思維路難行。不妨用逆向的分析思維：要證：b2=a2+ac，只需：b2=a（a+c），只需：b∶a=（a+c）∶b，易知，線(xiàn)段比問(wèn)題找相似，聯(lián)想含b為公共邊的“基本圖形”（詳見(jiàn)系列談②），故延長(zhǎng)CB至D，使BD=BA，連DA，因此，只需：△ABC∽△DAC，因∠C已是公共角，所以，只需：∠CAB=∠D,貼近已知的“角”了。由于BD=BA，故∠DAB=∠D,所以，只需：∠CAB=∠CBA，其實(shí)，這就是已知條件思路接通了。如果不細(xì)細(xì)展示分析思維，最關(guān)鍵的輔助項(xiàng)的添法學(xué)生會(huì)覺(jué)得莫名其妙。不過(guò)書(shū)寫(xiě)建議還是以綜合法表達(dá)妥當(dāng)。對(duì)于解題思維中分析與綜合的程序，牛頓說(shuō)得好：“在自然科學(xué)里，應(yīng)該像在數(shù)學(xué)里一樣，在研究困難的事物時(shí)，都是應(yīng)當(dāng)先用分析的方法，然后才用綜合的方法”。前文指出，僅數(shù)學(xué)運(yùn)算就有許多正反兩向的互逆運(yùn)算，現(xiàn)以“通分”為例，請(qǐng)看幾道逆向思維訓(xùn)練示例。案例6：計(jì)算：。點(diǎn)評(píng)：這個(gè)過(guò)程是通分，逆過(guò)來(lái)這過(guò)程不妨稱(chēng)之為“裂項(xiàng)”，于是原式=，這就是“逆通分”的裂項(xiàng)相消法。類(lèi)似的例子還有，化簡(jiǎn)：（原式==）。案例7：將分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列好。點(diǎn)評(píng)：分子的最小公倍數(shù)為較小的數(shù)60，故本題另辟蹊徑“不通分母通分子”，輕松地比出大小。類(lèi)似的例子還有，比大?。号c，采用的策略是與“分母有理化”相反的“分子有理化”，=，=，兩數(shù)大小一目了然。案例8：化簡(jiǎn)：。點(diǎn)評(píng)：不用通常的整體通分，而是分三次“逐步通分”簡(jiǎn)便多了。類(lèi)似的例子還有，化簡(jiǎn)：。采用的策略則是“分組通分”。 利用復(fù)
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