傅里葉變換性質(zhì)證明(編輯修改稿)
2025-07-23 16:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，則有 F[F(t)]=2f() 從上式可以看出，當(dāng)f(t)為偶信號(hào)時(shí)，頻域和時(shí)域的對(duì)稱性完全成立――即f(t)的頻譜是F()，F(xiàn)(t)的頻譜為f()?！ ∪鬴(t)為奇信號(hào)，即f(t)=f(t)，則有 F[F(t)]=2f() 利用FT的對(duì)稱性，我們可以很方便地一些信號(hào)的傅里葉變換。下面我們舉些例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。 尺度變換 若F[f(t)]=F()，則 這里a是非零的實(shí)常數(shù)?！ ∠旅胬肍T的定義及積分的性質(zhì)，分a0和a0兩種情形來(lái)證明傅里葉變換的尺度變換特性?！ ∽C明：因?yàn)椤 ×頰t=x， 當(dāng)a 0時(shí) 當(dāng)a 0時(shí) 上述兩種情況可綜合成如下表達(dá)式： 由上可見(jiàn)，若信號(hào)f(t)在時(shí)域上壓縮到原來(lái)的1/a倍，則其頻譜在頻域上將展寬a倍，同時(shí)其幅度減小到原來(lái)的1/a。 尺度變換性質(zhì)表明，在時(shí)域中信號(hào)的壓縮對(duì)應(yīng)于頻域中信號(hào)頻帶的擴(kuò)展，反之，信號(hào)的時(shí)域擴(kuò)展對(duì)應(yīng)于頻域的壓縮。對(duì)于a=1的特殊情況，它說(shuō)明信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反褶等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反褶。 對(duì)傅里葉變換的尺度變換特性最通俗的解釋可以采用生活中的實(shí)例來(lái)說(shuō)明，在錄音帶快放時(shí)，其放音速度比原磁帶的錄制速度要快，這就相當(dāng)于信號(hào)在時(shí)間上受到了壓縮，于是其頻譜就擴(kuò)展，因而聽(tīng)起來(lái)就會(huì)感覺(jué)到聲音發(fā)尖，即頻率提高了。反之，當(dāng)慢放時(shí)，放音的速度比原來(lái)速度要慢，聽(tīng)起來(lái)就會(huì)感覺(jué)到聲音渾厚，即低頻比原來(lái)豐富了（頻域壓縮）。 時(shí)間平移(延時(shí)) 下面進(jìn)行證明 證明：
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