20xx傅里葉變換和拉普拉斯變換地性質(zhì)及應(yīng)用精品范文(編輯修改稿)
2025-01-11 22:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】
u(t)={1
t?0
t稱為單位階躍函數(shù)。
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（δ函數(shù)的傅里葉變換）
因?yàn)?br />?[δ(t)]=∫δ(t)e?iωt dt=e?iωt
+∞
?∞
|t=0=1?[δ(t?t0)]=∫δ(t?t0)e?iωt dt=e?iωt
+∞
?∞
|t=t
=e?iωt0所以
δ(t)
?
→
??1 ,
←
1， δ(t?t0)
?
→
??1 ,
←
e?iωt0
即δ(t)和1，δ(t?t0)和e?iωt0分別構(gòu)成了傅里葉變換對(duì)。
,，對(duì)需要求解的微分方程的兩邊取傅里葉變換，把它轉(zhuǎn)換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個(gè)方程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解，下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。
求積分方程
∫g(ω)sinωtdω=f(t)
+∞
的解g(ω)，其中
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f(t)={
π
2
sin t， 00， tπ
解該積分方程可改寫為
π
2
∫g(ω)sinωtdω=
π
2
f(t)
+∞
π
2
f(t)為的傅里葉正弦逆變換，故有：
g(ω)=∫
π
2
g(ω)sinωtdω=∫sintsinωtdt
π
+∞
=
1
∫[cos(1?ω)t?cos(1+ω)t]dt=
sinωπ
2
π
求積分方程
g(t)=?(t)+∫f(τ)
+∞
?∞
g(t?τ)dτ，
其中f(t)，?(t)是已知函數(shù)，而且f(t)，g(t)，?(t)的傅里葉變換存
在。
解設(shè)?[g(t)]=G(ω)，?[?(t)]=H(ω)。（卷積）可
知，方程右端第二項(xiàng)=f(t)?g(t)。故對(duì)方程兩邊取傅里葉變換，
根據(jù)卷積定理可得：
G(ω)=H(ω)+F(ω)G(ω)，
所以
G(ω)=
H(ω)
1?F(ω)
。
由傅里葉逆變換，求出原方程的解：
g(t)=
1
2π
∫G(ω)e?jωt
+∞
?∞
dω=
1
2π
∫
H(ω)
1?F(ω)
e?jωt
+∞
?∞
dω
求微分積分方程
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ax′(t)+bx(t)+c∫x(t)dt
t
?∞
=?(t)
的解，其中?∞?[x(t)]=X(ω)，?[?(t)]=H(ω)
對(duì)原方程兩邊取傅里葉變換：
ajωX(ω)+bX(ω)+c
jω
X(ω)=H(ω),
X(ω)=H(ω)
b+j(aω?c
ω
)
.
而上式的傅里葉逆變換為
x(t)=
1
2π
∫X(ω)e jωt
+∞
?∞
dω=
1
2π
∫
H(ω)
b+j(aω?
c
ω)
e jωt
+∞
?∞
dω
（一維波動(dòng)方程的初值問題）
用傅里葉變換求定解問題：
{
240。2u
240。t2
=
240。2u
240。x2，?
∞0
u|t=0=cosx，
240。u
240。t
|t=0=sinx，
解由于未知函數(shù)u(x,t)中x的變化范圍為(?∞，+∞)，
故對(duì)方程和初值條件關(guān)于x取傅里葉變換，記
?[u(x，t)]=U(ω，t)，
?[
240。2u
240。x2
]=(jω)2U(ω，t)=?ω2U(ω，t)，
?[
240。2u
240。t2
]=
240。2
240。t2
?[u(x，t)]=
d2
dt2
U(ω，t)，
?[cosx]=π[δ(ω+1)+δ(ω?1)]，
?[sinx]=πj[δ(ω+1)?δ(ω?1)]。
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定解問題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞喀氐某踔祮栴}：
{
d2U
dt2
=?ω2U，
U|t=0=π[δ(ω+1)+δ(ω?1)]，
dU
dt
|t=0=πj[δ(ω+1)?δ(ω?1)
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