傅立葉變換時域頻域(編輯修改稿)
2025-07-23 15:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 60。所以在 傅立葉公式5 中就消除了“負頻率”這里給出了五種 傅立葉級數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價的，并可互相推導出來。傅立葉積分(非周期性函數(shù))非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來得出頻譜。因為這個函數(shù)總可以在時間間隔之外按其本身形狀來重復，這里可使用傅立葉級數(shù)來計算頻譜。而當時間間隔不斷增大，在極限情況下就變?yōu)楦盗⑷~積分?？紤]一個周期函數(shù)f(t)，用傅立葉級數(shù)表示。其頻譜圖如下，其相鄰各諧波頻率之間間隔為所以這個f(t)可以寫為，將△W代入原f(t)公式而得。當T無窮大時，而Wn也0，所以頻譜會由 離散頻率點 變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w)則我們得到非周期函數(shù)f(t) 的傅立葉積分表示方法f(t)。非周期函數(shù)f(t)的時域、頻域圖 舉例如下：把F(w)的計算公式稱為 傅立葉積分 公式。F(w)稱為 f(t)的傅立葉變換。f(t)公式即傅立葉反變換公式。F(w)與f(t)的計算公式 看起來很像，甚至可以互相調(diào)換f(t)與F(w).由F(w)公式得出時域信號f(t)的頻率分量。頻率、頻譜 從本質(zhì)上說是某種數(shù)學抽象。振幅譜和相位譜的關系上面的頻譜圖實際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關系。F(w)是頻率的復函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。,它隨頻率變化。它們有奇怪的對稱性。振幅譜是頻率的偶對稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對稱函數(shù)?？梢酝茖С觯杭聪辔痪褪墙忉專簳r域中的相位，與頻域中的相位完全不同。頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時間變化。所以：1，頻域中完全看不出時間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。這些諧波在 非穩(wěn)定信號中 可能并不會在所有時間中存在，這是另一個信號處理領域的問題。2，時域信號中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號。時域信號的周期=各諧波信號中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成（相位在時域與頻域 沒有固定的、可按公式計算出的關系）。時域信號的一個周期中的 符號 包括了以下信號的疊加（且可通過正交分解出來）：一個基波在一個周期內(nèi)的符號，一次諧波在2個周期內(nèi)的符號，二次諧波在3個周期內(nèi)的符號，三次諧波在4個周期內(nèi)的符號。在快速傅立葉變換中，因為時域抽樣點必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0，即不攜帶信息或空符號功率譜從電路分析可知，如代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為（An2+Bn2)/2瓦。所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2...)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測量。各個頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時功率就是｜f(t)｜2傅立葉變換推導出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)傅立葉變換有兩個重要的原理：1，時間移位原理將時域時間原點從t=0處移到t=t0處，則相當于頻域F(w)的相移，即2，頻譜搬移原理如果F(w)的角頻率移動了W0弧度/秒，則f(t)要乘上，即：推導公式是：在調(diào)制技術中，信號f(t)要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動，即通過上述關系確立?；鶐盘?帶有信息)f(t)對載波信號CosW0t的調(diào)幅結果（即已調(diào)制信號），可表示為f0=W0/2pi，為時域載波信號的頻率已調(diào)制信號的傅立葉變換結果為：即：調(diào)制之后，f(t)的頻譜被移動了，比如：先將一段音樂的離散時間信號做傅里葉變換(FFT)，再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換(IFFT)，恢復到時域，聽到的聲音會比原來的聲調(diào)高。時間頻率 間的對應關系對應關系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關系時域信號波形中，振幅的變化構成整個信號的包絡。下面是一個調(diào)幅信號在一個周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。，2A是最大振幅上式經(jīng)簡單的三角運算后，得到其頻譜如下：當原信息信號變化更快時（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號也變化更快，邊帶頻率(W0Wm,W0+Wm)也更遠的離開載波。所以：較快速的變化相當于較高頻率的變動。即：時間變化速率增加，頻率也增高了(這點在 上升時間與帶寬 關系中也可見)對應關系2，時間周期T與頻譜 呈反比關系下面用 矩形脈沖序列 來深入討論 時間頻率之間的關系。它的頻譜可以表示成再寫成給出一個歸一化的無量綱變數(shù)，則函數(shù) sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinxx, (sinx/x)1，而當x無窮大時，它0函數(shù) sinx/x 的形狀如下因為n是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸一化參數(shù)x也是離散點，但Cn的包絡無疑與上圖一致。雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡減小。并且基本周期T越?。疵棵氲拿}沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開。時間函數(shù)比較快速的變化則相當于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因為 △f=2pi/T變大）由于集中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當函數(shù)變化增快（T減?。r，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。對應關系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關系從上圖可見，隨著脈沖寬度的減少，信號的頻率分量分布的更寬思考：因為那么因為sinx\x的圖形不變，當sinx\x=0時的x不會變，則此時減少，表示W(wǎng)n會變大。同時在處的第一個零交點在頻率軸上移遠。因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關系存在。用脈沖寬度 定義帶寬如（即很窄的脈沖），則大部分信號能量將落在下式的范圍內(nèi):這個點也當作信號的帶寬。解釋：上面三點其實與 上升時間越小，對應帶寬越大 的關系是一致的。頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜與 周期性函數(shù)的頻譜頻譜就是時域信號經(jīng)過傅立葉變換后的復信號；因為Cn是復數(shù)。幅度譜就是復頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關系曲線；相位譜就是復頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關系曲線；功率譜就是功率與頻率之間的關系曲線。周期性函數(shù)按上面傅立葉級數(shù)的推導方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）按 傅立葉公式1中定義，可知每個頻率點間的間隔是2Pi/T,那么第0個頻率點即基波，它的頻率=2Pi/T。T是時域信號的周期，所以基波頻率=時域信號的時鐘頻率，基波表示時域信號的直流分量。從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為,它就是基波角頻率。（角頻率與頻率之間就是多了個2pi的關系，那么 基波頻率就是時域信號的頻率）W0在傅立葉級級數(shù)中用常數(shù)a0表示。周期=2pi/W0.一次諧波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，頻率是基波頻率的2倍。二次諧
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