傅立葉變換時(shí)域頻域(編輯修改稿)
2025-07-23 15:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 60。所以在 傅立葉公式5 中就消除了“負(fù)頻率”這里給出了五種 傅立葉級(jí)數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價(jià)的，并可互相推導(dǎo)出來(lái)。傅立葉積分(非周期性函數(shù))非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來(lái)得出頻譜。因?yàn)檫@個(gè)函數(shù)總可以在時(shí)間間隔之外按其本身形狀來(lái)重復(fù)，這里可使用傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)計(jì)算頻譜。而當(dāng)時(shí)間間隔不斷增大，在極限情況下就變?yōu)楦盗⑷~積分?？紤]一個(gè)周期函數(shù)f(t)，用傅立葉級(jí)數(shù)表示。其頻譜圖如下，其相鄰各諧波頻率之間間隔為所以這個(gè)f(t)可以寫(xiě)為，將△W代入原f(t)公式而得。當(dāng)T無(wú)窮大時(shí)，而Wn也0，所以頻譜會(huì)由 離散頻率點(diǎn) 變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會(huì)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w)則我們得到非周期函數(shù)f(t) 的傅立葉積分表示方法f(t)。非周期函數(shù)f(t)的時(shí)域、頻域圖 舉例如下：把F(w)的計(jì)算公式稱為 傅立葉積分 公式。F(w)稱為 f(t)的傅立葉變換。f(t)公式即傅立葉反變換公式。F(w)與f(t)的計(jì)算公式 看起來(lái)很像，甚至可以互相調(diào)換f(t)與F(w).由F(w)公式得出時(shí)域信號(hào)f(t)的頻率分量。頻率、頻譜 從本質(zhì)上說(shuō)是某種數(shù)學(xué)抽象。振幅譜和相位譜的關(guān)系上面的頻譜圖實(shí)際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關(guān)系。F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。,它隨頻率變化。它們有奇怪的對(duì)稱性。振幅譜是頻率的偶對(duì)稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對(duì)稱函數(shù)。可以推導(dǎo)出：即相位就是解釋：時(shí)域中的相位，與頻域中的相位完全不同。頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時(shí)間變化。所以：1，頻域中完全看不出時(shí)間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。這些諧波在 非穩(wěn)定信號(hào)中 可能并不會(huì)在所有時(shí)間中存在，這是另一個(gè)信號(hào)處理領(lǐng)域的問(wèn)題。2，時(shí)域信號(hào)中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號(hào)。時(shí)域信號(hào)的周期=各諧波信號(hào)中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當(dāng)于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成（相位在時(shí)域與頻域 沒(méi)有固定的、可按公式計(jì)算出的關(guān)系）。時(shí)域信號(hào)的一個(gè)周期中的 符號(hào) 包括了以下信號(hào)的疊加（且可通過(guò)正交分解出來(lái)）：一個(gè)基波在一個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，一次諧波在2個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，二次諧波在3個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)，三次諧波在4個(gè)周期內(nèi)的符號(hào)。在快速傅立葉變換中，因?yàn)闀r(shí)域抽樣點(diǎn)必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0，即不攜帶信息或空符號(hào)功率譜從電路分析可知，如代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為（An2+Bn2)/2瓦。所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2...)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測(cè)量。各個(gè)頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時(shí)功率就是｜f(t)｜2傅立葉變換推導(dǎo)出：時(shí)移原理與頻移原理，對(duì)偶性質(zhì)傅立葉變換有兩個(gè)重要的原理：1，時(shí)間移位原理將時(shí)域時(shí)間原點(diǎn)從t=0處移到t=t0處，則相當(dāng)于頻域F(w)的相移，即2，頻譜搬移原理如果F(w)的角頻率移動(dòng)了W0弧度/秒，則f(t)要乘上，即：推導(dǎo)公式是：在調(diào)制技術(shù)中，信號(hào)f(t)要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動(dòng)，即通過(guò)上述關(guān)系確立?；鶐盘?hào)(帶有信息)f(t)對(duì)載波信號(hào)CosW0t的調(diào)幅結(jié)果（即已調(diào)制信號(hào)），可表示為f0=W0/2pi，為時(shí)域載波信號(hào)的頻率已調(diào)制信號(hào)的傅立葉變換結(jié)果為：即：調(diào)制之后，f(t)的頻譜被移動(dòng)了，比如：先將一段音樂(lè)的離散時(shí)間信號(hào)做傅里葉變換(FFT)，再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換(IFFT)，恢復(fù)到時(shí)域，聽(tīng)到的聲音會(huì)比原來(lái)的聲調(diào)高。時(shí)間頻率 間的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系1：時(shí)間變化速率(即時(shí)域信號(hào)的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系時(shí)域信號(hào)波形中，振幅的變化構(gòu)成整個(gè)信號(hào)的包絡(luò)。下面是一個(gè)調(diào)幅信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。，2A是最大振幅上式經(jīng)簡(jiǎn)單的三角運(yùn)算后，得到其頻譜如下：當(dāng)原信息信號(hào)變化更快時(shí)（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號(hào)也變化更快，邊帶頻率(W0Wm,W0+Wm)也更遠(yuǎn)的離開(kāi)載波。所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動(dòng)。即：時(shí)間變化速率增加，頻率也增高了(這點(diǎn)在 上升時(shí)間與帶寬 關(guān)系中也可見(jiàn))對(duì)應(yīng)關(guān)系2，時(shí)間周期T與頻譜 呈反比關(guān)系下面用 矩形脈沖序列 來(lái)深入討論 時(shí)間頻率之間的關(guān)系。它的頻譜可以表示成再寫(xiě)成給出一個(gè)歸一化的無(wú)量綱變數(shù)，則函數(shù) sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinxx, (sinx/x)1，而當(dāng)x無(wú)窮大時(shí)，它0函數(shù) sinx/x 的形狀如下因?yàn)閚是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸一化參數(shù)x也是離散點(diǎn)，但Cn的包絡(luò)無(wú)疑與上圖一致。雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。并且基本周期T越小（即每秒的脈沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開(kāi)。時(shí)間函數(shù)比較快速的變化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因?yàn)?△f=2pi/T變大）由于集中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個(gè)周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。當(dāng)函數(shù)變化增快（T減?。r(shí)，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。對(duì)應(yīng)關(guān)系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關(guān)系從上圖可見(jiàn)，隨著脈沖寬度的減少，信號(hào)的頻率分量分布的更寬思考：因?yàn)槟敲匆驗(yàn)閟inx\x的圖形不變，當(dāng)sinx\x=0時(shí)的x不會(huì)變，則此時(shí)減少，表示W(wǎng)n會(huì)變大。同時(shí)在處的第一個(gè)零交點(diǎn)在頻率軸上移遠(yuǎn)。因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時(shí)間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關(guān)系存在。用脈沖寬度 定義帶寬如（即很窄的脈沖），則大部分信號(hào)能量將落在下式的范圍內(nèi):這個(gè)點(diǎn)也當(dāng)作信號(hào)的帶寬。解釋：上面三點(diǎn)其實(shí)與 上升時(shí)間越小，對(duì)應(yīng)帶寬越大 的關(guān)系是一致的。頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜與 周期性函數(shù)的頻譜頻譜就是時(shí)域信號(hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換后的復(fù)信號(hào)；因?yàn)镃n是復(fù)數(shù)。幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線；相位譜就是復(fù)頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關(guān)系曲線；功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。周期性函數(shù)按上面傅立葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)方法來(lái)得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）按 傅立葉公式1中定義，可知每個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔是2Pi/T,那么第0個(gè)頻率點(diǎn)即基波，它的頻率=2Pi/T。T是時(shí)域信號(hào)的周期，所以基波頻率=時(shí)域信號(hào)的時(shí)鐘頻率，基波表示時(shí)域信號(hào)的直流分量。從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為,它就是基波角頻率。（角頻率與頻率之間就是多了個(gè)2pi的關(guān)系，那么 基波頻率就是時(shí)域信號(hào)的頻率）W0在傅立葉級(jí)級(jí)數(shù)中用常數(shù)a0表示。周期=2pi/W0.一次諧波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，頻率是基波頻率的2倍。二次諧
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