【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ＝ 2r＋ 1 r=0,1,…,N/2 1 ? ? ? ? ? ? ? ?112222002 22NNrn rnNNnnNNX k X r x n x n W x n x n W????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11222120021 22NNrn n rnN N NnnNNX k X r x n x n W x n x n W W?? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???令： ? ? ? ?? ? ? ?1222nNNx n x n x nNx n x n x n W??? ? ?????????? ? ?????????則： ? ? ? ?? ? ? ?2112021220221NnrNnNnrNnX r x n WX r x n W?????????r=0,1,2,… ,N/21 可見，上兩式均為 N/2點(diǎn) DFT 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 用蝶形圖描述 如下 ： ? ? ? ?12,x n x n? ?xn2Nxn???????nNW? ? 0 , 1 , 2 , , 122NNx n x n n??? ? ? ?????? ? 2 nNNx n x n W??????????????－ 1 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 上述過程小結(jié)如下： ? 首先形成 ? 計(jì)算 ? 分別計(jì)算 的 N/2點(diǎn)的 DFT，得到 X（ k）的偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)的輸出。 ? ? ? ?12,x n x n? ?, 2Nx n x n???????? ? ? ?12,x n x n167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 以 N=8為例， DIF FFT算法流圖如下： 先蝶形運(yùn)算，后 FFT： 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 2 , 2rNN??仍是偶數(shù) 即 可繼續(xù)分組，使得每一個(gè) N/2點(diǎn)的 DFT由 兩個(gè) N/4點(diǎn)的 DFT來得到，以此類推，直至分解到兩個(gè) 一點(diǎn)序列。 ? ? ? ?12,x n x n167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 例如 N=8時(shí) DIF的 FFT流圖如下： 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 可見： 一個(gè) N=8點(diǎn)的 DFT經(jīng)三級(jí)（ N=23）分解后，變?yōu)? 計(jì)算兩點(diǎn)的 DFT，而這兩點(diǎn)的 DFT實(shí)際上只有加 減運(yùn)算，在每一級(jí)運(yùn)算中，都有 N/2個(gè)蝶形參加 運(yùn)算，其運(yùn)算量同 DIT FFT。 因此， DIF FFT算法從始至終都是在進(jìn)行分解，而 DIT FFT算法從始至終都是在進(jìn)行組合。 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 二、 DIT FFT與 DIF FFT 算法的比較 ? 區(qū)別： ? 輸入輸出順序相反，每一種 DIT FFT算法都存在一種 DIF FFT算法，二者互為倒置。 ? 兩種算法的蝶形運(yùn)算存在差異， W因子相乘的位置不同。 ? 相同點(diǎn)： ? 都有 級(jí)運(yùn)算，每級(jí)都有 N/2個(gè)蝶形。 ? 運(yùn)算量相同，即需要 次復(fù)乘， 次復(fù)加 ? 都是原位運(yùn)算。 ?2log2 NN 2logNN2rN ?設(shè)167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 三、 IDFT FFT算法 ——IFFT ? ? ? ? ? ? ? ?1101 ,NN k n k nNNk n ox n X k W X k x n WN?????????兩式相比， 相差一個(gè)負(fù)號(hào)，系數(shù)相差 ， 故：可用 FFT流圖計(jì)算 IFFT。 NW1N方法： ?輸入輸出調(diào)換 ?將 FFT流圖中的 同 代替。 ?輸出的每一個(gè)支路乘以 nNW nNW?1N167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 例：由 N=8按頻率抽取的 FFT流圖求 IFFT流圖 167。 （ DIF）的 FFT算法（續(xù)） 可見，一個(gè)按頻率抽取地 FFT流圖能夠?qū)崿F(xiàn)按 時(shí)間抽取地 IFFT流圖，同理一個(gè)按時(shí)間抽取的 FFT流圖可以實(shí)現(xiàn)按頻率抽取地 IFFT流圖。 實(shí)際上機(jī)實(shí)現(xiàn)時(shí)，可直接用 FFT程序計(jì)算 IFFT ? ? ? ?? ?101011NknNkNknNkx n X k WNX k WN?????????????????DIT FFT和 DIF FFT都要求 ，故稱為基－ 2FFT. 2rN?167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法 對(duì)于 情況，可用下述方法提高計(jì)算 DFT速度 ? 將序列補(bǔ)最少的零至 ，這種方法不是最簡(jiǎn)的。 ? 若要求至計(jì)算 N點(diǎn)的 DFT，而 N又不能分解成素?cái)?shù)的積，則直接計(jì)算 DFT—CZT. 若 N是一個(gè)復(fù)合數(shù)，則有快速算法計(jì)算 DFT。 利用 FFT的基本思想：將大點(diǎn)數(shù) DFT的運(yùn)算盡量分解為小點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算，提高運(yùn)算效率。 2rN?2r167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法（續(xù)） 一、算法原理 設(shè)： 長 N=ML M：列 L：行 則： ? ?xn? ? ? ?? ?1010100 , 1 , , 10 , 1 , , 1 ,0 , 1 , , 1 ,NknNnX k x n W k NN M Ln M n n x nnLnM??? ? ?????????將 序 列 的 序 號(hào) 用 矩 陣 表 示表 示 行 號(hào)表 示 列 號(hào)例： ? ?1 2 4 3 0 , 1 , 2 , , 1 143N x n nML? ? ? ???，則 ： 列 行167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法（續(xù)） 將 n排成矩陣形式如下： 0n1nn 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L 行 M列 矩陣中的序號(hào) 5表示如下： 10105 4 1 10 , 1 , 20 1 2 3n M n nnn? ? ? ? ? ?? 行＝ ， ， ， 列167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法（續(xù)） 同理：對(duì)于 X(k)， k也可以表示成矩陣形式 ? ?10100 , 1 , , 1 ,0 , 1 , , 1 ,k M k k x nkMkL??????將 序 列 的 序 號(hào) 用 矩 陣 表 示表 示 列 號(hào)表 示 行 號(hào)（與 n表示相反） 01012 4 3430 ,1, 2 , 30 ,1, 2NMLkkk? ? ??????1則 ：k=3k例： 1k0kn 0 1 2 3 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法（續(xù)） ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1 0 0010 1 0 0 01010 1 0 0 0010 1 011 0 1 00110001100011000,NknNnMLL k k nNnnMLk L k n k nLkN N N NnnMLk L k n k nN N Nnnn k L k k X kX k X L k k X k k x n Wx n Wx n W W W Wx n W W W????????????????? ? ?? ? ? ????????????11111Mn1MnMn1Mn1將 n=Mn 代 入 得 ：Mnnn167。 N為復(fù)合數(shù)的 FFT算法（續(xù)） ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?0 1 0 0 0010 1 0 0 0010 0 1 00100111 0 0001100011 0 00139。1 0 0 2 0 10,,MLk L k n k nN N NnnML