【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 爾可夫轉(zhuǎn)換模型與隨機(jī)波動(dòng)模型相結(jié)合構(gòu)建馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機(jī)波動(dòng)模型（MSSV），國(guó)外這方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。但目前國(guó)內(nèi)尚無(wú)文獻(xiàn)探討MSSV模型的特征與建模方法，本文擬填補(bǔ)此空白并在國(guó)外模型基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)推廣。MSSVNormal模型的基本框架是： （公式215）這里的（=1或者2）是一個(gè)與狀態(tài)相關(guān)的變量，不失一般性，令，那么狀態(tài)1和狀態(tài)2波動(dòng)的無(wú)條件期望值和分別為：，且滿足：。通過(guò)上述設(shè)定就將波動(dòng)狀態(tài)劃分為一個(gè)低波動(dòng)狀態(tài)（無(wú)條件期望值為）和一個(gè)高波動(dòng)狀態(tài)（無(wú)條件期望值為），波動(dòng)按照馬爾可夫轉(zhuǎn)換過(guò)程在低波動(dòng)狀態(tài)和高波動(dòng)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換。而馬爾可夫轉(zhuǎn)換過(guò)程的概率矩陣P可表示為： （公式216）其中。那么則有： （公式2－17）這其中的和便被稱為預(yù)測(cè)概率（predictive probability），而公式217中的和被稱為過(guò)濾概率（filtered probability），其與預(yù)測(cè)概率的主要區(qū)別就在于所依賴的信息集不同，其計(jì)算公式如下：其中： 對(duì)于起始的t=1時(shí)刻，我們可以用無(wú)條件概率(unconditional probability)進(jìn)行替代。在時(shí)刻不斷迭代上述兩個(gè)步驟直至迭代結(jié)果滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)時(shí)就可以得到模型的估計(jì)值。這樣通過(guò)一個(gè)馬爾可夫轉(zhuǎn)換過(guò)程就可以刻畫(huà)隨機(jī)波動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。我們也可以將MSSV模型推廣到一元t分布下，據(jù)筆者所知國(guó)內(nèi)外尚沒(méi)有對(duì)此問(wèn)題的探討。MSSVt模型表達(dá)式如下：與上一節(jié)ARCH模型族估計(jì)不同的是，本章中隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)采用的均是貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的MCMC方法。下文將分析貝葉斯統(tǒng)計(jì)和MCMC方法。 隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的貝葉斯方法 隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)方法綜述隨機(jī)波動(dòng)模型在初期的應(yīng)用范圍遠(yuǎn)沒(méi)有ARCH模型族寬廣，主要原因就在于其似然函數(shù)沒(méi)有公式解析式，經(jīng)典的極大似然估計(jì)方法并不適用于隨機(jī)波動(dòng)模型。為此學(xué)者們陸續(xù)提出了一些替代的估計(jì)方法，主要包括廣義矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996),Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods,Gallant amp。 Tauchen(1997) Ying Gu amp。 Eriz Zovit(2006)）、擬極大似然估計(jì)（quasimaximum likelihood, Harvey,et al,（1994））、模擬極大似然估計(jì)方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Garland B. Durham（2004，2006,2007））、經(jīng)驗(yàn)特征函數(shù)法(empirical characteristic function, Knight(2002))和貝葉斯MCMC方法（Jacquier et al.(1994)，Kim et al(1998)）等。而Rossi,Jacquier and Polson(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法較其它方法效果更佳，相對(duì)誤差最小，是估計(jì)效率最高的方法之一，該結(jié)論也被隨后的研究陸續(xù)證實(shí)。這是因?yàn)镸CMC方法在估計(jì)類似于隨機(jī)波動(dòng)模型的模型時(shí)具有如下優(yōu)點(diǎn)（Johannes amp。 Polson（2005））：（1）MCMC方法是建立在條件模擬基礎(chǔ)之上的，這樣就避免了對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化或者非條件模擬的問(wèn)題。從實(shí)踐來(lái)看，對(duì)于類似SV模型這樣似然函數(shù)很難精確表達(dá)的模型估計(jì)問(wèn)題，MCMC模型的計(jì)算速度上要快于傳統(tǒng)方法。更為重要的是，MCMC推斷是建立在對(duì)模型參數(shù)和潛在變量的后驗(yàn)分布的精確估計(jì)基礎(chǔ)之上的，而其它方法往往是建立在近似推斷基礎(chǔ)之上的，這為我們得到參數(shù)的精確估計(jì)奠定了良好的基礎(chǔ)；（2）在估計(jì)模型參數(shù)的同時(shí)，MCMC可以很方便的估計(jì)潛在的波動(dòng)率的平滑估計(jì)值（smoothed estimated），這是因?yàn)镸CMC方法在估計(jì)模型參數(shù)的同時(shí)也將潛在變量納入了參數(shù)估計(jì)的空間（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的過(guò)濾準(zhǔn)則（filters），這無(wú)疑加大了估計(jì)的難度；（3）MCMC方法可以更為方便的評(píng)估估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)和模型風(fēng)險(xiǎn)。估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)是在估計(jì)參數(shù)或狀態(tài)變量是出現(xiàn)的內(nèi)生不確定性，而模型風(fēng)險(xiǎn)是模型選擇和確認(rèn)時(shí)出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)，在MCMC框架下這兩種風(fēng)險(xiǎn)可以較其它方法更方便的進(jìn)行評(píng)估。正是基于此，在本文中我們對(duì)隨機(jī)波動(dòng)模型的估計(jì)均是建立在MCMC方法基礎(chǔ)之上。在下小節(jié)我們將詳細(xì)介紹隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的MCMC方法與基于此基礎(chǔ)之上的DIC準(zhǔn)則。 隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的MCMC方法與DIC準(zhǔn)則統(tǒng)計(jì)學(xué)上主要有兩大種推斷的方法，一種是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷方法，另一種便是貝葉斯（Bayes）方法，《論有關(guān)概率問(wèn)題的求解》中提出。這兩種統(tǒng)計(jì)推斷方法的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩方面：（1）經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷方法視未知參數(shù)為真實(shí)且固定的值，參數(shù)的估計(jì)值可以由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造。我們通常使用極大似然函數(shù)估計(jì)法，也就是通過(guò)最大化目標(biāo)函數(shù)的似然函數(shù)值進(jìn)行估計(jì)，并且利用擬合的模型做出統(tǒng)計(jì)推斷。而貝葉斯方法將參數(shù)視為一個(gè)隨機(jī)變量，所有關(guān)于參數(shù)的推斷都是以概率的形式出現(xiàn)，然后利用貝葉斯公式，從先驗(yàn)分布得到后驗(yàn)分布并利用后驗(yàn)分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。該點(diǎn)曾經(jīng)是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派和貝葉斯學(xué)派爭(zhēng)論的主要焦點(diǎn)，但越來(lái)越多的經(jīng)典學(xué)派統(tǒng)計(jì)學(xué)家已開(kāi)始接受貝葉斯學(xué)派的觀點(diǎn)，將未知變量看作隨機(jī)變量；（2）貝葉斯學(xué)派認(rèn)為一個(gè)事件的概率可以是人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生可能性做出的個(gè)人信念，可以利用先驗(yàn)概率合理地確定先驗(yàn)分布。而經(jīng)典學(xué)派則認(rèn)為不能輕率地使用先驗(yàn)概率（茆詩(shī)松（1998））。貝葉斯學(xué)派的基本思路是：假設(shè)是模型所需估計(jì)的參數(shù)， 是樣本觀測(cè)值，是觀測(cè)到數(shù)據(jù)之前關(guān)于變量的先驗(yàn)信息，則有： （公式220）在觀測(cè)到的數(shù)據(jù)以后形成的關(guān)于的看法則根據(jù)的是的后驗(yàn)概率密度：根據(jù)全概率公式和公式220便可得： （公式221）上式便被稱為貝葉斯定理。這個(gè)在給定樣本下的條件分布被稱為的后驗(yàn)分布，它在樣本給定情況下集中了樣本與先驗(yàn)分布中關(guān)于的一切信息，其比先驗(yàn)分布更接近于實(shí)際情況，因此使用后驗(yàn)分布可以更好地推斷變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。但是，在利用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)往往需要在高維度的概率分布上計(jì)算積分，這往往會(huì)遇到較大的計(jì)算困難。若使用解析計(jì)算或者數(shù)值計(jì)算方法來(lái)求解幾乎很難實(shí)現(xiàn)，并且估計(jì)的精度也難以得到保證。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 馬爾可夫鏈蒙特卡洛）方法則可以較好的解決這個(gè)問(wèn)題。MCMC方法是建立在CliffordHammersley定理基礎(chǔ)之上，該定理認(rèn)為聯(lián)合分布可以由參數(shù)的完全條件分布所決定。MCMC方法將馬爾可夫鏈和蒙特卡洛積分方法結(jié)合在一起，主要特征在于將所希望估計(jì)的參數(shù)與無(wú)法觀測(cè)到的狀態(tài)變量設(shè)置為隨機(jī)變量，并假設(shè)它們服從某種特定的概率分布。然后利用多次重復(fù)的遞推抽取樣本的方法來(lái)構(gòu)建一長(zhǎng)串的馬爾可夫鏈，通過(guò)模擬參數(shù)與狀態(tài)變量的樣本分布，在大樣本條件下將收斂至目標(biāo)的實(shí)際分布。這樣，MCMC方法就可以將復(fù)雜的聯(lián)合分布分解為其條件分布的集合，而這些條件分布是低維的并且相對(duì)容易抽樣，這樣就有效解決了高維的積分問(wèn)題。正是由于MCMC方法的發(fā)展和Winbugs軟件 Winbugs軟件是貝葉斯學(xué)派自創(chuàng)的一種專門(mén)用于BAYES推斷特別是MCMC估計(jì)方法的軟件，其可在。的應(yīng)用，使得原來(lái)復(fù)雜異常的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題如今變得相對(duì)簡(jiǎn)單，參數(shù)后驗(yàn)分布的模擬也更趨方便，所以貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派再度得到重視和復(fù)興。MCMC常見(jiàn)的算法包括吉布斯抽樣（Gibbs Sampling）、MetropolisHastings算法和這兩種方法的綜合等。吉布斯抽樣是最簡(jiǎn)單也是最常用的MCMC方法，其要求可以從條件分布的全集中直接抽樣。例如給定，我們可以進(jìn)行如下抽樣： 如果很難直接從和中完全抽樣，例如模型中含有p個(gè)未知參數(shù)時(shí)，那我們可以利用CliffordHammersley定理按照如下步驟抽樣：1. 抽樣 2. 抽樣 …p．抽樣 p+1. 抽樣 如此重復(fù)迭代G次，這樣就可以產(chǎn)生一個(gè)吉布斯樣本，如果G 充分大，那么在一定的條件下參數(shù)會(huì)收斂于其真實(shí)分布。一般在實(shí)踐中，我們會(huì)放棄掉一定的樣本數(shù)m（稱為burnin樣本 放棄掉burnin樣本的主要目的在于確保所抽取的吉布斯樣本統(tǒng)計(jì)特征與從聯(lián)合分布中抽取的樣本統(tǒng)計(jì)調(diào)整足夠接近。），然后利用剩下的G－m個(gè)樣本，我們就可以對(duì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)進(jìn)行推斷。由于吉布斯抽樣要求從條件分布的全集中抽樣，因此往往需要假設(shè)參數(shù)服從某些標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)分布，如正態(tài)分布，t分布，Beta分布、Gamma分布等，或者某些離散分布，如二項(xiàng)（Binomial）分布和狄利克雷（Dirichlet）分布等。而當(dāng)參數(shù)具有非線性性質(zhì)，或者參數(shù)的條件分布未知，或者條件分布已知但很難抽樣時(shí)，吉布斯抽樣往往存在著較大的困難，此時(shí)宜采用MetropolisHastings算法。其主要特征在于引入了接受準(zhǔn)則(acceptance criterions)來(lái)確保算法能夠產(chǎn)生正確的條件分布。吉布斯抽樣可以看出是MetropolisHastings的一個(gè)特例，即接受概率始終為1的情況（Johannes and Polson（2005)）。按照Bayes和MCMC估計(jì)原理，并利用EulerMaruyama方程，我們可以將隨機(jī)波動(dòng)模型重新進(jìn)行表述。以均值方程的標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例，SV模型（公式2－9）、SVJPE（公式2－11）模型和SVHS（公式2－12）模型可分別表述如下：SV模型：SVJPE模型：SVHS模型：這樣表述有利于我們?cè)赪inbugs中編程估計(jì)?；谝辉猼分布等厚尾分布的隨機(jī)波動(dòng)模型也可按相同方法進(jìn)行表述對(duì)于一元SVt模型而言，我們假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差服從一元標(biāo)準(zhǔn)t分布(0,1,v)，但是在Winbugs中的t分布程序命令dt(mu,var,v)，其方差與t分布自由度密切相關(guān)。因此我們不能直接采用Winbugs中的命令從中抽樣。按照前面討論的一元t分布與一元正態(tài)分布的關(guān)系，我們可以用一個(gè)逆伽瑪分布和正態(tài)分布的乘積來(lái)代替一元t分布，這樣進(jìn)行的MCMC方法抽樣結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠。隨機(jī)波動(dòng)模型估計(jì)的另一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題便是各模型績(jī)效比較的準(zhǔn)則。對(duì)于基于貝葉斯方法的模型選擇問(wèn)題，學(xué)者們提出了若干檢驗(yàn)準(zhǔn)則，其中被公認(rèn)為比較貝葉斯類模型績(jī)效的最佳準(zhǔn)則是貝葉斯因素（Bayes factor）方法（Kass and Rafgery（1995））。然而對(duì)于SV模型而言，模型中的未知參數(shù)和狀態(tài)過(guò)多，這會(huì)導(dǎo)致貝葉斯因素的計(jì)算相當(dāng)困難與復(fù)雜，特別是當(dāng)維數(shù)較多與樣本數(shù)據(jù)較長(zhǎng)時(shí)。對(duì)于在模型比較中常用的AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則 AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常用的判斷統(tǒng)計(jì)模型性質(zhì)優(yōu)良與否的指標(biāo)。假設(shè)L是模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)值，k是模型參數(shù)的個(gè)數(shù)，t是時(shí)間序列長(zhǎng)度，那么：AIC＝2L/T+2(k+1)/T， BIC=2L/T+(k*lnT)/T。從表達(dá)式中可以看出，AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則都引入了對(duì)增加更多參數(shù)的懲罰，BIC準(zhǔn)則對(duì)參數(shù)增加的懲罰力度更大。當(dāng)進(jìn)行模型績(jī)效比較時(shí)，AIC值或者BIC值越小越好。而言，其對(duì)SV模型的估計(jì)與比較也不適用。AIC和BIC均需要知道模型中未知參數(shù)和狀態(tài)的個(gè)數(shù)。然而對(duì)于SV模型這樣的具有分層模型特點(diǎn)的模型，其模型中包含了長(zhǎng)度與樣本長(zhǎng)度相同的未知波動(dòng)狀態(tài)，且這些波動(dòng)狀態(tài)并不是相互獨(dú)立的，而是服從一個(gè)一階的馬爾可夫結(jié)構(gòu)，因此模型的參數(shù)精確個(gè)數(shù)很難確定。所以，AIC和BIC并不能精確地比較各SV模型的績(jī)效。在評(píng)估SV模型績(jī)效方面近年來(lái)被廣泛使用的方法是DIC準(zhǔn)則（Deviance Information Criterion），其由Dempster(1974)首先提出，并由Spiegelhalter,etl(2002)發(fā)展成為評(píng)估貝葉斯類模型績(jī)效的準(zhǔn)則。與AIC和BIC準(zhǔn)則類似，DIC準(zhǔn)則由兩部分組成，第一部分測(cè)量模型的擬合優(yōu)度，而第二部分則是作為模型復(fù)雜程度增加的懲罰系數(shù)。用公式可以表達(dá)如下： （公式222）這里面的可以看作基于后驗(yàn)分布的似然函數(shù)的均值，而可以看作基于后驗(yàn)分布的參數(shù)均值的似然函數(shù)值，而則代表模型有限參數(shù)的個(gè)數(shù)。與AIC值和BIC值類似，DIC值越小說(shuō)明模型的擬合程度越高。實(shí)際上，DIC可以看作是AIC準(zhǔn)則的一般化，即，這里用極大似然估計(jì)得到的參數(shù)值代替貝葉斯估計(jì)得到的的后驗(yàn)估計(jì)值。特別的，當(dāng)先驗(yàn)值的概率分布較為扁平(flat)時(shí)，極大似然估計(jì)值和貝葉斯后驗(yàn)估計(jì)值是一致統(tǒng)計(jì)量，那么此時(shí)AIC同DIC等價(jià)（Spiegelhalter，et al,(2002)）。此外，我們也可以看出DIC準(zhǔn)則同BIC準(zhǔn)則也有密切的聯(lián)系。值得關(guān)注的是，Winbugs需要使用參數(shù)的后驗(yàn)均值計(jì)算DIC值，這就需要保證模型迭代結(jié)果要達(dá)到收斂。關(guān)于DIC進(jìn)一步的研究介紹可參看Spiegelhalter，et al,(2002)和Andreas Berg,et al,(2004)。 樣本數(shù)據(jù)在本小節(jié)我將們以上證指數(shù)為例實(shí)證研究GARCH模型和SV模型。上證指數(shù)是上海股市最具代表性的市場(chǎng)指數(shù)，其樣本包含了A股和B股。由于上海股市發(fā)展初期并不規(guī)范而且波動(dòng)相對(duì)較為劇烈，因此我們舍棄掉了最初幾年的數(shù)據(jù)，選取1996年1月1日至2006年12月31日上證指數(shù)的收盤(pán)價(jià)，并計(jì)算其對(duì)數(shù)收益率，數(shù)據(jù)來(lái)源于通達(dá)信交易軟件。上證指數(shù)的日對(duì)數(shù)收益率時(shí)序可見(jiàn)圖21。從圖中可以看出，上證指數(shù)的波動(dòng)具有明顯的時(shí)變和聚集效應(yīng)特征，而且波動(dòng)在某些特定時(shí)間段相當(dāng)劇烈。表21給出了樣本期內(nèi)收益率的基本統(tǒng)計(jì)特征值，在樣本期內(nèi)上證指數(shù)收益率的均值大于0，這說(shuō)明大陸股市目前正處于成長(zhǎng)發(fā)展期，國(guó)民經(jīng)濟(jì)的快速增長(zhǎng)為股市運(yùn)行提供了良好的基本面，而且由于股市缺乏做空機(jī)制，所以盡管歷史上曾經(jīng)數(shù)次出現(xiàn)大的波折，但就總體而言股市仍出現(xiàn)明顯的上升趨勢(shì)。從偏度指標(biāo)來(lái)看顯著小于0，顯示指