【文章內(nèi)容簡介】 爾可夫轉(zhuǎn)換模型與隨機波動模型相結(jié)合構(gòu)建馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機波動模型（MSSV），國外這方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。但目前國內(nèi)尚無文獻探討MSSV模型的特征與建模方法，本文擬填補此空白并在國外模型基礎(chǔ)上進行適當(dāng)推廣。MSSVNormal模型的基本框架是： （公式215）這里的（=1或者2）是一個與狀態(tài)相關(guān)的變量，不失一般性，令，那么狀態(tài)1和狀態(tài)2波動的無條件期望值和分別為：，且滿足：。通過上述設(shè)定就將波動狀態(tài)劃分為一個低波動狀態(tài)（無條件期望值為）和一個高波動狀態(tài)（無條件期望值為），波動按照馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程在低波動狀態(tài)和高波動狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換。而馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程的概率矩陣P可表示為： （公式216）其中。那么則有： （公式2－17）這其中的和便被稱為預(yù)測概率（predictive probability），而公式217中的和被稱為過濾概率（filtered probability），其與預(yù)測概率的主要區(qū)別就在于所依賴的信息集不同，其計算公式如下：其中： 對于起始的t=1時刻，我們可以用無條件概率(unconditional probability)進行替代。在時刻不斷迭代上述兩個步驟直至迭代結(jié)果滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)時就可以得到模型的估計值。這樣通過一個馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程就可以刻畫隨機波動的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。我們也可以將MSSV模型推廣到一元t分布下，據(jù)筆者所知國內(nèi)外尚沒有對此問題的探討。MSSVt模型表達式如下：與上一節(jié)ARCH模型族估計不同的是，本章中隨機波動模型的估計采用的均是貝葉斯統(tǒng)計中的MCMC方法。下文將分析貝葉斯統(tǒng)計和MCMC方法。 隨機波動模型估計的貝葉斯方法 隨機波動模型的估計方法綜述隨機波動模型在初期的應(yīng)用范圍遠沒有ARCH模型族寬廣，主要原因就在于其似然函數(shù)沒有公式解析式，經(jīng)典的極大似然估計方法并不適用于隨機波動模型。為此學(xué)者們陸續(xù)提出了一些替代的估計方法，主要包括廣義矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996),Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods,Gallant amp。 Tauchen(1997) Ying Gu amp。 Eriz Zovit(2006)）、擬極大似然估計（quasimaximum likelihood, Harvey,et al,（1994））、模擬極大似然估計方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Garland B. Durham（2004，2006,2007））、經(jīng)驗特征函數(shù)法(empirical characteristic function, Knight(2002))和貝葉斯MCMC方法（Jacquier et al.(1994)，Kim et al(1998)）等。而Rossi,Jacquier and Polson(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法較其它方法效果更佳，相對誤差最小，是估計效率最高的方法之一，該結(jié)論也被隨后的研究陸續(xù)證實。這是因為MCMC方法在估計類似于隨機波動模型的模型時具有如下優(yōu)點（Johannes amp。 Polson（2005））：（1）MCMC方法是建立在條件模擬基礎(chǔ)之上的，這樣就避免了對目標(biāo)函數(shù)進行優(yōu)化或者非條件模擬的問題。從實踐來看，對于類似SV模型這樣似然函數(shù)很難精確表達的模型估計問題，MCMC模型的計算速度上要快于傳統(tǒng)方法。更為重要的是，MCMC推斷是建立在對模型參數(shù)和潛在變量的后驗分布的精確估計基礎(chǔ)之上的，而其它方法往往是建立在近似推斷基礎(chǔ)之上的，這為我們得到參數(shù)的精確估計奠定了良好的基礎(chǔ)；（2）在估計模型參數(shù)的同時，MCMC可以很方便的估計潛在的波動率的平滑估計值（smoothed estimated），這是因為MCMC方法在估計模型參數(shù)的同時也將潛在變量納入了參數(shù)估計的空間（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的過濾準(zhǔn)則（filters），這無疑加大了估計的難度；（3）MCMC方法可以更為方便的評估估計風(fēng)險和模型風(fēng)險。估計風(fēng)險是在估計參數(shù)或狀態(tài)變量是出現(xiàn)的內(nèi)生不確定性，而模型風(fēng)險是模型選擇和確認時出現(xiàn)的風(fēng)險，在MCMC框架下這兩種風(fēng)險可以較其它方法更方便的進行評估。正是基于此，在本文中我們對隨機波動模型的估計均是建立在MCMC方法基礎(chǔ)之上。在下小節(jié)我們將詳細介紹隨機波動模型估計的MCMC方法與基于此基礎(chǔ)之上的DIC準(zhǔn)則。 隨機波動模型估計的MCMC方法與DIC準(zhǔn)則統(tǒng)計學(xué)上主要有兩大種推斷的方法，一種是經(jīng)典統(tǒng)計推斷方法，另一種便是貝葉斯（Bayes）方法，《論有關(guān)概率問題的求解》中提出。這兩種統(tǒng)計推斷方法的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩方面：（1）經(jīng)典統(tǒng)計推斷方法視未知參數(shù)為真實且固定的值，參數(shù)的估計值可以由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造。我們通常使用極大似然函數(shù)估計法，也就是通過最大化目標(biāo)函數(shù)的似然函數(shù)值進行估計，并且利用擬合的模型做出統(tǒng)計推斷。而貝葉斯方法將參數(shù)視為一個隨機變量，所有關(guān)于參數(shù)的推斷都是以概率的形式出現(xiàn)，然后利用貝葉斯公式，從先驗分布得到后驗分布并利用后驗分布進行統(tǒng)計推斷。該點曾經(jīng)是經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)派和貝葉斯學(xué)派爭論的主要焦點，但越來越多的經(jīng)典學(xué)派統(tǒng)計學(xué)家已開始接受貝葉斯學(xué)派的觀點，將未知變量看作隨機變量；（2）貝葉斯學(xué)派認為一個事件的概率可以是人們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生可能性做出的個人信念，可以利用先驗概率合理地確定先驗分布。而經(jīng)典學(xué)派則認為不能輕率地使用先驗概率（茆詩松（1998））。貝葉斯學(xué)派的基本思路是：假設(shè)是模型所需估計的參數(shù)， 是樣本觀測值，是觀測到數(shù)據(jù)之前關(guān)于變量的先驗信息，則有： （公式220）在觀測到的數(shù)據(jù)以后形成的關(guān)于的看法則根據(jù)的是的后驗概率密度：根據(jù)全概率公式和公式220便可得： （公式221）上式便被稱為貝葉斯定理。這個在給定樣本下的條件分布被稱為的后驗分布，它在樣本給定情況下集中了樣本與先驗分布中關(guān)于的一切信息，其比先驗分布更接近于實際情況，因此使用后驗分布可以更好地推斷變量的統(tǒng)計性質(zhì)。但是，在利用貝葉斯方法進行統(tǒng)計推斷時往往需要在高維度的概率分布上計算積分，這往往會遇到較大的計算困難。若使用解析計算或者數(shù)值計算方法來求解幾乎很難實現(xiàn)，并且估計的精度也難以得到保證。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 馬爾可夫鏈蒙特卡洛）方法則可以較好的解決這個問題。MCMC方法是建立在CliffordHammersley定理基礎(chǔ)之上，該定理認為聯(lián)合分布可以由參數(shù)的完全條件分布所決定。MCMC方法將馬爾可夫鏈和蒙特卡洛積分方法結(jié)合在一起，主要特征在于將所希望估計的參數(shù)與無法觀測到的狀態(tài)變量設(shè)置為隨機變量，并假設(shè)它們服從某種特定的概率分布。然后利用多次重復(fù)的遞推抽取樣本的方法來構(gòu)建一長串的馬爾可夫鏈，通過模擬參數(shù)與狀態(tài)變量的樣本分布，在大樣本條件下將收斂至目標(biāo)的實際分布。這樣，MCMC方法就可以將復(fù)雜的聯(lián)合分布分解為其條件分布的集合，而這些條件分布是低維的并且相對容易抽樣，這樣就有效解決了高維的積分問題。正是由于MCMC方法的發(fā)展和Winbugs軟件 Winbugs軟件是貝葉斯學(xué)派自創(chuàng)的一種專門用于BAYES推斷特別是MCMC估計方法的軟件，其可在。的應(yīng)用，使得原來復(fù)雜異常的數(shù)值計算問題如今變得相對簡單，參數(shù)后驗分布的模擬也更趨方便，所以貝葉斯統(tǒng)計學(xué)派再度得到重視和復(fù)興。MCMC常見的算法包括吉布斯抽樣（Gibbs Sampling）、MetropolisHastings算法和這兩種方法的綜合等。吉布斯抽樣是最簡單也是最常用的MCMC方法，其要求可以從條件分布的全集中直接抽樣。例如給定，我們可以進行如下抽樣： 如果很難直接從和中完全抽樣，例如模型中含有p個未知參數(shù)時，那我們可以利用CliffordHammersley定理按照如下步驟抽樣：1. 抽樣 2. 抽樣 …p．抽樣 p+1. 抽樣 如此重復(fù)迭代G次，這樣就可以產(chǎn)生一個吉布斯樣本，如果G 充分大，那么在一定的條件下參數(shù)會收斂于其真實分布。一般在實踐中，我們會放棄掉一定的樣本數(shù)m（稱為burnin樣本 放棄掉burnin樣本的主要目的在于確保所抽取的吉布斯樣本統(tǒng)計特征與從聯(lián)合分布中抽取的樣本統(tǒng)計調(diào)整足夠接近。），然后利用剩下的G－m個樣本，我們就可以對參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)進行推斷。由于吉布斯抽樣要求從條件分布的全集中抽樣，因此往往需要假設(shè)參數(shù)服從某些標(biāo)準(zhǔn)的連續(xù)分布，如正態(tài)分布，t分布，Beta分布、Gamma分布等，或者某些離散分布，如二項（Binomial）分布和狄利克雷（Dirichlet）分布等。而當(dāng)參數(shù)具有非線性性質(zhì)，或者參數(shù)的條件分布未知，或者條件分布已知但很難抽樣時，吉布斯抽樣往往存在著較大的困難，此時宜采用MetropolisHastings算法。其主要特征在于引入了接受準(zhǔn)則(acceptance criterions)來確保算法能夠產(chǎn)生正確的條件分布。吉布斯抽樣可以看出是MetropolisHastings的一個特例，即接受概率始終為1的情況（Johannes and Polson（2005)）。按照Bayes和MCMC估計原理，并利用EulerMaruyama方程，我們可以將隨機波動模型重新進行表述。以均值方程的標(biāo)準(zhǔn)化殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例，SV模型（公式2－9）、SVJPE（公式2－11）模型和SVHS（公式2－12）模型可分別表述如下：SV模型：SVJPE模型：SVHS模型：這樣表述有利于我們在Winbugs中編程估計。基于一元t分布等厚尾分布的隨機波動模型也可按相同方法進行表述對于一元SVt模型而言，我們假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化的殘差服從一元標(biāo)準(zhǔn)t分布(0,1,v)，但是在Winbugs中的t分布程序命令dt(mu,var,v)，其方差與t分布自由度密切相關(guān)。因此我們不能直接采用Winbugs中的命令從中抽樣。按照前面討論的一元t分布與一元正態(tài)分布的關(guān)系，我們可以用一個逆伽瑪分布和正態(tài)分布的乘積來代替一元t分布，這樣進行的MCMC方法抽樣結(jié)果更加準(zhǔn)確可靠。隨機波動模型估計的另一個難點問題便是各模型績效比較的準(zhǔn)則。對于基于貝葉斯方法的模型選擇問題，學(xué)者們提出了若干檢驗準(zhǔn)則，其中被公認為比較貝葉斯類模型績效的最佳準(zhǔn)則是貝葉斯因素（Bayes factor）方法（Kass and Rafgery（1995））。然而對于SV模型而言，模型中的未知參數(shù)和狀態(tài)過多，這會導(dǎo)致貝葉斯因素的計算相當(dāng)困難與復(fù)雜，特別是當(dāng)維數(shù)較多與樣本數(shù)據(jù)較長時。對于在模型比較中常用的AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則 AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則是計量經(jīng)濟學(xué)中最常用的判斷統(tǒng)計模型性質(zhì)優(yōu)良與否的指標(biāo)。假設(shè)L是模型的對數(shù)似然函數(shù)值，k是模型參數(shù)的個數(shù)，t是時間序列長度，那么：AIC＝2L/T+2(k+1)/T， BIC=2L/T+(k*lnT)/T。從表達式中可以看出，AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則都引入了對增加更多參數(shù)的懲罰，BIC準(zhǔn)則對參數(shù)增加的懲罰力度更大。當(dāng)進行模型績效比較時，AIC值或者BIC值越小越好。而言，其對SV模型的估計與比較也不適用。AIC和BIC均需要知道模型中未知參數(shù)和狀態(tài)的個數(shù)。然而對于SV模型這樣的具有分層模型特點的模型，其模型中包含了長度與樣本長度相同的未知波動狀態(tài)，且這些波動狀態(tài)并不是相互獨立的，而是服從一個一階的馬爾可夫結(jié)構(gòu)，因此模型的參數(shù)精確個數(shù)很難確定。所以，AIC和BIC并不能精確地比較各SV模型的績效。在評估SV模型績效方面近年來被廣泛使用的方法是DIC準(zhǔn)則（Deviance Information Criterion），其由Dempster(1974)首先提出，并由Spiegelhalter,etl(2002)發(fā)展成為評估貝葉斯類模型績效的準(zhǔn)則。與AIC和BIC準(zhǔn)則類似，DIC準(zhǔn)則由兩部分組成，第一部分測量模型的擬合優(yōu)度，而第二部分則是作為模型復(fù)雜程度增加的懲罰系數(shù)。用公式可以表達如下： （公式222）這里面的可以看作基于后驗分布的似然函數(shù)的均值，而可以看作基于后驗分布的參數(shù)均值的似然函數(shù)值，而則代表模型有限參數(shù)的個數(shù)。與AIC值和BIC值類似，DIC值越小說明模型的擬合程度越高。實際上，DIC可以看作是AIC準(zhǔn)則的一般化，即，這里用極大似然估計得到的參數(shù)值代替貝葉斯估計得到的的后驗估計值。特別的，當(dāng)先驗值的概率分布較為扁平(flat)時，極大似然估計值和貝葉斯后驗估計值是一致統(tǒng)計量，那么此時AIC同DIC等價（Spiegelhalter，et al,(2002)）。此外，我們也可以看出DIC準(zhǔn)則同BIC準(zhǔn)則也有密切的聯(lián)系。值得關(guān)注的是，Winbugs需要使用參數(shù)的后驗均值計算DIC值，這就需要保證模型迭代結(jié)果要達到收斂。關(guān)于DIC進一步的研究介紹可參看Spiegelhalter，et al,(2002)和Andreas Berg,et al,(2004)。 樣本數(shù)據(jù)在本小節(jié)我將們以上證指數(shù)為例實證研究GARCH模型和SV模型。上證指數(shù)是上海股市最具代表性的市場指數(shù)，其樣本包含了A股和B股。由于上海股市發(fā)展初期并不規(guī)范而且波動相對較為劇烈，因此我們舍棄掉了最初幾年的數(shù)據(jù)，選取1996年1月1日至2006年12月31日上證指數(shù)的收盤價，并計算其對數(shù)收益率，數(shù)據(jù)來源于通達信交易軟件。上證指數(shù)的日對數(shù)收益率時序可見圖21。從圖中可以看出，上證指數(shù)的波動具有明顯的時變和聚集效應(yīng)特征，而且波動在某些特定時間段相當(dāng)劇烈。表21給出了樣本期內(nèi)收益率的基本統(tǒng)計特征值，在樣本期內(nèi)上證指數(shù)收益率的均值大于0，這說明大陸股市目前正處于成長發(fā)展期，國民經(jīng)濟的快速增長為股市運行提供了良好的基本面，而且由于股市缺乏做空機制，所以盡管歷史上曾經(jīng)數(shù)次出現(xiàn)大的波折，但就總體而言股市仍出現(xiàn)明顯的上升趨勢。從偏度指標(biāo)來看顯著小于0，顯示指