指數(shù)函數(shù)講義經(jīng)典整理[含答案解析](編輯修改稿)
2025-07-22 17:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0兩種情況討論，運用單調(diào)性的定義可作出判斷；（2）當a=﹣3b時，f（x）=﹣3b?2x+b?3x=b（3x﹣3?2x），分b＞0，b＜0兩種情況進行討論，整理可得指數(shù)不等式解出即可；解答：解：（1）當a＞0，b＞0時，任意x1，x2∈R，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=a（﹣）+b（﹣），∵＜，＜，a＞0，b＞0，∴a（﹣）＜0，b（﹣）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；當a＜0，b＜0時，同理，可判斷函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；（2）當a=﹣3b時，f（x）=﹣3b?2x+b?3x=b（3x﹣3?2x），則f（x+1）＞f（x）即化為b（3x+1﹣3?2x+1）＞b（3x﹣3?2x），若b＞0，則有3x+1﹣3?2x+1＞3x﹣3?2x，整理得，解得x＞1；若b＜0，則有3x+1﹣3?2x+1＜3x﹣3?2x，整理得，解得x＜1；故b＞0時，x的范圍是x＞1；當b＜0時，x的范圍是x＜1．點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查分類討論思想，屬基礎題．例2：已知定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)f（x）．在x∈（﹣1，0）時，f（x）=2x+2﹣x．（1）試求f（x）的表達式；（2）用定義證明f（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)；（3）若對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t?2x?f（x）＜4x﹣1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．考點：指數(shù)函數(shù)綜合題；奇偶性與單調(diào)性的綜合．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：（1）由f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)可得f（0）=0，x∈（0，1）時，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x）；從而寫出f（x）的表達式；（2）取值，作差，化簡，判號，下結(jié)論五步；（3）對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t?2x?f（x）＜4x﹣1恒成立轉(zhuǎn)化為對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t＞﹣恒成立，從而可得．解答：解：（1）∵f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，設∈（0，1），則﹣x∈（﹣1，0），則f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2x+2﹣x），故f（x）=；（2）任取x1，x2∈（﹣1，0），且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=+﹣（+）=，∵x1＜x2＜0，∴﹣＜0，0＜＜1，故f（x1）﹣f（x2）＞0，故f（x）在（﹣1，0）上是減函數(shù)；（3）由題意，t?2x?f（x）＜4x﹣1可化為t?2x?（﹣（2x+2﹣x））＜4x﹣1，化簡可得，t＞﹣，令g（x）=﹣=﹣1+，∵x∈（0，1），∴g（x）＜﹣1+=0，故對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式t?2x?f（x）＜4x﹣1恒成立可化為t≥0．點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于難題．例3：已知函數(shù)f（x）=|2x﹣1﹣1|，（x∈R）．
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