數(shù)列上下極限的不同定義方式及相關(guān)性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-07-22 02:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，依下極限定義，則當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，由此推出矛盾，故，即，又令，由于 ，所以 （2） 以及分別代替題（1）中的與，有，由 得 ，即 ，當(dāng)；時(shí)，題（1）（2）中僅不等號成立.性質(zhì) 6 。 。 性質(zhì) 7 若 ，則 。 （7）例7 證：若且，則數(shù)列收斂. 證明：若，則子列，于是有，這與相矛盾，這樣應(yīng)當(dāng)有，然后用上下極限等價(jià)定義來證明.性質(zhì)8 當(dāng) ，且，則下式右端有意義（不是型）時(shí)，有 。 . 證明：以第二式為例給出證明首先設(shè) ，其中為有限數(shù)或.令 則 。 .由得，即，也就是，代回到就得到.其次設(shè) （為有限數(shù)）只要用代替（其中），就可得證.最后 ，這時(shí)即，且（否則出現(xiàn)型），顯然.下面定理指出，對一切數(shù)列的上、下極限必存在（包括）.定理 1（1）有界數(shù)列至少有一個(gè)聚點(diǎn),存在最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn),且這兩個(gè)聚點(diǎn)都為實(shí)數(shù),它們分別為上極限與下極限。（2）如果數(shù)列無上界,則,此時(shí)為數(shù)列的最大聚點(diǎn)。如果數(shù)列有上界① 若中含有數(shù)列的有限項(xiàng),則,此時(shí)。② 若中含有數(shù)列的無限項(xiàng),則數(shù)列以實(shí)數(shù)為最大聚點(diǎn),它就是。（3） 如果數(shù)列無下界,則,此時(shí)為數(shù)列的最小聚點(diǎn)。如果數(shù)列有下界① 若中含有數(shù)列的有限項(xiàng),則,此時(shí)。② 若中含有數(shù)列的無限項(xiàng),則數(shù)列以實(shí)數(shù)為最小聚點(diǎn),它就是.證明: (1) 因數(shù)列有界,令將兩等分,則必有一等分含數(shù)列的無限多項(xiàng),記此區(qū)間為,則,且 ；再將兩等分, 則必有一等分含數(shù)列的無限多項(xiàng),記此區(qū)間為,則,且；如此下去得到一個(gè)遞降閉區(qū)間套:；，且每
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