相似三角形知識(shí)點(diǎn)梳理(編輯修改稿)
2024-07-22 00:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念 1．判斷對(duì)錯(cuò)： (1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？ (3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？ (5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：要說明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，則只要否定其中的一個(gè)條件. 解： (3)一定相似. 在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中 設(shè)AB=a， A′B′=b，則 BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b ∴ ∴ABC∽A′B′C′ (4)一定相似. 因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似. (5)一定相似. 全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1. 舉一反三 【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎？ 解析：，所以對(duì)應(yīng)邊相等. 因此這兩個(gè)三角形全等. 總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似. (2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似. (3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等. 【變式2】下列能夠相似的一組三角形為( ) 解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90176。、45176。、45176。角組成的三角形，.類型二、相似三角形的判定 2．如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比. 思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形. 解：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. ∴ 當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比； 當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比. 總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相似，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來的倒數(shù). 3．已知在Rt△ABC中，∠C=90176。，AB=10，BC=△EDF中，∠F=90176。，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90176。. 由勾股定理得. 在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90176。. 由勾股定理，得. 在△ABC和△EDF中，， ∴ ， ∴ △ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似). 總結(jié)升華： (1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4， 似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊. (2)本題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，判定兩三角形相似. 4．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉. 思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可. 解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC. 條件一：∠1=∠B. 條件二：∠2=∠ACB. 條件三：，即. 總結(jié)升華：，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，：.不符合條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件三能使問題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的. 舉一反三 【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)． 求證：△ADQ∽△QCP．思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而BP=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來判定．具體證明過程如下： 證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2 ∵=3，∴=4 又∵BC=2DQ，∴=2 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90176。， ∴△ADQ∽△QCP． 【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：. 思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，. 證明：連接 ，.在 ∴∽ ∴. 【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)． 求證：△DFE∽△ABC．思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=A
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