網絡的穩(wěn)定性、無源性及耗散性(編輯修改稿)
2025-07-21 06:38 本頁面
【文章內容簡介】 Lyapunov函數，且滿足(1)；(2)。其中，為給定常數，則零解是指數穩(wěn)定的。 Lyapunov函數的構造方法以下是一些實際中常采用的函數構造方法。1. 線性定常系統(tǒng)：取，解，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數構造為。2. 線性時變系統(tǒng)：取，解，求出，由連續(xù)、對稱、正定判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，函數構造為。3. 非線性自治系統(tǒng)：(1)Jacobian矩陣法先計算Jacobian矩陣，選取，為對稱正定陣，則的時間導數為令，則給定，求出，由的正定性判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。特例，則，是克拉索夫斯基法。(2)變量梯度法由，其中，若選取使得為負，同時滿足旋度方程，則在此條件下求得 穩(wěn)定性一般將非線性系統(tǒng)的動態(tài)過程描述為如下的狀態(tài)空間表達式形式： 式中，為該系統(tǒng)的內部狀態(tài)；為系統(tǒng)外部輸入信號；為系統(tǒng)輸出信號。在考慮外部輸入信號作用下系統(tǒng)的輸出響應特性分析時，可以采用輸入—輸出法來建模非線性系統(tǒng)，就像可以采用傳遞函數這種外部描述法來建模線性系統(tǒng)一樣。即非線性系統(tǒng)輸入輸出之間關系被描述為如下形式： 其中，代表某種映射或算子，指定了輸入和輸出之間的關系。下面研究工程系統(tǒng)的品質特性，即從映射或算子的角度給出非線性系統(tǒng)輸入—輸出穩(wěn)定性的定義與判別方法。1. 穩(wěn)定性定義 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在定義在上的函數和一個非負常數，使得對任意，有 成立，則稱算子是穩(wěn)定的。其中表示向量空間的范數。 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在非負常數和，使得對任意，有 成立，則稱算子是有限增益穩(wěn)定的。 如果，是一致有界信號的空間，則穩(wěn)定性即為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。顯然BIBO穩(wěn)定意味著任何一個有界輸入的激勵響應都是有界的。由于范數的等價性，表征BIBO穩(wěn)定的定義不局限于空間或范數。實際上，只要輸入信號在某種范數意義下有界時，輸出信號也在同一范數意義下是有界的，則可稱該系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。 考慮式非線性系統(tǒng)，其中算子。如果存在正常數，使得對所有具有的，有不等式或不等式成立，則稱算子是小信號穩(wěn)定的或小信號有限增益穩(wěn)定的。 增益穩(wěn)定性在系統(tǒng)分析中起著特殊的作用，因為是平方可積信號，因此常可看成為有限的能量信號。在許多抗干擾控制問題中，系統(tǒng)可以被看成是從一個干擾輸入到一個被控制輸出的輸入—輸出映射，希望輸出信號很小。如果使用輸入信號，那么，控制設計的目的是保證輸入—輸出映射是有限增益穩(wěn)定的，并且使系統(tǒng)的增益最小。 考慮線性定常系統(tǒng) 其中，為Hurwitz矩陣。設，則系統(tǒng)的增益是 即。 考慮非線性自治系統(tǒng) 式中，是局部Lipschiz的，在上連續(xù)，且。如果存在一個連續(xù)可微的半正定函數和一個正數，使得如下不等式成立： 那么，對于所有的，系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的，且它的增益不大于。 小增益定理圖 2 1中的系統(tǒng)是由兩個子系統(tǒng)和反饋連接構成的。假設兩圖 2 1 反饋連接系統(tǒng)個系統(tǒng)都是有限增益穩(wěn)定的，即有 進一步假設對每對輸入和，都存在唯一的輸出和，在此意義下反饋系統(tǒng)有明確的定義下面的小增益定理給出了反饋連接系統(tǒng)有限增益穩(wěn)定性的一個條件。（小增益定理）對于圖 2 1 反饋連接系統(tǒng)，在前面的假設條件下，如果，則反饋連接系統(tǒng)是有限增益穩(wěn)定的。第3章 網絡的無源性無源性的概念來源于電網絡和物理學的分支[3]，是與系統(tǒng)的能量存儲函數以及外部輸入和輸出信號相關的概念。因此，無源性很好地把系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性和穩(wěn)定性聯(lián)系起來，為分析非線性系統(tǒng)提供了一個有力的工具。由于無源性理論利用了物理系統(tǒng)的結構特點，無源性方法和其它控制技巧結合使用時，可以簡化相應的控制方法，用無源化方法設計的非線性觀察器觀測器可以減少觀測器的參數，而且它也可以簡化自適應控制，魯棒控制，滑?？刂瓶刂?，神經網絡和模糊控制。近年來，無源性理論廣泛應用于控制系統(tǒng)設計，機器人控制，機械系統(tǒng)，電力系統(tǒng)和化工過程等方面[3,4]。 無源性的概念無源性的概念來源于電網絡，所以用電路來闡述該定義。圖 2 1圖 3 1所示是電壓為，電流為的單端口電阻元件，把該元件看成是以電壓為輸入，電流為輸出的系統(tǒng)。，為電導。圖 3 1 無源電阻如果輸入功率始終是非負，即如果在特性的每個點都滿足，則該電阻元件是無源的。對于一個多端口的網絡，和是向量，流入網絡的功率是內積。如果對于所有都有，則認為網絡是無源的。是無源性的極限情況。在這種情況下，認為系統(tǒng)是無損耗的。首先把這一無源性概念推廣到無記憶非線性函數 其中。 考慮式系統(tǒng)，（1）如果，則系統(tǒng)是無源的；（2）如果，則系統(tǒng)是無損的；（3）如果存在某一函數，滿足，則系統(tǒng)是輸入前饋無源的；（4）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸入嚴格無源的；（5）如果存在某一函數，滿足，則系統(tǒng)是輸出反饋無源的；（6）如果滿足，且，則系統(tǒng)是輸出嚴格無源的。以下定義由狀
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