網絡的穩(wěn)定性、無源性及耗散性-文庫吧
2025-06-09 06:38 本頁面
【正文】 時間變量；是的分段連續(xù)函數(shù)，且關于在上局部Lipschitz，是包含原點的域。，即是平衡點。同樣，也只研究平衡點在原點的情況。如果平衡點不在原點，可以通過坐標變換將其移到原點。例如，假設系統(tǒng)的解為，通過坐標變換，系統(tǒng)變換為因此，原點是系統(tǒng)在時的一個平衡點，可以通過判別被變換系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性能，來確定原系統(tǒng)解的穩(wěn)定性能。對于任意初始條件，式系統(tǒng)的解在上有定義且是連續(xù)的。非自治系統(tǒng)平衡點處的穩(wěn)定性概念與上面介紹的自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念基本相同，不同的是自治系統(tǒng)的解僅依賴于，而非自治系統(tǒng)的解既依賴于，又依賴于。因此，對于非自治系統(tǒng)，各種穩(wěn)定性的定義需要修改，而且需要更詳細的劃分。（Lyapunov穩(wěn)定性和一致Lyapunov穩(wěn)定性）如果對于任意給定的及初始時刻，存在一個常數(shù)，使得對任意滿足的初始條件，式系統(tǒng)的解滿足 則稱平衡點是Lyapunov穩(wěn)定的。如果在上述定義中，而與無關，則稱平衡點是一致Lyapunov穩(wěn)定的。如果式對任意成立，則稱平衡點是全局穩(wěn)定的。（漸近穩(wěn)定性和一致漸近穩(wěn)定性）如果式系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定的，且存在使得 則稱平衡點是漸近穩(wěn)定的。如果平衡點是漸近穩(wěn)定的，且存在的與無關，則稱平衡點是一致漸近穩(wěn)定的。如果平衡點是一致穩(wěn)定的，且對于每對正數(shù)和，存在，使得 則稱平衡點是全局一致漸近穩(wěn)定的。（指數(shù)穩(wěn)定性）若式系統(tǒng)在平衡點是漸近穩(wěn)定的，且存在正數(shù)和，使得下式成立： 則稱平衡點是指數(shù)穩(wěn)定的。如果式對任意成立，則稱平衡點全局指數(shù)穩(wěn)定。需指出，時變系統(tǒng)平衡點的指數(shù)穩(wěn)定即為一致指數(shù)穩(wěn)定。 平衡點穩(wěn)定性判別方法，平衡點的穩(wěn)定性是可以根據這些定義來判別的，但是直接由定義進行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別，有時候是很困難的，因此，控制理論發(fā)展了平衡點穩(wěn)定性判別方法。 自治系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性判據1. Lyapunov穩(wěn)定性定理 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內，有(1)，且，即在內是正定函數(shù)；(2),即是半負定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點處是Lyapunov穩(wěn)定的。2. 漸近穩(wěn)定性定理 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域，是連續(xù)可微函數(shù)。如果在內，有(1)，且，即在內是正定函數(shù)；(2),且即是負定函數(shù)。則系統(tǒng)在平衡點處是漸近穩(wěn)定的。 （全局漸近穩(wěn)定）對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是連續(xù)可微函數(shù)。如果(1)，；(2),。則系統(tǒng)在平衡點處是全局漸近穩(wěn)定的。3. 指數(shù)穩(wěn)定性定理 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域。如果存在連續(xù)函數(shù)，常數(shù)，使得對任意的，有(1)；(2)。則系統(tǒng)在平衡點處是局部指數(shù)穩(wěn)定的。如果對于任意的，條件（1）、（2）都成立，則平衡點是全局指數(shù)穩(wěn)定的。4. 不穩(wěn)定定理 對于式系統(tǒng)，令是平衡點，是包含的域。若存在連續(xù)可微函數(shù)，有，并且對于在原點的任意小鄰域內（很?。┯小Ｍ瑫r，定義集合，在域內。則此時系統(tǒng)在平衡點是不穩(wěn)定的。5. 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性判別現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)的特例線性定常系統(tǒng)的情況。線性定常系統(tǒng)描述為 其中，是非奇異陣。式系統(tǒng)有唯一的平衡點。則平衡點的穩(wěn)定性可由如下定理判別。 對于式系統(tǒng)，平衡點是漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣的所有特征根滿足，即矩陣為Hurwitz矩陣。而矩陣特征根均為負實部，當且僅當對任意給定的正定對稱陣，存在滿足如下Lyapunov方程的對稱正定陣，而且，如果陣是穩(wěn)定陣，那么，是方程的唯一解。 6. 非線性系統(tǒng)的線性化考慮式非線性系統(tǒng)，其中，是連續(xù)可微的函數(shù)，包含在中，且是平衡點。由中值定理有 其中，是連接與原點的線段上的一點。由于，則 所以有 其中。函數(shù)滿足不等式，由于的連續(xù)性，有當時。這意味著在原點的很小的鄰域內，非線性系統(tǒng)可以用它的關于原點的線性化來近似表示，則在原點的穩(wěn)定性可以用其近似方程中矩陣來判別。進而有下面的Lyapunov間接定理。 對于式系統(tǒng)，是平衡點，連續(xù)可微，是原點的一個鄰域。令，則(1)如果的所有特征根均為負實部，原點是漸近穩(wěn)定的。(2)如果的特征根有一個或多個，原點是不穩(wěn)定的。 ，對于一些特征根的情況的結論，在這種情況下，用線性化不能確定原點的穩(wěn)定性。 時變系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性判別本節(jié)將討論式時變系統(tǒng)的平衡點是穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定的條件。注意，與自治系統(tǒng)相比，時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析增加了一致性的概念。設是原點的一個鄰域，是初始時刻。 （Lyapunov穩(wěn)定定理）對于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微的正定函數(shù)，并且沿式系統(tǒng)的軌跡對的導數(shù) 是連續(xù)半負定的，則是該系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點。若是正定且漸小的，即存在正定函數(shù)，使得，則平衡點是一致Lyapunov穩(wěn)定的。 （漸近穩(wěn)定定理）對于式系統(tǒng)，若存在連續(xù)可微函數(shù)，和連續(xù)正定函數(shù)，使得和沿式系統(tǒng)的任意軌跡的時間導數(shù)滿足(1)(2)則是該系統(tǒng)的一致漸近穩(wěn)定的平衡點。如果，是徑向無界，則是該系統(tǒng)的全局一致漸近穩(wěn)定的平衡點。 對于式系統(tǒng)，若是系統(tǒng)的
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