【文章內(nèi)容簡介】 個箱子中沒有卡片（ ）iAni,21??則 AA??321?根據(jù)容斥原理，得 ???123nPB? ????????niniiAP1122????nnnii iiAnn ???? 21121 12?????因為 （ ）??kkinAP???????i,? (對任意的 )?kki n?2121 21i?依次類推，對任意的 ，我們有ii??21 ????knkii kiiAPnAPn?????????????????1321121321????于是 齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)10 ??????????????ni knikniniCAP21211所以 ????knknkn CB ????????????????????? 11211 ?從而 P??即 ?? ???????? ?????????????????????? knknknC11211?但是由于 ,事件 B 每一箱子中至少有一張卡片為一不可能事件，故k?,從而當 )(?BP .1)1(211 ??????????????????????? knknkn CC?例 3 證明組合恒等式 nnnn 232?證明 我們構造如下概率模型：有一枚均勻的硬幣，我們重復投擲 n 次，求它正面向上的次數(shù)的期望。顯然，我們知道 ，于是便得出：)21,(~nB? ?????ni ni nikkCkpE0002)1()(而且 k ,1????次 試 驗 反 面 朝 上第 次 試 驗 正 面 朝 上第?所以便得到 2)()01nEEniknk???那么 20Cni??整理后，得 nnnn 1231 ?????齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)11第 3 章 運用概率理論構造數(shù)學模型證明組合恒等式 運用隨機變量的數(shù)字特征證明組合恒等式在概率論中，我們可以討論隨機變量的數(shù)字特征，并且通過隨機變量的數(shù)學期望而進一步證明一些恒等式。而運用隨機變量的數(shù)字特征來證明組合恒等式就是我們依照需要被證明的組合恒等式的特點，然后構造出合適的隨機變量，并且利用隨機變量的數(shù)字特征的定義，性質(zhì)來證明組合恒等式成立的方法，其中可以利用數(shù)學期望，數(shù)學方差等。利用數(shù)字特征法是證明組合恒等式的一種比較重要的方法，我們在了解了具體概念后就用一系列的例子加以說明并且具體闡述，從而讓我們了解到這種方法是怎樣的一種方法。引理 若隨機變量 的方差 ,則 =?)(D)(?)(2?E?]1[引理 伯努利概型設有服從二項分布 ，為 非 負 整 數(shù)，其 中 )n1p0(,21,.0}{??niAi ??并有 )????ni iipC][例 1 證明組合恒等式 ??kmmnin2證明 當 m=1 和 m=2 時，我們可以用以下證明方法：設 ~b（n， p） ，? 1qp0),1( ???? 且kqpCPnk?當 m=1 時： ???kknqpE0)?令 p= ，則 ，也就是21??nkn112??nknkC112當 m=2 時： ???????nkknkpqPEE12 )()(]([])([)( ???根據(jù)公式 = ，從而得出)(?D)(2?????nk nknCpq2 2)1()(令 p= ，則 21???nk nknC2)1()(齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)12以上兩個是特例，它的一般性情況證明如下：運用推廣的伯努利概型和多項式分布，我們構造如下概率模型：設一個盒子中有紅黃白三種顏色的卡片若干，每次隨機抽取一張，取后放回，這樣連續(xù)做 n 次， 和 表示每次抽取紅色卡片與黃色卡片的概率， 和1p2 1?表示每次抽到的紅色卡片與黃色卡片的次數(shù)。于是（ ， ）服從多項分布，2? 1?2其分布律為 jinjiji ppinjiP ???)()!(!},{ 2121?令 ，則聯(lián)合分布率為：21,41?p 12)!(!},{???nji jinji?它的邊緣分布為： ???mniipP0212 },{)(?同時 nmnmnCCB21)(,1~22 ????因為多項分布的邊緣分布是二項分布，從而兩式相等，也就是： mnmnii????0所以證得原組合恒等式 成立。???kmninC2例 2 證明組合恒等式 ????11iimn證明 我們利用隨機變量的數(shù)字特征，構造出一下概率模型：設一個盒子中裝有 n 張白色卡片，m 張黑色卡片，一張接一張地將卡片取出，直到取出白色卡片為止，求平均要取多少張卡片。這是求一個隨機變量 X 的期望值：記事件{ }={取出的前 i1 張卡片全是黑色卡片} ，i?令 ，那么????)(01iXi? xXixixixii ??????????? 1100 0齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)13由于 非負，所以iX????????1!10)()(i miinxii CXPEX但是我們可以將 EX 更簡單的表示形式計算出來，于是我們假設已經(jīng)把所有的張卡片從盒子中取出來了，同時令 表示第一張白色卡片之前的黑色卡mn?1片張數(shù) 最后 表示最末一張白色卡片之后的黑色卡片張數(shù)，根據(jù) 的定,? 1?nX 1X義： mExxmnn ???? !21121,??在考慮 的聯(lián)合分布為 P{ }= ，121,?nx? 121, ?niXiiX? )!(其中 是非負整數(shù)，它們的和為 m。121,nii?這是因為從盒中取出的 張卡片一共有 種可能方法。而且，取n)!(n出的先是 張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是 張黑色卡片，接著1i 2i又是一張白色卡片等等，很明顯，共有 種可能方式。因此，就可以得到上!述式子。于是我們可以得到： 的聯(lián)合分布是 的對稱函數(shù)，121,?mX? 121,?nii?所以對任意 n 個變量求和，所得到的結(jié)果是相同的，于是我們知道 的邊緣分ix布相同。從而 11][),1,2(1 ?????? nmXEnimEXii ?于是我們得出 ????1miinC如果采用分析學的方法來證明這個組合恒等式是非常難的，所以我們采用數(shù)字特征法來證明。例 3 證明組合恒等式 , .??nkn112???knknC22)1(證明 我們可以考慮下列隨機變量的數(shù)字特征.設一名籃球運動員在條件相同下向同一籃筐投籃 n 次，每次進球的概率為，考慮“投進籃筐次數(shù)”這個隨機變量 X 的數(shù)字特征 .21齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)14 記 ????次 沒 有 進 籃 筐第 次 投 進 籃 筐第 kXk,01則 獨立同為二點分布： （n、 ?321 ????2101??iiXP）, 且 服從二項分布 B(n, )ni,??nX???21所以 ( )=EXn??21???????kkE112 ?????nkknXDXD1121 4?而 ???nknk CPXE10 即 ???nkC12??nkn112又 ??????nk nkkCXPE0122 ????XEDXE22?? 即 ????????nkC1224???nknk122)1(例 4 證明組合恒等式 ???rkrnmrnC0證明 考察從由 個大人和 個孩子組成的家庭隊伍中選取 個人參mn? 1?r加親子比賽的問題. 所選 個人中大人的人數(shù)用 X 表示，則隨機變量 X 服1r從超幾何分布，且（ ）??1???rnmkkCXP1,0??r?于是 ???????? ????????rkkrnmn rkkrnmnrkkrnCmCE0 11101令 （ ）????個 大 人 未 被 選 中第 個 大 人 被 選 中第 kXk,01 1,2??mk?齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)15 , .??????1。1????nmrXPEnmrXPkkk 1,2??mk? ?21? ????????????111kkknrE例 5 證明組合恒等式 ???nkknmC11)(/證明 一個盒子中裝有 m 張白色卡片 n 張黑色卡片，我們進行連續(xù)不放回地抽取卡片，直至摸到白色卡片時為止，下面考察取黑色卡片數(shù)的數(shù)學期望.設隨機變量 表示取黑色卡片數(shù)? n2,1ii1i,0 ，其 中次 取 到 白 色 卡 片一 次 ， 或 第） 次 至 少 取 到 白 色 卡 片前 （ 次 也 取 到 黑 色 卡 片片 ， 第） 次 都 是 取 到 的 黑 色 卡前 （ ??????i?則 ??ni1?又 ????1)(1?????inmnmpi ???且 1?iipE?于是我們得出 ????????????????????????后 兩 項 通 分化 簡 時 ， 每 一 次 只 將 最11 143151241 13231111???? ???? ???? ?????????mnmn mnmnnnm nnn imnEnii? ??? ?? ??? ?? ? ?? ?? ??? 同時， 其中 .???????????， 白黑黑 ， 黑 ，個 ?????k? nk,210??齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)16 則 .????1/?????kCmkpnn?從而 ?????????? ?????? ?????nkknmk nk knmkkmknC CKE110 11/ // 由 的唯一性知：?E???nkknmC11/整理即得： .????nkknmC11/例 6 證明組合和恒等式 ??nnknk C2201????????證明 首先，我們構造如下概率模型：設某人有兩瓶牙簽，每一瓶都有 n 根，每次用牙簽的時候，他在兩盒中任取一盒，然后抽出一根適用若干次后，發(fā)現(xiàn)一瓶牙簽已經(jīng)用完，求另一瓶中有k 根牙簽的概率。如果用 ， 分別表示甲或乙瓶中余下 k 根牙簽. 用 表示一盒1A2 rA用完， 而另一盒中有 k 根的事件，則 .21Ar??注意到，當發(fā)現(xiàn)一盒已空時． 這一盒必定在前面已用過 n 次， 另一盒余下 k 根， 從而另一盒已用過 n—k 次， 故共用了 2 n —k +1 次. 每次取到甲(乙) 瓶的概率是 . 所以 21?????211APAPr ??? =rnnrrnnrCC???? ?????????????? 122=rnnr?21于是我們得出：.??,2knnkCp???????????n,210??下面用不同的方法計算隨機變量 的期望值.?齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)17根據(jù)定義： ???????????????nknkknkCpE00221? = ???nknkK0221另一方面，設 ，由 知：uE????nkp01????????????????2/012 1122121