【正文】 左”只手套， .顯然i mi?,10?齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)25 且 （ 則 .又因為 中的 i 只“左”imA0????ji )ji?????miiAP0i手套可有 n 種“左”手套可供選取，共有 只手套全inCim?是“右”手套，為了使得取出的 m 只手套全不配對，那么，這 只“右”手n套只能在剩下的 種型號的手套所對應的 “右”手套中選取，共有i?i?，由乘法原理可得， 的基本事件數(shù)目為 （imnC? iAimniC?） 那么i?2,10? ??mniiniCP2/??由此可得 nmiiiiniA200/????綜合上述可得組合恒等式: ???mi mniinC0例 4 證明組合恒等式 ???i nbainbia1證明 我們構造如下的概率模型：設一個盒子中有 a 張黑色卡片， b 張白色卡片，我們現(xiàn)在從中隨機抽取張卡片，求所取的卡片中至少有一張黑色卡片的概率。),min(b?記事件 為任取的 n 張卡片中至少有一張黑色卡片；A事件 為任取的 n 張卡片中至少有一張黑色卡片（ ）i ni,21??那么 是互不相容事件并且 ，則n,21? ???niA1)(1??niiAP而 ),2()(CAPnbaiii ????于是 nbaiiinii?????11)()(記事件 為任取的 n 張卡片中沒有黑色卡片A齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)26則 nbaCAP??)(那么 nba??1)()(所以我們得到 nbanbaiiiC?????1整理可得 ??i nbainbia1第 4 章 由概率論方法引申出的恒等式證明 級數(shù)恒等式的證明例 證明級數(shù)恒等式 ????1()!n證明 我們建立如下概率模型：設有一個盒子，里面裝有黑色卡片和白色卡片，設其為事件 A，其中白色卡片一張，黑色卡片無數(shù)張，則事件 A 只包含兩個基本事件摸出為黑色卡片（設為事件 B）和摸出白色卡片（設為事件 C）的隨機試驗，我們進行有放回的隨機抽取卡片，并且為獨立重復 次試驗，則在第 次試驗中，B 出現(xiàn)的概率nk，不出現(xiàn)的概率為 ，則 。)(kP)(kQ)(1)(P??現(xiàn)令 表示在 次獨立試驗中 B 首次出現(xiàn)在第 次試驗中的概率，于是有nT n， ，……， ,)1(?)2(1P?()(2)(1)TQPn?? ?令 ， ，則有 。1NnP?1Nn???PN???取 ，則 ,()?1()()n?故 111NNNnnnTQ?????（ ） !由于 ， ，所以有 ，??1lim0Nn1()n?齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)27 初等組合恒等式的證明例 證明下面兩個組合恒等式(1) 其中1rrnnC???,rsN?(2) 其中12ssssC??? ? ,nrs證明 (1) 我們建立如下概率模型：設一個盒子中裝有 張卡片,其中僅有一張紅色卡片，現(xiàn)從盒子中取出 張n r卡片，則有 種取法。于是我們可將這 種取法分為兩類：一類是包含紅色rnCrn卡片的，取定了那個紅色卡片之外，還需在剩下的 張卡片中取出 張卡1?1?r片來，共有 種取法；另一類是不含紅色卡片，應在除去紅色卡片后的1rn?張卡片中取出 張卡片，因此共有 種取法，并且這兩類取法之和即?n 01rnC?為取法總數(shù)，即 種取法。所以有rnC，1011rrrrrnnn??????故(1)式得證。下面證(2)式：對(2)式作變換：令 有 1??sr111sssnnnC???再令 有 1n??122sss?以此類推… 12 1sssssC????把上面的式子左右各相加，化簡有 。??(2)式得證。 級數(shù)組合恒等式的證明例 證明下面的級數(shù)組合恒等式(1) (2) (3) 0kikikmnnmiC????0kinmiC???20()!kiniC??齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)28(4) 00(1))!(1)2nkrnk rnCn???????????當當當 +證明 (1)我們構造如下概率模型：設一個盒子中有 張白色卡片和 張黑色卡片，我們現(xiàn)從中隨機地取出nm張卡片，考慮取出的 張卡片中有 張白色卡片的事件 ( =0，1，…， )的kki iAk概率，于是可得， ，??ikimniCPA???0,12k??, ，……， 是互不相容的事件，且這 個事件之并是必然事件，?0A1k ?即 ，則 ，kiU??0()1ii???于是 ，即 .01ikkmniC??0kikikmnnmiC???(2)令 ，由式 (1)可得式 (2)；(3)令 ，由式 (2)可得式 (3)。n?(4)欲證此等式，首先引入一個引理引理：設隨機事件 滿足12,nA?，()()iPpi?? ?12212,()i in??333()iiAi?……，12(),nPp?? ?則有 （1）1()1(kknkACP?????為了證明本式，我們建立如下概率模型：從 1 到 這 個自然數(shù)中每次任取一數(shù)，有放回地抽取 次，令 ={取出的 個n riAr齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)29數(shù)均不等于 ， 則in，， ??21?12()(),rkiikpPA?? 12( ,12)kiinn????? ? ? ?則由(1)式 , （2）111()()()nnkrknkC?????當 時，必存在 使得取出的 個數(shù)均不等于 ，因此 是必然事件，于r??i i1niA??是，由(2)式有，即 ，1 01()()()n nkrninkCPAC?? ???1()()0nkrnkC????① 當 時， ={取出的 個數(shù)中至少有一個等于 }， = 1,2,…, ，于是， r_i i{取出的 個數(shù)均不相同}，由[7]知其概率為 ，從而有1niA??n !n11!()()nni ini iPUAA?????把上式代入(2)式整理可得 0()()!nkrnkC??② 當 時，則 {取出的 個數(shù)恰有兩個數(shù)相同}，其概率1??nr1niA??1?，1()iPA?于是得出可知 ，211!()niniPAC??從而有 2111!()()ni i ni iU??????代入(2)式整理可得 21()()()!!nkrnnkoCC???③ 當 時，考慮隨機試驗：從大于 的自然數(shù)中任取一數(shù)，令 ={取出的0r iA數(shù)大于 }， =1,…, ，則顯然i齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)30 12 12(, ,)ki ik kpPAiinn??????? ? ? ? ?且 ，代入(1)式整理可得 ， 01)ninkoUC??()0nknkoC???所以有 0())!(1)2nkrnk rnn??????????當當當 +綜上所述，證明完畢。齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)31總 結本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數(shù)等相關知識。其主要思想是針對所要證明的組合恒等式構造出適當?shù)母怕誓Ｐ?，求出該模型中有關事件的概率。而構造概率模型來證明組合恒等式的基本方法是：首先根據(jù)需要被證明的組合恒等式特點建立相對應的概率模型；然后在概率模型中分析思考問題。然后根據(jù)概率的一些性質，推出應有的結論。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎知識的理解和掌握。本文主要研究了如何運用概率論的方法證明一些組合恒等式，一共分為三章：第一章緒論中，簡單介紹了概率論方法研究的背景和發(fā)展狀況，自然引出了需要研究的問題；第二章主要介紹如何運用概率論的基本理論來證明組合恒等式；第三章主要介紹如何運用概率理論構造數(shù)學模型；來證明組合恒等式；第四章針對前面的證明方法進行推廣證明一些其他的恒等式，以便于更加深刻理解這種用概率理論證明恒等式的好處。組合恒等式的證明問題通常需要超高的技巧，有意識的積累一些組合恒等式的證明方法是很有益的。特別是運用概率論的方法證明，構造出適當?shù)母怕誓Ｐ图右哉f明和解釋則非常有助于恒等式的記憶，理解與運用。通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學研究和實際生活中的很多應用，這更堅定了我努力研究數(shù)學知識并將這些知識應用于生活中的決心。齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)32參考文獻[1] 紀玉卿，祝廣大. 組合恒等式的概率證法 [J].許昌師專學報, 1999，18(5)：8487[2] 譚毓澄，張勁松，王玉娟. 由一概率問題引出的組合恒等式[J] .江西教育學院學報（綜合） ，2022，29(6): 78[3] 田俊忠，魏淑清 .恒等式的概率方法證明[J].固原師專學（自然科學版）,1997，18(13): 1012[4] 盧開澄,盧華明 .組合數(shù)學[M].北京：清華大學出版社,2022[5] 姚仲明. 恒等式證明的概率模型法[J]. 安慶師范學院學報（自然科學版） , 2022,9(4)：3738[6] 張?zhí)? 用概率思想證明組合恒等式[J]. 《 張?zhí)剑河酶怕仕枷胱C明組合恒等式》1999，10(2) ：6770[7] 潘茂桂. 用概率方法證明組合恒等式[J]. 牡丹江師范學院報 (自然科學版). 2022，1(2):3940[8] 潘茂桂，撒曉嬰. 用概率方法證明組合恒等式[J] . 西南民族學院學報（自然科學版） ，1993，11(4):436440[9] 鮑煥明. 組合恒等式的概率證明[J]. 牡丹江師范學院報 (自然科學版). 2022, 1 (2):3940[10]Brualdi R A. Introductory binatorics [M]. New York:NorthHolland,1997,150.[11]Probablity Theory I 4th Edition [M]. New York:SpringerVerlag,1977,189195.齊齊哈爾大學畢業(yè)設計(論文)33致 謝我要感謝我的導師崔繼賢老師，他為人隨和熱情，治學嚴謹細心。在閑聊中他總是能像知心朋友一樣鼓勵我，在論文的寫作和措辭方面他總會以“專業(yè)標準”嚴格要求我，從選題定題開始，一直到論文最后的反復修改，潤色，崔老師始終認真負責地給與我深刻而細致地指導，幫助我開拓研究思路，熱心點撥，熱忱鼓勵。正是崔老師的無私幫助與熱忱鼓勵，我的畢業(yè)論文才能夠得以順利完成，再次謝謝崔老師。然后還要感謝大學四年來所有的老師，為我打下數(shù)學專業(yè)知識的基礎，感謝李學院和我的母?！R齊哈爾大學四年來對我的大力栽培。最后我要感謝我四年的大學同學，感謝我的家人和那些永遠忘不了的朋友，他們的支持與情感，是我永遠的財