【正文】 然后還要感謝大學(xué)四年來所有的老師，為我打下數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)，感謝李學(xué)院和我的母?！R齊哈爾大學(xué)四年來對我的大力栽培。通過對本文的深入研究，不但使我對于概率論的方法證明組合恒等式有了更深一步了解，而且了解概率論在科學(xué)研究和實(shí)際生活中的很多應(yīng)用，這更堅(jiān)定了我努力研究數(shù)學(xué)知識(shí)并將這些知識(shí)應(yīng)用于生活中的決心。組合恒等式的證明方法有很多，而用概率論的方法來證明組合恒等式不僅提供了組合恒等式的不同證明途徑，而且有助于加深我們對概率論基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握。齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)31總 結(jié)本文通過概率理論給出了證明組合恒等式的方法，主要應(yīng)用了概率論中的古典概率，完備事件，互不相容，基本事件總數(shù)等相關(guān)知識(shí)。下面證(2)式：對(2)式作變換：令 有 1??sr111sssnnnC???再令 有 1n??122sss?以此類推… 12 1sssssC????把上面的式子左右各相加，化簡有 。)(kP)(kQ)(1)(P??現(xiàn)令 表示在 次獨(dú)立試驗(yàn)中 B 首次出現(xiàn)在第 次試驗(yàn)中的概率，于是有nT n， ，……， ,)1(?)2(1P?()(2)(1)TQPn?? ?令 ， ，則有 。于是 的組有 個(gè)，因此總數(shù) 滿足inirmC??1rC??????iirmrC01我們令 得 irj?????rjjmr01 運(yùn)用等概率法證明組合恒等式我們從不同的角度解答同一個(gè)概率問題，就可以得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，并且由它們相等來證明組合恒等式。 記事件 A 為取得紅色卡片，事件 為第 i 次取得紅色卡片iA于是我們得到 = ????12132121 ???mnA????由加法公式、乘法公式及條件概率的定義，得齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)20?? 1111 mnmnmnm CCCAP ??????? ?????顯然，只要逐個(gè)取卡片，早晚是要取得紅色卡片的. 即事件 A 為一必然事件，故 . )(所以 .1 112312 mnCCnmnmn ???????? ???古典概率與組合數(shù)有著十分密切的聯(lián)系，某些組合式本身或稍加整理，就具有某種明顯的概率意義. 例如 就可視為下面概率問題的解：rnk?“某盒中有 n 個(gè)球，其中有紅球 m 個(gè)，今從盒中任取 r 個(gè)球，求恰有 k 個(gè)紅球的概率” ，基于這一點(diǎn)，對某些組合恒等式，我們可采用古典概率的方法來證明. 例 3 證明組合恒等式 ?????nknrmkrmC01???證明 我們構(gòu)造如下古典模型：一個(gè)城市的道路是經(jīng)緯均勻網(wǎng)狀，李某的家庭住址和上班地點(diǎn)恰好分別處、交叉點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，并使李某的上班地點(diǎn)處于坐標(biāo)系第一象限之中.設(shè)李某的上班地點(diǎn)位于點(diǎn) .),1(nrm??考慮李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過的路最短時(shí)所選擇的路徑問題， （即在以 、 、 、 為頂點(diǎn)的矩形內(nèi)，李某從住)0,(,n),(r?)0,(r處到單位上班沿與 X 軸平行的方向行走時(shí)只能向左拐，沿與 Y 軸平行的方向行走時(shí)只能向右拐）.易知，李某從家庭住址到上班地點(diǎn)走過的路最短所選擇經(jīng)過的路徑共有?記 表示事件“李某經(jīng)過端點(diǎn)為 和 的路徑數(shù)”kA),(kr),1?所包含的基本事件個(gè)數(shù)為:從 點(diǎn)到 點(diǎn)走過的路徑數(shù)乘以從0(點(diǎn)到 點(diǎn)的路徑條數(shù).),1(kr?),1(nr??即為 knmrkknrmr CC??????)1(齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)21 （ ）???nrmkkCAP1???n,2??由 的定義知， ?、 10 ??????????????krknrmkk CAP0010?上式整理得： ???nkrnkmrC0令 得： nm?nrrr 11??例 4 證明組合恒等式 ????iinrnr021證明 我們構(gòu)造如下古典概率模型：設(shè)將 n 張相同的卡片放到 r 個(gè)不同的盒子中，把這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果作為一個(gè)向量 ，其中 表示被分到第 i 個(gè)盒子中的卡片數(shù)，于是滿足),(21rx? i的向量 的個(gè)數(shù)。???niA1 ),21()(nipAPi ?? 其中第一步需要掌握靈活的恒等式變形能力，以及敏銳的觀察力，而要完成關(guān)鍵的第二步，必須對于古典概率問題有深刻的理解，還要把握許多的綜合條件，同時(shí)具有豐富的聯(lián)想能力。例 3 證明組合恒等式 , .??nkn112???knknC22)1(證明 我們可以考慮下列隨機(jī)變量的數(shù)字特征.設(shè)一名籃球運(yùn)動(dòng)員在條件相同下向同一籃筐投籃 n 次，每次進(jìn)球的概率為，考慮“投進(jìn)籃筐次數(shù)”這個(gè)隨機(jī)變量 X 的數(shù)字特征 .21齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)14 記 ????次 沒 有 進(jìn) 籃 筐第 次 投 進(jìn) 籃 筐第 kXk,01則 獨(dú)立同為二點(diǎn)分布： （n、 ?321 ????2101??iiXP）, 且 服從二項(xiàng)分布 B(n, )ni,??nX???21所以 ( )=EXn??21???????kkE112 ?????nkknXDXD1121 4?而 ???nknk CPXE10 即 ???nkC12??nkn112又 ??????nk nkkCXPE0122 ????XEDXE22?? 即 ????????nkC1224???nknk122)1(例 4 證明組合恒等式 ???rkrnmrnC0證明 考察從由 個(gè)大人和 個(gè)孩子組成的家庭隊(duì)伍中選取 個(gè)人參mn? 1?r加親子比賽的問題. 所選 個(gè)人中大人的人數(shù)用 X 表示，則隨機(jī)變量 X 服1r從超幾何分布，且（ ）??1???rnmkkCXP1,0??r?于是 ???????? ????????rkkrnmn rkkrnmnrkkrnCmCE0 11101令 （ ）????個(gè) 大 人 未 被 選 中第 個(gè) 大 人 被 選 中第 kXk,01 1,2??mk?齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)15 , .??????1。而且，取n)!(n出的先是 張黑色卡片，接著是一張白色卡片，再接著是 張黑色卡片，接著1i 2i又是一張白色卡片等等，很明顯，共有 種可能方式。于是（ ， ）服從多項(xiàng)分布，2? 1?2其分布律為 jinjiji ppinjiP ???)()!(!},{ 2121?令 ，則聯(lián)合分布率為：21,41?p 12)!(!},{???nji jinji?它的邊緣分布為： ???mniipP0212 },{)(?同時(shí) nmnmnCCB21)(,1~22 ????因?yàn)槎囗?xiàng)分布的邊緣分布是二項(xiàng)分布，從而兩式相等，也就是： mnmnii????0所以證得原組合恒等式 成立。顯然，我們知道 ，于是便得出：)21,(~nB? ?????ni ni nikkCkpE0002)1()(而且 k ,1????次 試 驗(yàn) 反 面 朝 上第 次 試 驗(yàn) 正 面 朝 上第?所以便得到 2)()01nEEniknk???那么 20Cni??整理后，得 nnnn 1231 ?????齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)11第 3 章 運(yùn)用概率理論構(gòu)造數(shù)學(xué)模型證明組合恒等式 運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)字特征證明組合恒等式在概率論中，我們可以討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，并且通過隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望而進(jìn)一步證明一些恒等式。所以，事件 包含的基本事件數(shù)為 iiA1?nC于是 12)(??niCP顯然， 互不相容，并且nA,210? ???n?0所以 ???????inniini CA1112)()()?又由于 iniC于是 1321 ???nn?例 5 證明范德蒙（Vendermonde）恒等式 kmnknkmnkn ???010?證明 我們首先來構(gòu)造一個(gè)如下的概率模型：設(shè)一個(gè)盒子中有 張不同的卡片，其中 n 張紅色卡片 m 張白色卡片，?我們隨機(jī)的從中取出 k 張卡片并且不放回作為一組。引理 設(shè){ }構(gòu)成一個(gè)完備事件組，即 互斥，nA,21? nA,21?，則 。用概率論的方法證明組合恒等式的主要思想是在證明組恒等式的時(shí)候，如果我們從概率論的角度去分析它們可以使問題變得簡單，也就是說對于需要被證明的組合恒等式，在構(gòu)造構(gòu)造好概率模型之后，從不同角度的角度考慮其概率或隨機(jī)變量的數(shù)字特征，在運(yùn)用概率論的公式，有關(guān)性質(zhì)，結(jié)論等，將所構(gòu)造的模型相關(guān)事件的概率計(jì)算出來，從而可以推導(dǎo)出需要證明的結(jié)論，從而對于組合恒等式的證明更加即便容易掌握。對于一些離散型隨機(jī)變量，也可齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)3用排列組合方法進(jìn)行討論，如超幾何分布等。因?yàn)樵谶\(yùn)用概率論的方法證明組合恒等式時(shí)，它的思維靈活，背景生動(dòng)并且容易理解，表達(dá)方式單間，并且效率高而被許多數(shù)學(xué)家所喜愛。此外證明常見的組合恒等式中概率的方法也有所應(yīng)用。俄羅斯的彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派，繼承和發(fā)展了古典概率論之精華，拯救了瀕臨危機(jī)的概率論；變革和制定了一系列研究方法，振興了概率論學(xué)科；提出和創(chuàng)立了概率論新思想，開拓了概率論新領(lǐng)域。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展的迫切需要，概率論在 20 世紀(jì)迅速地發(fā)展起來。 probabilistic model。齊 齊 哈 爾 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）題 目 用概率論的方法證明組合恒等式 學(xué) 院 理 學(xué) 院 專業(yè)班級 信息與計(jì)算科學(xué) 082 齊齊哈爾大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)I用概率論的方法證明組合恒等式摘 要組合恒等式是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)組成部分，也是組合數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要內(nèi)容.本文主要探討如何利用概率方法研究組合恒等式，主要從不同的角度解答同一概率問題，得到同一事件的概率兩種不同的表達(dá)形式，由其相等導(dǎo)出組合恒等式. 通過構(gòu)造概率模型，利用“必然事件的概率等于 1”和“不可能事件的概率等于 0”證明組合恒等式，或者利用古典概率方法證明組合恒等式，也就是在實(shí)際問題中將需要證明的組合恒等式引證出來。 classical probability?？聽柲缏宸蚴状斡脺y度理論定義了什么是概率。由于資料的限制、語言的困難和文化的差異使得國內(nèi)外系統(tǒng)研究彼得堡數(shù)學(xué)學(xué)派概率思想者還甚少，有關(guān)資料相當(dāng)匱乏，一些相關(guān)論述大都出現(xiàn)在綜合性的書籍中，傾向于按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的習(xí)慣給出一般性的解釋，且多為簡要性介紹，讀者難以了解其精髓所在。 實(shí)際應(yīng)用方面的價(jià)值大家都知道，在證明初等恒等式的時(shí)候，如果我們采用初等方法，在一般情況下比較困難，在許多數(shù)學(xué)分支中，有很多的組合恒等式的形式通常不是顯而易見的，證明它們有一定的難度，這就會(huì)使得它們的應(yīng)用受到限制。但是要熟練掌握這種證明方法，需要掌握知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，而且必須了解知識(shí)的客觀背景，弄清楚知識(shí)的來龍去脈，編制知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，抓住問題的主要特征。反過來，可以通過構(gòu)造這些特殊