【文章內(nèi)容簡介】 建模靈活，計算效率高，無需建立系統(tǒng)的總體動力學方程等優(yōu)點，被廣泛應(yīng)用于解決諸如轉(zhuǎn)子動力學等領(lǐng)域的線性鏈式、時不變系統(tǒng)的動力學問題，并逐步被推廣到彈性結(jié)構(gòu)力學、多體系統(tǒng)動力學[11]。 梁是工程中常用的也是極為重要的結(jié)果元件，其相關(guān)力學為題的求解一直是固體力學研究的一個重要內(nèi)容。在結(jié)構(gòu)工程中，常遇到連續(xù)梁的動力分析。目前，有兩種常用的分析方法：解析法和數(shù)值法。有限元是最有效的數(shù)值方法之一，它可以處理各種邊界條件的連續(xù)梁，但是它的缺點是如果要獲得高精度的數(shù)值解，必須將單元細分，隨之而來的是未知量劇增；需求解大型特征值問題時，對計算機內(nèi)存和速度要求較高。如連續(xù)梁的兩對邊簡支，利用傅里葉級數(shù)展開獲得解析解，這時將中間支座的反力作為未知量。應(yīng)用這種方法求解時，隨著跨數(shù)的增加，計算將十分復雜。傳遞矩陣法是利用微型計算機求解復雜結(jié)構(gòu)的有效方法，它具有分析簡單，計算量小的優(yōu)點。 傳遞矩陣法的計算原理和方法實現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)該法的力學概念非常清晰、只需通過一系列矩陣相乘，即可實現(xiàn)梁與板殼結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移的求解。只是，在運用計算枧進行數(shù)值計算時．如果矩陣連乘次數(shù)過多可能造成求解結(jié)果精度的下降，為此需要對各參量進行無量綱化處理。第3章 被動約束層阻尼梁的控制方程 PCLD梁的控制方程如下圖所示PCLD梁（以矩形截面梁為例）剖面圖，PCLD梁由彈性基層、粘彈層、約束層三層組成，其厚度分別為、橫面積分別為、截面慣性矩分別為：、基梁長度為?；?，粘彈層和約束層的材料密度分別為、楊氏模量分別為、。為了簡化，做如下假設(shè)：（a）不計PCLD梁厚度方向的擠壓線性應(yīng)變，三層材料沿徑向的位移相同；（b）各層之間粘結(jié)完好沒有滑移，層間位移連續(xù)；（c）粘彈阻尼層只考慮主要的橫向剪切變形，略去其拉壓和彎曲剛度；（d）在粘彈阻尼層中只考慮橫（徑）向振動慣量，面內(nèi)慣性忽略不計。圖31 層合梁示意圖基梁 (1)粘彈層(2)約束層(3)在諧激勵作用下，基梁的平衡方程可寫成： （31）式中，，分別表示基梁上單位長度的梁內(nèi)力、彎曲內(nèi)力和剪切力幅值；，分別表示基梁沿x、y方向的位移幅值；表示梁的彎曲轉(zhuǎn)角；為密度；，為作用在x、y方向的面力幅值。將上式做無量綱處理，并引入無量綱變量，，，，，則上式可寫成矩陣的形式，如下： （32）其中，，系數(shù)矩陣 ?？傻玫交嚎刂品匠虨? （33）式中，表示外諧激勵頻率。同理，約束層的控制方程可寫為： （34） 粘彈阻尼層的剪切應(yīng)變由（，）和（，）分別表示基梁和約束層中面沿X，Y兩個方向的位移幅值。根據(jù)前面的假設(shè)，可以推導出粘彈層內(nèi)沿x方向的剪應(yīng)力幅值為 （35） （36）式中，為粘彈層的復剪切模量。圖32 層合殼變形協(xié)調(diào)關(guān)系Shell(1)VEM(2)CL(3) 粘彈阻尼層的法向平衡方程對于粘彈層，根據(jù)前面的假設(shè)，不計其抗拉、抗彎剛度，記及其方向慣性，忽略面內(nèi)慣性。由圖3的受力圖，可以寫出在頻域內(nèi)的法向平衡方程： （37）式中，表示基層和粘彈層之間的法向相互作用力；表示約束層與粘彈層之間的法向相互作用力。約束層（3）粘彈芯（2）基殼層（1）圖33 層合梁之間的法向相互作用力圖34 粘彈芯中的剪切力 基梁和約束層的中面作用力 在基梁方程（33）和約束層方程（34）中，中面作用力、及、包含了外激勵力和各層之間的相互作用內(nèi)力。從粘彈層的中面截開，圖4是粘彈層剪切力的作用示意圖，其表達式已經(jīng)由（36）給出，將式（36）用Fourier級數(shù)展開，并引入無量綱變量后，得： （38）綜上所述各層間的法向和切向相互作用力（如圖4所示），基層和約束層的中面力、及、可以寫成： （39a） （39b）其中，（39a）式和（39b）式中含的項為計及偏心影響帶來的等效剪力。、分別表示作用在基層和約束層中面上各方向的外激勵力幅值. PCLD梁的整合一階常微分矩陣方程式（39）中不僅包含有可以用其他變量表示的剪切力（式38），同時還包含有未知的法向相互作用力和。正是因為這兩個未知的內(nèi)力，使得微分方程（33）和（34）無法直接求解，因此需要利用式（36）將他們從基梁和約束層的控制方程中消掉才能建立直接求解的控制方程，只是很重要的一步。式（33）和（34）可寫為：（1）基梁控制方程 （310） （311） （312） （313） （214） （315）（2）約束層梁控制方程 （316） （317） （318） （319） （320） （321） 基 梁 和 約 束 梁 的 控 制 方 程中，共有10個變量（即），通過對比基梁和約束梁的控制方程組，可知，其中的（311）式和（317）完全相同，對比第（312）式和第（318）式可得： （322）由此，真正獨立的變量有8個，即。（211）式和（217）式，完全相同，故保留一個即可。（312）式和（318）式，可合并為： （323）（315）和（321）式可合并為： （324）將（39a）式代入（313），（314）（其中用替代），得 （325） （326）同理，將（39b）式代入（319），（320），可得 （327） （328）根據(jù)粘彈層法向平衡方程（37）式，消去式（326）和（328）中的，可得：（329）詳細過程見下：由將粘彈層的剪力及其導數(shù)項式（38）代入式（325）可得：（330）將粘彈層的剪力及其導數(shù)項式（38）代入式（325）可得：（331）將粘彈層的剪力及其導數(shù)項式（38）代入式（326）可得： （332）通過上述處理，最終可得PCLD梁的控制方程如下： （333）引入狀態(tài)向量，可將PCLD梁的控制方程寫成如下矩陣形式,經(jīng)歸納整理后可得PCLD梁的整合一階常微分矩陣方程： (334)具體形式為：其中，系數(shù)矩陣中的非零元素如下：Z稱為PCLD梁的整合狀態(tài)向量，從中可以看出他的8個元素都有明確的物理意義，包含了基梁和約束層的位移變量和內(nèi)力變量。無論是位移邊界條件還是力學邊界條件都可以用本文的狀態(tài)向量直接表達。 是無量綱外諧激勵載荷向量幅值，其具體形式為 在后文算例中，僅考慮沿撓度方向變形的外激勵。第4章 被動約束層阻尼梁的動力學特性分析 精細積分法求解對于一個沿縱向全覆蓋PCLD的梁，其與覆蓋區(qū)域的控制方程由式（334）可以很方便的采用齊次擴容精細積分法進行高精度求解[35]。為了對方程(334)進行數(shù)值求解，將時域t進行離散化為t0，t1 ，t2 ，…… ，tk，……并令時刻的用表示，步長。在積分步內(nèi)，將在，處展開成Taylor級數(shù)。 （41）其中，k=0,1,2……為了獲得較高的計算精度和選取較大的積分步長，有必要將泰勒級數(shù)的展開項數(shù)保留至二階或更高階。然而，保留的泰勒級數(shù)的項數(shù)越多，函數(shù)的高階導數(shù)計算也越困難。將式（41）保留至二階項，代入式（334），并通過增維擴容寫成一階齊次微分方程組形勢 （42）在邊界點，處，由齊次擴容精細積分算法，狀態(tài)向量之間有下列的關(guān)系： （43）式中，T為傳遞矩陣，f是由外載荷引起的非齊次項。一般情況下，在x=0和x=L處得基層上有4個給定的邊界條件和4個未知的待求狀態(tài)向量，將這些已知的邊界條件代入式（43），經(jīng)整理后即可得到確定邊界上未知狀態(tài)變量的線性代數(shù)方程。所有待求的邊界狀態(tài)變量已知后，式（334）或（33）即成為初值問題，然后就可以很方便的用精細積分法求得相應(yīng)的傳遞矩陣。算例： 粘彈性材料采用復常量模型，求解約束阻尼梁的固有頻率和損耗因子。 參考文獻[39]，約束層阻尼梁的材料特性參數(shù)和尺寸如下：L=100mm，b=8mm，h1=8mm, h2=5mm, h3=3mm， ， 。計算結(jié)果在表41中給出。除約束阻尼梁在兩端簡支邊界條件下第二階固有頻率誤差為0．38%外，其他計算結(jié)果與文獻誤差均小于1% ，說明本文方法正確。邊界條件階數(shù)固有頻率（Hz）損耗因子文獻[39]本文相對誤差文獻[39]本文相對誤差附加簡支附加簡支1%%2%%整體固支附加自由1%%2%%表41 PCLD全覆蓋梁復常量模型計算結(jié)果為了研究不同的PCLD參數(shù)，如約束層和黏彈層厚度等，對PCLD梁的動力學響應(yīng)的影響，本節(jié)針對簡支梁上作用單位為1N/m的均勻荷載下，梁的動力學響應(yīng)進行研究。其中，頻譜響應(yīng)函數(shù)定義如下： （44）圖41 h2變化時的頻響曲線（兩端簡支梁）式（44）中，表示梁中點處的撓度幅值。圖41給出了時，不同粘彈層厚度下（分別取=6mm，8mm，10mm），簡支梁的動力學響應(yīng)曲線。由圖可見，但時，減振效果反而變差。圖42則給出了時，不同約束層厚度下（分別取=2mm，3mm，4mm），梁中點處撓度的響應(yīng)曲線。由圖可見，此種情形下，隨著約束層厚度的增加，頻譜曲線的峰值在會有一定程度的降低。圖42 h3變化時的頻響曲線（兩端簡支梁）此外，從這兩幅圖還可以看出，隨著粘彈層或約束層厚度的增加，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的固有頻率會有所飄移，一般而言，厚度越大，固有頻率也越大。圖43 h2變化時的頻響曲線（一端固定一端自由梁）圖44 h3變化時的頻響曲線（一端固定一端自由梁）圖4圖44分別對不同黏彈層厚度和不同約束層厚度時的一端固定一端自由PCLD梁進行了動力學分析，由圖可得相同的結(jié)論。結(jié) 論基于線彈性和粘彈性理論建立的約束阻尼梁的控制方程，引入狀態(tài)向量，將其轉(zhuǎn)化為一階狀態(tài)向量常微分矩陣方程形式，求解得到系統(tǒng)的固有頻率和損耗因子，通過與文獻比較，證明采用矩陣法所得計算的正確性。本文的方法與有限元法及傳遞函數(shù)法相比，具有適用范圍廣、編程簡單、計算效率和精度高的特點。參考文獻[1]. 孫慶鴻等．振動與噪聲的阻尼控制[M]．北京：機械工業(yè)出版社，1993