知識講解二項式定理理資料提高資料110(編輯修改稿)
2025-07-19 20:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 確應(yīng)用。舉一反三：【變式1】求的展開式中的二項式系數(shù)及的系數(shù).【答案】，；通項，∵，∴，故展開式中的二項式系數(shù)為，的系數(shù)為.【變式2】求的展開式中的第4項.【答案】；?！咀兪?】（1）求的展開式常數(shù)項； （2）求的展開式的中間兩項【答案】∵，∴（1）當(dāng)時展開式是常數(shù)項，即常數(shù)項為；（2）的展開式共項，它的中間兩項分別是第項、第項， 例3． 求二項式的展開式中的有理項． 【思路點撥】 展開式中第r+1項為，展開式中的有理項，就是通項中x的指數(shù)為正整數(shù)的項．【解析】 設(shè)二項式的通項為，令，即r=0，2，4，6，8時?！?，。 ∴二項式的展開式中的常數(shù)項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：．【總結(jié)升華】 求有理項是對x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求．舉一反三：【變式】如果在 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項?！敬鸢浮浚?）展開式中前三項的系數(shù)分別為1， ， 由題意得：2=1+得=8。設(shè)第r+1項為有理項，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。有理項為。類型二、 二項式之積及三項式展開問題例4．求的展開式中的系數(shù).【思路點撥】 將變形為，要使兩個因式的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；也可以利用通項公式化簡解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬海耐椆剑ǎ?，分三類討論：（1）當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；（3）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；故展開式中的系數(shù)為。解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為。 舉一反三：【變式1】求的展開式中的系數(shù).【答案】；的通項公式（），分二類討論：（1）當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；故展開式中的系數(shù)為?！ 咀兪?】在(1＋x)5(1x)4的展開式中，x3的系數(shù)為________．【答案】 (1＋x)5(1x)4＝(1＋x)(1x2)4，其中(1x2)4展開的通項為(x2)r，故展開式中x3的系數(shù)為＝4．例5. 求(1+x+x2)8展開式中x5的系數(shù)．【思路點撥】要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】 解法一：(1+x+x2)8=[1+(x+x2)]8，所以，則x5的系數(shù)由(x+x2)r來
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