關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)及非歐幾何(編輯修改稿)
2025-07-19 17:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 小技術(shù)員家中，3歲喪父，自幼家貧。他從1815年開(kāi)始研究第5公設(shè)問(wèn)題，起初也想直接證明，但很快汲取了歷史上的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，意識(shí)到不可能。1823年他用如下命題代替第5公設(shè)：過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)，至少可作兩條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)不相交?！坝谑莿?chuàng)立了與歐氏幾何不同的且在嚴(yán)格性和規(guī)模上同它一樣的新幾何。1826年，他在喀山大學(xué)數(shù)學(xué)物理系的學(xué)術(shù)討論會(huì)上作了題為《關(guān)于幾何原理的扼要敘述及平行線(xiàn)定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》的報(bào)告，但未出版并已遺失，1829年在《喀山通報(bào)》上發(fā)表了《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》，以后又有補(bǔ)充。1840年發(fā)表了《平行線(xiàn)理論的幾何研究》等一系列非歐幾何論文。由于當(dāng)時(shí)還沒(méi)有找到這種幾何的實(shí)際應(yīng)用，所以他稱(chēng)他的新幾何為”想象的幾何學(xué)”，““虛幾何學(xué)”，后來(lái)他雙目失明，卻以口授寫(xiě)出一部他的幾何的完全的新的說(shuō)明，并于1855年以書(shū)名《泛幾何》出版，今天稱(chēng)為“羅巴切夫斯基幾何“。 雖然高斯和丁鮑耶被人們承認(rèn)是最先預(yù)見(jiàn)到非歐幾何的人，但是，羅巴切夫斯基實(shí)際上是發(fā)表此課題的有系統(tǒng)的著作的第一人，被稱(chēng)為“幾何學(xué)上的哥白尼”。上述三人的新幾何里，三角形的內(nèi)角和小于兩 直角，一般稱(chēng)之為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱(chēng)羅氏幾何。1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Ｆ克萊因（CFKlein，1849－1925）改 稱(chēng)其為“雙曲幾何學(xué)”,一直沿用至今。1854年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的演說(shuō)中，又提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾何。這種幾何采用公理“同一平面上任何兩 條直線(xiàn)一定相交”代替歐氏幾何中平行公理，對(duì)其余公理只是稍作改動(dòng)。被稱(chēng)為“橢圓幾何”其中三角形內(nèi)角和大于二直角。它和球 面幾何學(xué)相差無(wú)幾，如果把球面的對(duì)頂點(diǎn)看成同一點(diǎn)，就得這種幾何。黎曼（GFBRieman,18261866），家境清苦，他的生活十分艱難，加上工作勞累，終于在1866年7月20日病故，年僅39歲。1854年黎曼在哥廷根大學(xué)發(fā)表了題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》報(bào)告，提出了黎曼幾何的思想，徹底革新了人們的幾何觀念，他把對(duì)三維空間的研究推廣到了n維空間，并把這樣的空間稱(chēng)作一個(gè)流形。為用抽象空間描述自然現(xiàn)象奠定了基礎(chǔ)。他認(rèn)為非歐幾何不僅僅是一種，而是一個(gè)廣大而又豐富的領(lǐng)域。為了定義黎曼空間，推廣了曲面的高斯曲率，建立了黎曼空間曲率的概念，這個(gè)概念是刻劃歐氏空間和各種非歐氏空間差異的量度。黎曼在報(bào)告中所闡述的幾何思想極為深刻，是繼高斯，羅巴切夫斯基之后，幾何思想的一次突破。據(jù)說(shuō)在當(dāng)時(shí)的聽(tīng)眾中，除了年邁的高斯，沒(méi)有一個(gè)人聽(tīng)得懂，所以這一報(bào)告沒(méi)有受到應(yīng)有的評(píng)價(jià)。直到1868年，即黎曼去世后的第二年，黎曼的這一學(xué)說(shuō)才正式的公布。至此，兩種主要的非歐幾何都已建立起來(lái)了。非歐幾何有狹義的，廣義的和通常意義的 這三種不同的含義。狹義的非歐幾何是指羅氏幾何。廣義的非歐幾何泛指一切和歐氏幾何不同的幾何。通常意義的非歐幾何是指羅氏幾何（也叫雙曲幾何）和黎曼幾何（也叫橢圓幾何）。五、 幾何思想簡(jiǎn)述以及其偉大意義。非歐幾何的產(chǎn)生與發(fā)展，在客觀上對(duì)研究了兩 千年的第5公設(shè)作了總結(jié)：它是獨(dú)立的公理。歷史的實(shí)踐表明，它不可能通過(guò)其他公理作出證明，因此它不可能被取消，只能 用它的等價(jià)命題代替，從而構(gòu)成不同的公理系統(tǒng)。但這些不同形式的公理系統(tǒng)，最終只能建立同一種幾何空間，如用它不同的否定命題代替，則產(chǎn)生不同的幾何學(xué)。具體地說(shuō)，第5公設(shè)最簡(jiǎn)明 的表達(dá)是：過(guò)已知直線(xiàn)外的任一點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)同已知直線(xiàn)平行。它的否定命題有如下兩種形式：其一，過(guò)已知直線(xiàn)外的任一點(diǎn)可以做出一條以上的直線(xiàn)同已知直線(xiàn)平行。其二，過(guò)已知直線(xiàn)外的任一點(diǎn)所作的任何一條直線(xiàn)都同已知直線(xiàn)相交。用第一種否定形式代替第5公設(shè)，則產(chǎn)生羅氏幾何；用第二種否定形式代替第5公設(shè)則產(chǎn)生狹義的黎曼幾何。因此，非歐幾何的創(chuàng)立，首次有力地說(shuō)明數(shù)學(xué)不僅能直接從現(xiàn)實(shí)世界中提取它的模型，而且也能從對(duì)它自身已經(jīng)形成的概念和理論的研究中開(kāi)拓新的分支。三種幾何學(xué)的主要特征歐氏幾何學(xué)非歐幾何學(xué)羅 氏 幾 何 學(xué)黎 曼 幾 何 學(xué)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)的不相交 直線(xiàn)只存在一條存在無(wú)限
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