關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)及非歐幾何-預(yù)覽頁
【正文】 大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，都不會(huì)只是個(gè)人能做到的一樣，非歐幾何的誕生也是在前人二千多年認(rèn)識(shí)成果的基礎(chǔ)上做出的，其決定性的步驟由高斯，羅巴切夫斯基和丁德國數(shù)學(xué)家高斯（）人稱“數(shù)學(xué)家之王”，是一個(gè)瓦工的兒子，自幼家境貧寒。從1799年起，他著手開發(fā)這一新的幾何的內(nèi)容，1813年已經(jīng)形成比較完整的思想。高斯生前沒有發(fā)表過非歐幾何的正式論著，他的關(guān)于非歐幾何的思想，只能從他給朋友們的信和他的遺稿中了解。2．預(yù)見到非歐幾何的第二人是丁1823年他寫成了擯棄第5公設(shè)的26頁的論文《絕對(duì)空間的科學(xué)》，1825年他已基本完成 了非歐幾何學(xué)，他發(fā)現(xiàn)非歐幾何的工作與羅巴切夫斯基很相仿，小鮑耶請(qǐng)求父親幫助出版，但遭到拒絕。1823年他用如下命題代替第5公設(shè)：過已知直線外一點(diǎn)，至少可作兩條直線和已知直線不相交。由于當(dāng)時(shí)還沒有找到這種幾何的實(shí)際應(yīng)用，所以他稱他的新幾何為”想象的幾何學(xué)”，““虛幾何學(xué)”，后來他雙目失明，卻以口授寫出一部他的幾何的完全的新的說明，并于1855年以書名《泛幾何》出版，今天稱為“羅巴切夫斯基幾何“。1871年，德國數(shù)學(xué)家Ｆ1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的演說中，又提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾何。黎曼（G1854年黎曼在哥廷根大學(xué)發(fā)表了題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》報(bào)告，提出了黎曼幾何的思想，徹底革新了人們的幾何觀念，他把對(duì)三維空間的研究推廣到了n維空間，并把這樣的空間稱作一個(gè)流形。黎曼在報(bào)告中所闡述的幾何思想極為深刻，是繼高斯，羅巴切夫斯基之后，幾何思想的一次突破。非歐幾何有狹義的，廣義的和通常意義的 這三種不同的含義。五、 幾何思想簡述以及其偉大意義。具體地說，第5公設(shè)最簡明 的表達(dá)是：過已知直線外的任一點(diǎn)只能作一條直線同已知直線平行。因此，非歐幾何的創(chuàng)立，首次有力地說明數(shù)學(xué)不僅能直接從現(xiàn)實(shí)世界中提取它的模型，而且也能從對(duì)它自身已經(jīng)形成的概念和理論的研究中開拓新的分支。非歐幾何的創(chuàng)立 ，打破了兩千多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上改變了人們的幾何觀，擴(kuò)大了幾何的研究對(duì)象，使 幾何學(xué)從研究具體圖形的性質(zhì)進(jìn)入到研究抽象空間的更一般的形式，出現(xiàn)了各種抽象空間和幾何，如高維空間，拓?fù)淇臻g，黎曼空間等，這種空間的數(shù)目無窮，而且其中每一種空間都有自已的性質(zhì)，自已的“幾何”使 幾何學(xué)進(jìn)入一個(gè)以抽象為特征的嶄新階段。直到18世紀(jì)末，人們認(rèn)為現(xiàn)實(shí)的空間只能是歐氏幾何所描述的那種形式，即所謂的絕對(duì)“平直”的空間，不可能還有別的什么形式。這就要考慮曲面上的關(guān)系，促使人們對(duì)曲面進(jìn)行深入研究。）正曲率空間，即狹義的黎曼空間（如果一曲面象球面或者雞蛋殼那樣是向外凸起的，其曲率為正數(shù)，球面三角形的內(nèi)角和大于180度。這必然對(duì)空間和時(shí)間的物理觀念產(chǎn)生重大影響，這對(duì)促成愛因斯坦（Einstein,1879－1955）相對(duì)論及量子力學(xué)的誕生，起了理論上的啟示作用。至此，非歐幾何取得了徹底勝利?！庇捎诹_氏的和黎曼的非歐氏幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何學(xué)從其傳統(tǒng)的束縛中解放出來了，從而為大批的，新的， 有趣的幾何發(fā)明開辟了廣闊的道路。同樣我們也可以在某些曲面上討論圖形的性質(zhì)，象建立平面幾何學(xué)一樣來建立曲面上的幾何學(xué)，一般稱之為曲面的內(nèi)在（或內(nèi)蘊(yùn)）幾何學(xué)。各處高斯曲率都相同的曲面稱為常曲率曲面，例如平面，球面等都是常曲率曲面，人們在研究常曲率曲面的內(nèi)在幾何時(shí)，證明了常曲率曲面上的內(nèi)在幾何只有三種：當(dāng)高斯曲率等于0時(shí)，稱為拋物型幾何學(xué)，歐氏平面幾何就是一個(gè)例子；當(dāng)高斯曲率為小于0的常數(shù)時(shí)，稱為雙曲型幾何學(xué)，羅氏幾何學(xué)就是一個(gè)例子，當(dāng)高斯曲率為大于0的常數(shù)時(shí)，稱為橢圓型幾何學(xué)，純球面幾何學(xué)就是一個(gè)例子。但當(dāng)我們從上海航海到倫敦，則是球面上的運(yùn)動(dòng)，因而不能用兩點(diǎn)間直線最短的規(guī)律來測量這樣的距離了，這時(shí)就需要球面幾何的規(guī)律，而球面的內(nèi)在幾何學(xué)是黎曼幾何的一種。因此，歐氏《原本》里的一些幾何命題，不過反映了人們?nèi)粘Ｉ钏佑|的小范圍空間規(guī)律。從常曲率曲面的內(nèi)在幾何來看，也只有這三種幾何學(xué)?？巳R因，《古今數(shù)學(xué)思想》，上?？萍汲霭嫔?，1979，1980AMHilgert等《直觀幾何》，人民教育出版社，1964H
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