關(guān)于歐氏幾何的第5公設(shè)及非歐幾何-預覽頁
【正文】 大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)一樣，都不會只是個人能做到的一樣，非歐幾何的誕生也是在前人二千多年認識成果的基礎(chǔ)上做出的，其決定性的步驟由高斯，羅巴切夫斯基和丁德國數(shù)學家高斯（）人稱“數(shù)學家之王”，是一個瓦工的兒子，自幼家境貧寒。從1799年起，他著手開發(fā)這一新的幾何的內(nèi)容，1813年已經(jīng)形成比較完整的思想。高斯生前沒有發(fā)表過非歐幾何的正式論著，他的關(guān)于非歐幾何的思想，只能從他給朋友們的信和他的遺稿中了解。2．預見到非歐幾何的第二人是丁1823年他寫成了擯棄第5公設(shè)的26頁的論文《絕對空間的科學》，1825年他已基本完成 了非歐幾何學，他發(fā)現(xiàn)非歐幾何的工作與羅巴切夫斯基很相仿，小鮑耶請求父親幫助出版，但遭到拒絕。1823年他用如下命題代替第5公設(shè)：過已知直線外一點，至少可作兩條直線和已知直線不相交。由于當時還沒有找到這種幾何的實際應用，所以他稱他的新幾何為”想象的幾何學”，““虛幾何學”，后來他雙目失明，卻以口授寫出一部他的幾何的完全的新的說明，并于1855年以書名《泛幾何》出版，今天稱為“羅巴切夫斯基幾何“。1871年，德國數(shù)學家Ｆ1854年，德國數(shù)學家黎曼在《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》的演說中，又提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾何。黎曼（G1854年黎曼在哥廷根大學發(fā)表了題為《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》報告，提出了黎曼幾何的思想，徹底革新了人們的幾何觀念，他把對三維空間的研究推廣到了n維空間，并把這樣的空間稱作一個流形。黎曼在報告中所闡述的幾何思想極為深刻，是繼高斯，羅巴切夫斯基之后，幾何思想的一次突破。非歐幾何有狹義的，廣義的和通常意義的 這三種不同的含義。五、 幾何思想簡述以及其偉大意義。具體地說，第5公設(shè)最簡明 的表達是：過已知直線外的任一點只能作一條直線同已知直線平行。因此，非歐幾何的創(chuàng)立，首次有力地說明數(shù)學不僅能直接從現(xiàn)實世界中提取它的模型，而且也能從對它自身已經(jīng)形成的概念和理論的研究中開拓新的分支。非歐幾何的創(chuàng)立 ，打破了兩千多年來歐氏幾何一統(tǒng)天下的局面，從根本上改變了人們的幾何觀，擴大了幾何的研究對象，使 幾何學從研究具體圖形的性質(zhì)進入到研究抽象空間的更一般的形式，出現(xiàn)了各種抽象空間和幾何，如高維空間，拓撲空間，黎曼空間等，這種空間的數(shù)目無窮，而且其中每一種空間都有自已的性質(zhì)，自已的“幾何”使 幾何學進入一個以抽象為特征的嶄新階段。直到18世紀末，人們認為現(xiàn)實的空間只能是歐氏幾何所描述的那種形式，即所謂的絕對“平直”的空間，不可能還有別的什么形式。這就要考慮曲面上的關(guān)系，促使人們對曲面進行深入研究。）正曲率空間，即狹義的黎曼空間（如果一曲面象球面或者雞蛋殼那樣是向外凸起的，其曲率為正數(shù)，球面三角形的內(nèi)角和大于180度。這必然對空間和時間的物理觀念產(chǎn)生重大影響，這對促成愛因斯坦（Einstein,1879－1955）相對論及量子力學的誕生，起了理論上的啟示作用。至此，非歐幾何取得了徹底勝利?！庇捎诹_氏的和黎曼的非歐氏幾何的發(fā)現(xiàn)，幾何學從其傳統(tǒng)的束縛中解放出來了，從而為大批的，新的， 有趣的幾何發(fā)明開辟了廣闊的道路。同樣我們也可以在某些曲面上討論圖形的性質(zhì)，象建立平面幾何學一樣來建立曲面上的幾何學，一般稱之為曲面的內(nèi)在（或內(nèi)蘊）幾何學。各處高斯曲率都相同的曲面稱為常曲率曲面，例如平面，球面等都是常曲率曲面，人們在研究常曲率曲面的內(nèi)在幾何時，證明了常曲率曲面上的內(nèi)在幾何只有三種：當高斯曲率等于0時，稱為拋物型幾何學，歐氏平面幾何就是一個例子；當高斯曲率為小于0的常數(shù)時，稱為雙曲型幾何學，羅氏幾何學就是一個例子，當高斯曲率為大于0的常數(shù)時，稱為橢圓型幾何學，純球面幾何學就是一個例子。但當我們從上海航海到倫敦，則是球面上的運動，因而不能用兩點間直線最短的規(guī)律來測量這樣的距離了，這時就需要球面幾何的規(guī)律，而球面的內(nèi)在幾何學是黎曼幾何的一種。因此，歐氏《原本》里的一些幾何命題，不過反映了人們?nèi)粘Ｉ钏佑|的小范圍空間規(guī)律。從常曲率曲面的內(nèi)在幾何來看，也只有這三種幾何學?？巳R因，《古今數(shù)學思想》，上?？萍汲霭嫔?，1979，1980AMHilgert等《直觀幾何》，人民教育出版社，1964H
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